東莞市第六高級(jí)中學(xué)(523400)李海玲

一、試題呈現(xiàn)

二、思路分析

第一小問考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在求出切線方程以后,利用點(diǎn)斜式易得切線l恒過定點(diǎn)第二小問主要考查函數(shù)的零點(diǎn),由于結(jié)論中沒有參數(shù),因此我們可以將零點(diǎn)x1,x2帶入f(x)中,使用消參法消掉參數(shù)a,然后使用比值代換、構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)求出其最小值.當(dāng)然有必要對(duì)結(jié)論使用均值不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?以期出現(xiàn)較為簡單的形式.這道題也屬于雙變量問題,能夠較好的考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力,是一道比較好的題目.

三、解法探究

圖1

圖2

四、試題背景探究

本題來源于一個(gè)較為熟悉的不等式lnx≤x?1,對(duì)于這個(gè)不等式可以通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx?x+1,然后求導(dǎo),判斷這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,得極大值點(diǎn)x=1,由于f(x)≤f(1)=0,故得到不等式lnx≤x?1.本題的本質(zhì)是雙變量的問題,一般情況下是把兩個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題求解,其根本的途徑是構(gòu)造函數(shù).

2010年高考天津卷第21 題的第三問出現(xiàn)了一個(gè)極值點(diǎn)偏移的問題.試題如下:

題目2(2010年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=xe?x(x ∈),

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1 對(duì)稱,證明:當(dāng)x>1 時(shí),f(x)>g(x);

(III)如果x1?=x2,且f(x1)=f(x2),證明x1+x2>2.

此外,2011年高考遼寧理科卷也出現(xiàn)了一個(gè)雙變量問題.題目如下:

題目3(2011年高考遼寧卷理科)已知函數(shù)f(x)=lnx?ax2+(2?a)x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)設(shè)a >0,證明:當(dāng)時(shí),;

(III)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明:f′(x0)<0.

在近幾年的高考中也出現(xiàn)了類似的問題.

題目4(2013年高考湖南卷文科)已知函數(shù)f(x)=.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)證明:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1?=x2)時(shí),x1+x2<0.

題目5(2016年高考全國I 卷理科壓軸題)已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍;

(II)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

此問題還可進(jìn)行如下變式:

變式1(2020年重慶市渝中區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2(a ∈).

(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍;

(2)若g(x)=f(x)?x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,試判斷x1+x2與x1·x2的大小關(guān)系并證明.

變式2(2020年哈爾濱道里區(qū)校級(jí)月考)函數(shù)f(x)=xlnx?ax2?x(a ∈).

(1)若函數(shù)f(x)在x=1 處取得極值,求a的值;

(2)若函數(shù)f′(x)的圖象在直線y=?x圖象的下方,求a的取值范圍;

(3)求證:20202019<20192020.

變式3(2020年荊門模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2(a ∈)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(II)記兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x11.

變式4(2019年重慶市沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2,a ∈.

(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若x1,x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同極值點(diǎn),證明.

五、教學(xué)建議

(1)重視三基,構(gòu)建牢固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

在高考復(fù)習(xí)中,一定要加強(qiáng)三基的訓(xùn)練.所謂三基,是指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法.在復(fù)習(xí)中對(duì)課本要做到:幫助學(xué)生梳理教材知識(shí)結(jié)構(gòu),提煉結(jié)構(gòu)版塊;立足教材基本例題、習(xí)題,搞好變式研究,復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生突出主干知識(shí)、抓住本學(xué)科各部分知識(shí)之間的聯(lián)系和綜合應(yīng)用,形成知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò).

(2)重視歷屆高考題及教材的習(xí)題

眾所周知,一道優(yōu)秀的模擬題或者高考題,一定會(huì)以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容為根本,所以我們?cè)趶?fù)習(xí)中要重視高考題,重視課本中典型的例題及習(xí)題,在復(fù)習(xí)的過程中不要丟棄課本及典型的高考題.

(3)通過題型來滲透數(shù)學(xué)思想

在日常教學(xué)中,可以通過一題多解、一題多變來拓寬學(xué)生的思路,讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)分析問題,提高解決問題的能力.教師以常見題型為載體,在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想與方法.在解題后進(jìn)行反思和提煉是成功的保障.發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性和教師的主導(dǎo)地位,要相信學(xué)生,要把思維還給學(xué)生,要讓學(xué)生真正的成為學(xué)習(xí)的主人.同時(shí)督促學(xué)生抓好平時(shí)各個(gè)環(huán)節(jié),比如審題要謹(jǐn)慎、推理要嚴(yán)密、表述要清楚、計(jì)算要準(zhǔn)確等能力.