秦國(guó)清

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成之根，數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是幫助訓(xùn)練學(xué)生思維的.文章中筆者從教學(xué)高中生首次接觸學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)模型談起，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的背景下，要關(guān)注“數(shù)學(xué)思維生成的第一次”.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)大單元教學(xué);思維生成的第一次;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

思維是人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)和事物間內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律性作出概括與間接的能動(dòng)反映，是通過空間結(jié)構(gòu)思維和時(shí)間邏輯思維這樣兩種基本形式來實(shí)現(xiàn). 正是通過人自身的眼看、耳聽、腦思等學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)而有了摸索，領(lǐng)悟的思維活動(dòng)過程，這樣往往印象深刻，即使在情境變換的條件下，也能實(shí)現(xiàn)遷移，運(yùn)用自如.

數(shù)學(xué)大單元教學(xué)往往講究“大概念、大情境、大任務(wù)”，一方面是說，把我們的設(shè)計(jì)的內(nèi)容拉長(zhǎng)一點(diǎn)，比如說一章，比如一個(gè)模塊里的一塊面，也可以做跨章節(jié)、模塊的內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì). 另一方面，我們要能夠關(guān)注我們通常所說的方法和能力方面的單元教學(xué)設(shè)計(jì). 在這一方面我們有一個(gè)整體的思考這非常重要. 特別是數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成之根. 其重要價(jià)值就是幫助學(xué)生思考問題，拓展學(xué)生的“思維空間”，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力.

本文這里“思維生成的第一次”是指學(xué)生首次接觸學(xué)習(xí)某個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)模型時(shí)所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思維，它對(duì)學(xué)生對(duì)此類問題的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了巨大影響. 正如章建躍博士指出的那樣，要引導(dǎo)學(xué)生尋找思維的生成點(diǎn)，使得知識(shí)的學(xué)習(xí)尋到源頭.本文筆者從教學(xué)中兩個(gè)案例談起，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的背景下，要關(guān)注“數(shù)學(xué)思維的生成的第一次”，積聚數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，啟迪智慧，點(diǎn)化心靈，潤(rùn)澤生命.

函數(shù)單調(diào)性教學(xué)引發(fā)的思考

筆者記憶猶新的是多年前模仿陶維林老師上的一堂新授概念課：函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)單調(diào)性的概念在高中數(shù)學(xué)中具有核心地位. 教學(xué)時(shí)，僅從圖像角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不感到困難，困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言描述. 即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1

教者要認(rèn)識(shí)到學(xué)生首次接觸學(xué)習(xí)這個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思維對(duì)其以后對(duì)此類問題的探究產(chǎn)生的巨大影響，在指導(dǎo)研究問題的過程要突出思想方法. 首先從形到數(shù)，借助對(duì)函數(shù)圖像的觀察，引導(dǎo)單調(diào)函數(shù)的“直觀定義”. 其次，從圖形語言的表述過渡到自然語言的表述，得到單調(diào)函數(shù)的“描述性定義”. 最后，通過對(duì)函數(shù)描述性定義的辨析，逐漸使得同學(xué)們認(rèn)識(shí)到刻畫函數(shù)單調(diào)性不在于所取自變量個(gè)數(shù)的多少，關(guān)鍵在于是否能夠任意取值，通過同學(xué)們討論比較，科學(xué)地得出是必須任意取兩個(gè). 引導(dǎo)學(xué)生獲得在某區(qū)間上刻畫單調(diào)增“只要任意x1

這是高中學(xué)生用有限的兩點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）來表示區(qū)間上的無限的點(diǎn)（任意點(diǎn)），刻畫函數(shù)重要性質(zhì)的第一次，是“動(dòng)態(tài)的、無限與有限的轉(zhuǎn)化”. 當(dāng)然，初中階段研究的數(shù)軸上的點(diǎn)也有這方面的思想，但還是相對(duì)固定的，主要是靜態(tài)的運(yùn)算，當(dāng)時(shí)函數(shù)變量的思想還沒有深入！高中階段類似的思維還有：函數(shù)的奇偶性（對(duì)稱性）、周期性，數(shù)列，向量基本定理，特征向量，簡(jiǎn)易邏輯，導(dǎo)數(shù)，立體幾何中的線面平行、垂直.

我們關(guān)注函數(shù)單調(diào)性概念的研究，除了在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用廣泛外，它還為研究函數(shù)的奇偶性（對(duì)稱性）、周期性，數(shù)列，簡(jiǎn)易邏輯，導(dǎo)數(shù)等提供了視角;為立體幾何中的位置關(guān)系提供了量化方法. 這正說明，對(duì)于標(biāo)志數(shù)學(xué)方法重大轉(zhuǎn)變的概念，也應(yīng)該通過其在不同內(nèi)容的滲透貫穿來達(dá)到理解掌握的要求. 這也是數(shù)學(xué)大單元教學(xué)中對(duì)思維能力培養(yǎng)的一個(gè)整體性的考慮與要求.

波利亞說過，在教一個(gè)科學(xué)分支時(shí)，我們應(yīng)該讓孩子重蹈人類思想發(fā)展中，那些最關(guān)鍵的步子. 當(dāng)然，我們不是讓他們重操過去的無數(shù)的錯(cuò)誤，而是重操啟發(fā)思維節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵性的步子，要構(gòu)建一個(gè)既能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，又適宜學(xué)生實(shí)際思維水平和能力的教育形態(tài). 如上面提到的立體幾何中的線面平行、垂直.只需要研究一個(gè)直線與平面平行的問題，就可以引申遷移到整個(gè)立體幾何上的直線與平面、平面與平面的所有問題，整個(gè)的立體幾何研究過程都是按照這種思維模式進(jìn)行的.

因此，數(shù)學(xué)大單元教學(xué)中要發(fā)揮思維方法的威力，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生挖掘出研究數(shù)學(xué)問題時(shí)思維方法的共同點(diǎn)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ).

一道值域問題的講解引發(fā)的思考

愛因斯坦曾說過，科學(xué)結(jié)論幾乎是以完美的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺不到思想形成的深度過程，也很難達(dá)到清楚的解釋全部的情況.

我們知道轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，它教會(huì)我們用聯(lián)系、發(fā)展變化的觀點(diǎn)來看待問題，并通過對(duì)原問題的作用，使矛盾轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化為另一個(gè)問題，便于解決. 下面是高中學(xué)生第一次碰到的一道值域問題，它的解決也是轉(zhuǎn)化與化歸思想一個(gè)很好的詮釋.

石志群老師在給我們做專業(yè)指導(dǎo)講座時(shí)曾提出這樣一個(gè)問題：求函數(shù)y=x+的值域，你是怎么講解的？效果怎么樣？對(duì)照自身教學(xué)實(shí)際確實(shí)遇到過這樣的困惑.對(duì)剛剛上高一的學(xué)生來講，求函數(shù)y=x+的值域問題是第一次碰到，遇到無理式時(shí)，學(xué)生根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)想到的往往是進(jìn)行平方，其本質(zhì)思想轉(zhuǎn)化和化歸：化陌生為熟悉，化繁雜為簡(jiǎn)單. 而本題平方后還有無理式，不能轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)加以解決. 這時(shí)我們的教師會(huì)武斷地跟學(xué)生講這樣做不對(duì)，這題要通過換元來解決：設(shè)=t（t>0），則x=，則原函數(shù)變?yōu)槲覀兪煜さ亩魏瘮?shù)y=t2+t+（t>0），利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決起來就很方便了！教師很快講完，學(xué)生看上去都接受了，但在接下的檢測(cè)中學(xué)生又懵了，完成情況很不好，為什么呢？

我們知道中學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力、智慧水平尚在發(fā)展過程中，一方面數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，要找準(zhǔn)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;另一方面數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中獲得內(nèi)心感悟，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，才會(huì)使學(xué)生的思維朝更深刻的方向發(fā)展，融會(huì)貫通，達(dá)到活用知識(shí)解決問題的目的.

本題的學(xué)生最初的思路方法和教者的講解都沒有問題，但是我們教師在處理這類問題時(shí)，不能簡(jiǎn)單了事，要剖析原因，大膽鼓勵(lì)學(xué)生嘗試體驗(yàn)，讓學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)：平方和換元都是想把無理函數(shù)轉(zhuǎn)化成為熟悉的函數(shù)（如二次函數(shù)）加以解決，都是很好的方法. 但在學(xué)生平方處理失敗后，鼓勵(lì)學(xué)生觀察函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，尋找到失敗的原因.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常運(yùn)用化歸思想中的遵循和諧統(tǒng)一的原則，將題目中的一些要素結(jié)合起來，在量與形的關(guān)系上向趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行.我們發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=x+的右邊由兩部分（x和）組成，平方后尾巴仍然不掉，不能很好統(tǒng)一;但是我們讓學(xué)生感知出題者的意圖，從整體結(jié)構(gòu)上把握解題的方向，采用換元法解決問題，設(shè)=t（t>0），則x=，原函數(shù)變?yōu)槲覀兪煜さ亩魏瘮?shù)y=t2+t+（t>0），這樣在整體上進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)一，問題順利解決！

這里筆者覺得最關(guān)鍵的是教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和處理問題的思維起點(diǎn)、思維歷程，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，親歷數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想逐步形成的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的思維價(jià)值，加強(qiáng)思維方法的引導(dǎo)，從“數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性”“學(xué)生思維過程的合理性”兩個(gè)角度構(gòu)建學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，積聚數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在此筆者不禁想起，有些數(shù)學(xué)概念或公式往往具有這樣的二重性，既表現(xiàn)為過程操作，又表現(xiàn)為對(duì)象結(jié)構(gòu). 高中生在初次學(xué)習(xí)時(shí)，教者重點(diǎn)要放在對(duì)概念的發(fā)生、發(fā)展過程的解析上. 如基本不等式a+b≥2，它表示由不等式前的算式經(jīng)運(yùn)算得出不等號(hào)后的結(jié)果的過程指向，在式子中意蘊(yùn)著“往下繼續(xù)算”的操作屬性;又具有對(duì)象結(jié)構(gòu)關(guān)系特征，揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系. 因此教學(xué)時(shí)可以采用由數(shù)到形和由形到數(shù)，雙向溝通，從具體情境中提煉出基本不等式. 以學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)為中心，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)對(duì)象的形成過程，感受數(shù)學(xué)求真求美的思維方式，這也是數(shù)學(xué)大單元教學(xué)中對(duì)思維能力培養(yǎng)的一個(gè)十分必要的舉措.

積聚數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為“立人”而教

習(xí)總書記指出，“育才造士，為國(guó)之本”. 歸根到底，就是立德樹人，這是教育事業(yè)發(fā)展必須始終牢牢抓住的靈魂.既要教育引導(dǎo)學(xué)生珍惜學(xué)習(xí)時(shí)光，心無旁騖求知問學(xué)，沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進(jìn);又要教育引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)綜合能力，培養(yǎng)思維能力，提升學(xué)生素養(yǎng).

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要始終把“育人”的目標(biāo)放在心上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，關(guān)注思維的生長(zhǎng)，培育學(xué)生的理性精神，“點(diǎn)化心靈，潤(rùn)澤生命，啟迪智慧”是數(shù)學(xué)教育的邏輯起點(diǎn)和價(jià)值所在. 任何學(xué)科的教學(xué)都不是僅僅為了獲得學(xué)科的若干知識(shí)、技能和能力，而是要同時(shí)指向人的精神、思維方式和核心素養(yǎng)的生成與提升. 學(xué)科教學(xué)要有人的意義，數(shù)學(xué)的研究方式充分發(fā)揮了人的心智功能.數(shù)學(xué)的實(shí)踐性與模式化，使數(shù)學(xué)處在一個(gè)較高的方法論層面，這就決定了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，這種價(jià)值將數(shù)學(xué)與人類的社會(huì)生產(chǎn)、生活聯(lián)系在一起.數(shù)學(xué)中一以貫之的東西，就在于引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)生存的本領(lǐng)、生活的智慧.

筆者通過教學(xué)中的兩個(gè)案例，探析思維原點(diǎn)，創(chuàng)生思維路徑，促進(jìn)思維生長(zhǎng)，關(guān)注思維過程，積聚思維品質(zhì)，以期在數(shù)學(xué)大單元教學(xué)中使學(xué)生獲得真正有生命力的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).