摘 要：文章問題來源于一道常見錯(cuò)題，為了提高學(xué)生的四能，文章引入“否定屬性策略”，結(jié)合具體問題進(jìn)行問題提出。同時(shí)，基于DIMA平臺(tái)，將圖形計(jì)算器作為探究的輔助工具，幫助學(xué)生更直觀地觀察函數(shù)圖像。

關(guān)鍵詞：DIMA平臺(tái);問題提出;否定屬性策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版，2020年修訂）提出，數(shù)學(xué)教育需關(guān)注立德樹人，數(shù)學(xué)學(xué)科的立德樹人體現(xiàn)在學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的過程中。“四能”指的是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。然而，教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生采用的是以解題為導(dǎo)向，以題海為策略的學(xué)習(xí)方式，四能中的“提出問題”尤為薄弱。因此，筆者借用1969年美國(guó)學(xué)者Brown和Walter為了提出問題而創(chuàng)設(shè)的否定屬性策略，結(jié)合例題展開研究，以期為學(xué)生提供一種提出問題的方法，為學(xué)生探究問題創(chuàng)設(shè)條件。

DIMA平臺(tái)是指以計(jì)算機(jī)和計(jì)算器為支撐，擁有智能軟件和豐富課件，連接信息網(wǎng)絡(luò)，能夠開展現(xiàn)代信息技術(shù)的數(shù)字化數(shù)學(xué)活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)軟硬件設(shè)備系統(tǒng)。常見的數(shù)學(xué)教學(xué)工具有TI圖形計(jì)算器、GeoGebra和幾何畫板等，本研究使用TI-nspire CAS圖形計(jì)算器作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、創(chuàng)新數(shù)學(xué)的載體，以下簡(jiǎn)稱為TI。

一、 問題描述

已知函數(shù)f（x）=x+1x，

①判斷函數(shù)的奇偶性;②判斷函數(shù)在（0，+∞）的單調(diào)性;③求函數(shù)在（0，+∞）的值域。

二、 問題解決

（一）問題探索

1. 做圖猜想

運(yùn)用TI的圖像分析功能，結(jié)合函數(shù)圖像，學(xué)生很容易猜測(cè)出該函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和值域。

2. 表格猜想

運(yùn)用TI的表格功能，通過函數(shù)的列表法，學(xué)生結(jié)合x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以猜測(cè)得出：①奇偶性。根據(jù)特殊點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，猜測(cè)為奇函數(shù)。②單調(diào)性。從特殊兩點(diǎn)的函數(shù)值著手。③值域。直接讀圖，猜想結(jié)論。

3. 結(jié)論驗(yàn)證

根據(jù)TI的直觀顯示，學(xué)生對(duì)于問題已經(jīng)初步建立了“形”的理解，很容易猜測(cè)出結(jié)論，然后用代數(shù)方法去驗(yàn)證。根據(jù)定義，易證得f（x）是奇函數(shù)、在（0，1）上是嚴(yán)格減函數(shù)，在（1，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)。又因?yàn)閤>0，有x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，因此f（x）在（0，+∞）上的值域是[2，+∞）。

（二）解題反思

變式：求x+1x的取值范圍。學(xué)生易得結(jié)論[2，+∞），若是對(duì)于基本不等式應(yīng)用條件掌握扎實(shí)，或者把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x+1x的值域，通過數(shù)形結(jié)合都能避免錯(cuò)誤。因此，不妨引導(dǎo)學(xué)生通過解題反思，提出問題，明確問題本源，尋找探究點(diǎn)。

否定屬性法步驟如下：確定問題、屬性分析、否定屬性、問題設(shè)定、問題分析。以此題為例，結(jié)合這種策略提出問題：

1. 確定問題

以f（x）=x+1x為背景，提出問題。

2. 屬性分析

屬性1：y=x和y=1x的指數(shù)是整數(shù)1，這兩個(gè)函數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，故只討論正數(shù)冪的情況。

屬性2：y=x和y=1x的指數(shù)都相同。

屬性3：y=x和y=1x的系數(shù)是正數(shù)1。

屬性4：函數(shù)f（x）是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的和函數(shù)。

3. 否定屬性

屬性1：指數(shù)相同，都不是1;指數(shù)相同，都不是整數(shù)。

屬性2：指數(shù)不都相同。

屬性3：系數(shù)不都是正數(shù)。

屬性4：不是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的和函數(shù)。

4. 問題設(shè)定

（屬性1）1：若函數(shù)y=x和y=1x指數(shù)相同，都是正奇數(shù)，即研究函數(shù)f（x）=xn+1xn（n是正奇數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

（屬性1）2：若函數(shù)y=x和y=1x指數(shù)相同，都是正偶數(shù)，即研究函數(shù)f（x）=xn+1xn（n是正偶數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

（屬性1）3：若函數(shù)y=x和y=1x指數(shù)相同，且都是正有理數(shù)，即研究函數(shù)f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

（屬性2）：若函數(shù)y=x和y=1x指數(shù)是不相同的整數(shù)，即研究函數(shù)f（x）=xa+1xb（a≠b，a，b是正整數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

（屬性3）：若函數(shù)y=x和y=1x系數(shù)不都為正，即研究函數(shù)f（x）=ax+bx（ab≠0）的圖像與性質(zhì)。

（屬性4）：研究函數(shù)f（x）=g（x）+kg（x）（k是常數(shù)）的圖像與性質(zhì)。

（三）問題分析

根據(jù)以上問題設(shè)定，整理為以下的探究方向。每個(gè)探究過程的步驟是：作圖——猜想——證明，證明方法與f（x）=x+1x類似，因此省略。

1. 含參的齊次正整數(shù)冪

（1）含參的齊次正奇數(shù)冪

如圖1，利用游標(biāo)功能，研究函數(shù)y1=x+1x，y2=x3+1x3，y3=x5+1x5，……的圖像，并猜想f（x）=xn+1xn（n是正奇數(shù)）的性質(zhì)：

圖像性質(zhì)

定義域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域（-∞，-2]∪[2，+∞）

奇偶性奇函數(shù)

單調(diào)性（-∞，-1），（1，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)（-1，0），（0，1）上是嚴(yán)格減函數(shù)

備注無零點(diǎn)，恒過定點(diǎn)（-1，-2），（1，2）

（2）含參的齊次正偶數(shù)冪

類比（1）的步驟和方法，利用游標(biāo)，研究函數(shù)y1=x2+1x2，y2=x4+1x4，y3=x6+1x6，……的圖像，發(fā)現(xiàn) f（x）=xn+1xn（n是正偶數(shù)）類似y1=x2+1x2的圖像與性質(zhì)。

2. 含參的齊次正有理數(shù)冪

研究函數(shù)f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）的圖像和性質(zhì)。

（1）p奇q偶

研究函數(shù)y1=x12+1x12，y2=x14+1x14，y3=x32+1x32……的圖像，猜想性質(zhì)：①定義域?yàn)椋?，+∞）;②值域?yàn)閇2，+∞）;③非奇非偶函數(shù);④（1，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)，（0，1）上是嚴(yán)格減函數(shù);⑤無零點(diǎn)，恒過定點(diǎn)（1，2）。

（2）p奇q奇

研究函數(shù)y1=x13+1x13，y2=x15+1x15，y3=x53+1x53，……的圖像，類似函數(shù)f（x）=x+1x的圖像和性質(zhì)。

（3）p偶q奇

研究函數(shù)y1=x23+1x23，y2=x25+1x25，y3=x43+1x43……的圖像，類似函數(shù)f（x）=x2+1x2的圖像和性質(zhì)。

3. 含參的正整數(shù)冪

不妨選取較有代表性，高考試題出現(xiàn)過的函數(shù)f（x）=x2+1x作為研究對(duì)象，如圖2：

圖像性質(zhì)

定義域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域R

奇偶性非奇非偶函數(shù)

單調(diào)性312，+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，（-∞，0），0，312上是嚴(yán)格減函數(shù)

證明：函數(shù)無最值。x>0，f（x）=x2+1x=x2+12x+12x≥3·3x2·12x·12x=3314，當(dāng)且僅當(dāng)x2=12x，即x=312時(shí)，等號(hào)成立，在（-∞，0）上是嚴(yán)格減函數(shù)。

推廣1：根據(jù)f（x）=x2+1x與g（x）=x2-1x關(guān)于y軸對(duì)稱，得到g（x）=x2-1x的圖像。

推廣2：通過游標(biāo)功能，觀察函數(shù)f（x）=x2+ax的圖像變化，猜想函數(shù)性質(zhì)。

4. 含參的系數(shù)

函數(shù)f（x）=ax+bx，ab≠0，分四類：a>0，b>0;a<0，b<0;a>0，b<0;a<0，b>0。因此，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）=x+1x，g（x）=-x-1x，h（x）=x-1x，e（x）=-x+1x。另外，根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，得到函數(shù)g（x）的圖像;根據(jù)函數(shù)h（x）與e（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，得到函數(shù)e（x）的圖像，故只需討論函數(shù)h（x）=x-1x。

5. 復(fù)合函數(shù)

求x2+3x2+2的取值范圍，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)為：x2+3x2+2=x2+2+1x2+2≥2，這也是沒有把基本不等式“一正、二定、三等”的應(yīng)用前提掌握扎實(shí)。不妨把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x2+2+1x2+2的值域。通過TI的圖像分析和表格功能，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論出現(xiàn)了矛盾。隨后，運(yùn)用換元法，可以求解此函數(shù)的值域。

推廣：研究函數(shù)f（x）=sinx+1sinx，g（x）=3x+13x，h（x）=log3x+1log3x，e（x）=|x|+1|x|的圖像與性質(zhì)。

（四）應(yīng)用實(shí)踐

研究函數(shù)f（x）=x2+ax（牛頓三叉函數(shù)），g（x）=lgx2+1|x|（x≠0）的圖像和性質(zhì)。

三、 研究感悟

1994年，著名學(xué)者Silver指出，問題提出是探究學(xué)習(xí)的特征，是改進(jìn)問題解決的方法，是明確數(shù)學(xué)理解的橋梁?！胺穸▽傩圆呗浴?，能幫助學(xué)生擺脫提不出問題的窘境，開拓學(xué)生探究的思路，走出“題海刷題”學(xué)數(shù)學(xué)的模式，從而培養(yǎng)學(xué)生的“四能”。基于DIMA平臺(tái)的TI工具，直觀形象，在經(jīng)歷觀察、猜想和證明的探究過程中，學(xué)生提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

陸雅靜，上海市，上海師范大學(xué)附屬中學(xué)。