摘要：數(shù)學(xué)活動作為一種獨特的學(xué)習(xí)方式，既為學(xué)生提供了一條解決數(shù)學(xué)問題的新路徑，又給學(xué)生創(chuàng)造了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)環(huán)境?！岸噙呅蔚膬?nèi)角”和的教學(xué)通過組織學(xué)生開展實驗探究性數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、分析、判斷、交流，在探索中歸納多邊形內(nèi)角和的計算方法，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動;思維發(fā)展;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）12A-0072-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。[1]數(shù)學(xué)活動作為一種獨特的學(xué)習(xí)方式，既為學(xué)生提供了一條解決數(shù)學(xué)問題的新路徑，又給學(xué)生創(chuàng)造了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)環(huán)境。大量成功的教學(xué)實踐表明，在數(shù)學(xué)課堂中引進數(shù)學(xué)活動，不但能豐富數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，而且更能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、豐富猜想活動，讓思維起航

隨著數(shù)字化時代的到來，數(shù)學(xué)越來越成為人們生活中不可缺少的工具。但在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，一些學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)，感覺數(shù)學(xué)就是做題，單調(diào)乏味，還有一些學(xué)生習(xí)慣于“老師讓干什么就干什么”的機械式學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)活動是以“做”為支架的參與式活動，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)，觸摸數(shù)學(xué)，看到不一樣的數(shù)學(xué)，從而變被動的“機械”學(xué)習(xí)為更加主動的“趣味”學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)活動也是以問題為鏈接點的連續(xù)活動，能誘發(fā)學(xué)生猜想，引發(fā)學(xué)生的思維沖突，讓思維在猜想中萌發(fā)、起航。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”時，筆者在課的開始組織了“猜圖形”的活動（如圖1）：

（1）教師手拿內(nèi)有圖形的信封，先露出圖形的1個角（如圖1-①），提問學(xué)生：“你們能夠根據(jù)這個角，猜猜它是什么圖形嗎？”大多數(shù)學(xué)生猜是三角形，筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于三角形的知識。

（2）教師再把信封內(nèi)的圖形拉出來一點點，露出2個角（如圖1-②），提問學(xué)生：“現(xiàn)在還是大家猜的三角形嗎？”學(xué)生猜想：“露出了2個直角，不可能是三角形了！那會是什么圖形呢？可能是長方形，也可能是正方形?！惫P者繼續(xù)提問：“那你們知道長方形、正方形的內(nèi)角和是多少度嗎？”學(xué)生已經(jīng)掌握了長方形、正方形4個角都是直角，直角是90°的知識經(jīng)驗，得出長方形、正方形的四個直角內(nèi)角和是360°。這個環(huán)節(jié)，完成了長方形、正方形這兩個特殊四邊形內(nèi)角和的教學(xué)。

（3）教師繼續(xù)提問：“信封內(nèi)的圖形到底是什么圖形呢？讓我們來揭開謎底：是一個直角梯形。直角梯形的內(nèi)角和是多少呢？誰來大膽猜想一下？”

在“猜圖形”活動中，筆者通過讓學(xué)生猜露出1個角的圖形，喚醒了學(xué)生的已有經(jīng)驗，同時也抓住了本堂課的認知起點——三角形內(nèi)角和=180;通過猜露出2個角的圖形，得出長方形、正方形這兩個特殊四邊形的內(nèi)角和是90×4=360°;最后通過揭開謎底展開“研究一般四邊形內(nèi)角和”的教學(xué)。猜想推動著知識的輻射，使學(xué)生產(chǎn)生認知的不平衡，激發(fā)了學(xué)生要繼續(xù)學(xué)習(xí)的迫切需求，讓學(xué)生帶著問題展開深入的探究，積極主動地參與到數(shù)學(xué)活動中去。

二、充實實驗活動，讓思維揚帆

小學(xué)階段的學(xué)生對所學(xué)知識往往處于一種似懂非懂的朦朧狀態(tài)，而數(shù)學(xué)實驗活動恰好能彌補這個“缺憾”。組織開展需要大膽猜想、動手操作、驗證觀點的實驗活動，不僅可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識、規(guī)律，還能帶領(lǐng)學(xué)生全面、深刻地體驗學(xué)習(xí)過程和方法，使知識學(xué)習(xí)變得立體和豐富。數(shù)學(xué)實驗不是盲目的，有了猜想，實驗活動更有目的性，而為了驗證猜想展開的研究活動，更像是一種驗證性實驗。有了科學(xué)研究的實驗操作方式，學(xué)生的思維就不斷靈活起來，越來越清晰有條理。筆者在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”時，設(shè)計了“驗證直角梯形內(nèi)角和”的實驗，請學(xué)生通過實驗來證明“直角梯形的內(nèi)角和是360 ”。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維是發(fā)散的（如圖2）。

“量”的方法最容易想到，用數(shù)據(jù)來說話，把4個內(nèi)角度數(shù)加起來就是內(nèi)角和度數(shù);“拼”的方法最為直觀，一目了然（如圖2-①），把4個角剪下來拼在一起形成一個周角，一周角就是360 。根據(jù)學(xué)生的實驗作品，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試了另外三種分法。如圖2-②，把直角梯形分成2個三角形，2個三角形內(nèi)角和就是直角梯形的內(nèi)角和360°，這種分法把直角梯形與三角形聯(lián)系起來，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思考，充分開啟了學(xué)生的思維。既然可以分成2個三角形，那能否分成3個三角形呢？學(xué)生在實驗中發(fā)現(xiàn)，分成3個三角形，內(nèi)角和就是180×3，但是比直角梯形內(nèi)角和多了一個180平角度數(shù)，要減去，結(jié)果還是得到內(nèi)角和是180×3-180=360°（如圖2-③）。圖2-④把直角梯形分成4個三角形，內(nèi)角和就是180×4，但是比直角梯形內(nèi)角和多了一個360周角度數(shù)，要減去，結(jié)果還是得到內(nèi)角和是180×4-360=360°。

數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)是讓學(xué)生在“動手做”的歷程中挖掘思維軌跡，發(fā)現(xiàn)知識的本質(zhì)。當“測量”“剪拼”“分成2個、3個、4個三角形”這些方法依次呈現(xiàn)時，學(xué)生的猜想得到了證實，方法得到了互補，思考得到了肯定，思維得到了碰撞。在與學(xué)生交流不同實驗方法的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生不斷進行思考、修正、推理、想象，不僅讓學(xué)生知道怎么做實驗，還讓他們知道為什么要這樣做。

接著，筆者進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察后三種分法，深入地思考、尋找它們之間的聯(lián)系：“三種分法都是把直角梯形轉(zhuǎn)化成三角形來計算內(nèi)角和的。分割的交點在內(nèi)部（如圖2-④）：4個三角形的內(nèi)角和，跟原直角梯形內(nèi)角和一樣嗎？多出了哪里？內(nèi)角和是多少？分割的交點在邊上：假如這個交點繼續(xù)往下移，移到一個稍微特殊的地方，移到邊上來呢（如圖2-③）？現(xiàn)在分成幾個三角形？內(nèi)角和是多少？比原直角梯形內(nèi)角和多了多少？分割的交點在頂點：這個交點繼續(xù)移動，一直移動到了這個頂點上（如圖2-②）。分成了幾個三角形？內(nèi)角和是多少？比原直角梯形內(nèi)角和是多了還是少了？”學(xué)生認識到這個點落在了直角梯形不同的位置，有的在圖形內(nèi)，有的在邊上，有的在頂點上，但不管在哪里，都能證明其內(nèi)角和是360°。這一實驗結(jié)果讓學(xué)生非常興奮，他們在思維達到高峰時還將這三種方法分別取名為“中心法”“邊線法”“頂點法”。

我們往往會從不同的方法中總結(jié)出不同的規(guī)律，然而，不僅這些規(guī)律之間充滿了關(guān)聯(lián)，研究的方法和切入點也可以互相借鑒。充實的數(shù)學(xué)實驗活動，給了學(xué)生更廣闊的思考空間和研究視域，讓他們的思維在課堂上活躍起來，提升了他們對數(shù)學(xué)的理解程度。

三、深入探究活動，讓思維遠航

數(shù)學(xué)課堂要尊重學(xué)生已有的經(jīng)驗，將豐富的現(xiàn)實情境引入課堂，鼓勵學(xué)生提出自己的解題策略，促進同伴間的合作交流，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”時，筆者設(shè)計了“不同四邊形內(nèi)角和的探究實驗”活動，讓學(xué)生通過探究得出一組四邊形（如圖3）各自的內(nèi)角和，并交流自己的研究方法。

學(xué)生先實驗，再思考，然后交流不同的探究方法。有的學(xué)生用了頂點法，將四邊形分成2個三角形，內(nèi)角和是180×2=360;有的學(xué)生用了邊線法，將四邊形分成3個三角形，內(nèi)角和是180×3-180=360;有的學(xué)生用了中心法，將四邊形分成4個三角形，內(nèi)角和是180×4-360=360。在原有數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過再次深入實驗，操作探究，發(fā)現(xiàn)不管用哪種方法，都可以研究得出四邊形內(nèi)角和是360。

到這里探究還沒有結(jié)束，筆者再拋出問題：“三角形的內(nèi)角和是180，四邊形的內(nèi)角和是360，那么五邊形、六邊形、七邊形（如圖4），它們的內(nèi)角和分別是多少度呢？有了研究四邊形內(nèi)角和的堅實基礎(chǔ)，學(xué)生能自己設(shè)計活動進行研究了。隨著探究的深入，學(xué)生不僅能發(fā)現(xiàn)其他多邊形內(nèi)角和度數(shù)的規(guī)律，還能對規(guī)律進行解釋，并能掌握規(guī)律之間的聯(lián)系。

從研究直角梯形的內(nèi)角和發(fā)展到研究不同形狀的四邊形內(nèi)角和，從研究四邊形的內(nèi)角和發(fā)展到研究五邊、六邊、七邊等多邊形的內(nèi)角和，兩個不同層次的探究活動，雖然在不同的探究任務(wù)下，但學(xué)生都是以發(fā)現(xiàn)者的身份去觀察、猜想、實驗、分析、推理、歸納，使數(shù)學(xué)活動成為再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程?；顒映晒恼故静粌H是結(jié)果的呈現(xiàn)，更是實驗過程的回顧。學(xué)生在做中學(xué)、做中思、做中悟，實現(xiàn)向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“智慧”層面的提升。

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在親身經(jīng)歷、實踐、活動的過程中積累起來的。在實驗成果展示的過程中，學(xué)生通過合作探究和交流，既展示自己的想法，回顧自己的探究歷程，又能適時了解其他同學(xué)的學(xué)習(xí)方法。通過探究得到結(jié)論后的欣喜，將成為學(xué)生敢于實驗、樂于探究的動力，使學(xué)生的思維在課堂上開出智慧之花。

四、感受活動魅力，讓思維走向“創(chuàng)新”

數(shù)學(xué)活動涉及的內(nèi)容是廣泛的，在這些活動中既有可供學(xué)生思考、探究和具體動手操作的題材，也隱含著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些原始生長點，讓每一位學(xué)生都有機會接觸、了解、鉆研自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，滿足學(xué)生的不同需求，最大限度地開啟每一位學(xué)生的智慧潛能，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

數(shù)學(xué)活動，可以讓學(xué)生通過做、思合一，與生活相聯(lián)系。在活動探索過程中，學(xué)生往往會有一種意猶未盡的感覺。根據(jù)學(xué)過的知識、運用實驗得出的方法和積累到的活動經(jīng)驗進行深入的實驗研究，是學(xué)生最感興趣的事。這樣的活動更具創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)性和綜合性，能給學(xué)生帶來更大的成功喜悅，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生不僅僅專注于本堂課的知識學(xué)習(xí)，還可以從本課知識出發(fā)，向更廣闊的數(shù)學(xué)天地發(fā)展，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和創(chuàng)新的活力?！岸噙呅蔚膬?nèi)角和”教學(xué)的最后，筆者拋出問題：“多邊形隨著邊數(shù)的增加，內(nèi)角和是不斷變化的，而且是有規(guī)律地變化的。那外角和呢？它又有怎樣的規(guī)律呢？”然后通過播放各種多邊形內(nèi)角和、外角和動態(tài)變化的小視頻，引導(dǎo)學(xué)生感受多邊形的外角和，激勵學(xué)生利用多種數(shù)學(xué)活動進行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生帶著問題走出課堂，體現(xiàn)了課堂學(xué)習(xí)的拓展性。課后的天地更廣闊，學(xué)生可以根據(jù)自己的實踐體驗，用自己的思維方式進行知識的再創(chuàng)造，從中感受數(shù)學(xué)魅力，獲得成功體驗，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，提升歸納總結(jié)、靈活變通的能力。

學(xué)生在實操性數(shù)學(xué)活動中，通過實驗探索和交流分享，思維不斷向深處漫溯，不僅發(fā)現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和的計算公式，還對知識的形成過程有了完整的了解，成為實驗者、思考者、發(fā)現(xiàn)者。教學(xué)活動成為學(xué)生增長知識、發(fā)展思維、提升能力的過程，對學(xué)生當下和今后終身的發(fā)展都將產(chǎn)生積極的影響。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2-3.

收稿日期：2021-10-12

作者簡介：袁綺蓉，江陰市輔延中心小學(xué) （江蘇江陰，214400），江陰市優(yōu)秀教育工作者，江陰市教書育人標兵。