劉勃

[摘 ?要] 課程改革聚焦“核心素養(yǎng)”，旨在探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑和舉措，新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將核心素養(yǎng)提煉為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等六方面內(nèi)容. 數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感、態(tài)度和價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，文章結(jié)合“直線與平面垂直”內(nèi)容探討核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的落實(shí)方案.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);數(shù)學(xué);探究;教學(xué)

立足學(xué)科素養(yǎng)構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂，不僅需要使學(xué)生掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的綜合能力. 教學(xué)中需要根據(jù)課程的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)挖掘內(nèi)容本質(zhì)，以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)作為教學(xué)目的，結(jié)合學(xué)情精設(shè)教學(xué)過(guò)程，促使數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)有效落實(shí)到課堂教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)中. 下面將立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容，開(kāi)展“直線與平面垂直”的內(nèi)容分析和教學(xué)探討.

圍繞核心素養(yǎng)，分析教學(xué)內(nèi)容

“直線與平面垂直”是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第二章的內(nèi)容，教學(xué)的重點(diǎn)是直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理. 線面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形，是相對(duì)于“線面平行”的另一種位置關(guān)系，其中的“平面化”蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的“降維”思想，用以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象和邏輯思維能力. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索、認(rèn)識(shí)空間幾何的結(jié)構(gòu)特征，了解直線與平面垂直關(guān)系的判定條件，總結(jié)直線與平面垂直的性質(zhì).

章節(jié)內(nèi)容的核心詞是“垂直”，而“垂直”在描述直線、平面位置關(guān)系中起著至關(guān)重要的作用. 教材將章節(jié)內(nèi)容置于“平行關(guān)系”之后，旨在類(lèi)比“平行關(guān)系”進(jìn)行內(nèi)容探討，即整體上提出“直線與平面垂直”的概念、定理和性質(zhì)的猜想，體驗(yàn)知識(shí)探究的過(guò)程，自主獲得相應(yīng)的知識(shí). 教學(xué)中需要融合幾何直觀與空間想象，結(jié)合合情推理和論證推理，提升學(xué)生對(duì)空間幾何的理解，體會(huì)內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

通過(guò)對(duì)前面章節(jié)“線、面平行關(guān)系”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步具備了空間想象、思維能力，因此可以獨(dú)立使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述幾何要素的位置關(guān)系. 但對(duì)于其中的特殊情形還難以把握，不清楚幾何要素之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化條件，難以建立直線與平面垂直的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).基于上述分析，提出以下教學(xué)思路：圍繞核心素養(yǎng)中的內(nèi)容，提倡采用探究式的教學(xué)方式，結(jié)合生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)直觀感知、發(fā)現(xiàn)猜想、思辨論證、理論應(yīng)用的探究活動(dòng).

貫徹核心素養(yǎng)，實(shí)施課堂教學(xué)

根據(jù)上述分析，為貫徹?cái)?shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，“直線與平面垂直”的內(nèi)容教學(xué)需要遵循“直觀感知—發(fā)現(xiàn)猜想—思辨論證—應(yīng)用強(qiáng)化”的思維過(guò)程，通過(guò)活動(dòng)設(shè)計(jì)、設(shè)問(wèn)引導(dǎo)、推理論證來(lái)幫助學(xué)生完成定義概括、定理論證和性質(zhì)歸納. 教學(xué)中應(yīng)結(jié)合生活實(shí)例，從中抽象數(shù)學(xué)模型，結(jié)合常見(jiàn)的數(shù)學(xué)道具、多媒體演示等來(lái)幫助學(xué)生理解空間關(guān)系.

1. 以直觀想象為突破口實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

線面垂直的概念引入是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要完成認(rèn)知過(guò)渡和概念定義，基于核心素養(yǎng)的內(nèi)容要求以直觀想象為突破口實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，即由生活實(shí)例來(lái)抽象數(shù)學(xué)模型. 結(jié)合數(shù)學(xué)抽象思維的要點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下抽象過(guò)程：實(shí)物→模型→直觀空間圖.

對(duì)于直線與平面垂直的定義，教學(xué)中首先利用多媒體呈現(xiàn)圖1所示的實(shí)物圖片，引導(dǎo)學(xué)生分別分析旗桿與地面、橋柱與水面的位置關(guān)系;然后讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度來(lái)分析是什么幾何元素之間的垂直;最后引入數(shù)學(xué)符號(hào)，構(gòu)建直線與平面的垂直模型：直線a和平面α，即根據(jù)實(shí)物所代表的線和平面來(lái)抽象模型，引入數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)構(gòu)建直觀的幾何圖像，完成實(shí)物向幾何模型的抽象過(guò)程. 教學(xué)中只需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)物關(guān)系來(lái)分析直線a和平面α的位置關(guān)系，完成垂直概念的引入.

而對(duì)于“直線與平面垂直的性質(zhì)”教學(xué)抽象則可以聯(lián)想生活中常見(jiàn)的白楊樹(shù)，如圖2所示. 首先讓學(xué)生分析每棵白楊與地面之間的位置關(guān)系（垂直），然后觀察白楊樹(shù)干之間的位置關(guān)系（平行）. 基于此聯(lián)想中學(xué)常見(jiàn)的空間幾何圖形，在不考慮物體形狀和大小，僅考慮其中線面關(guān)系的前提下，則可以將其抽象為常見(jiàn)的幾何體——長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1（如圖3），其中的AA1，BB1，CC1，DD1均與地面ABCD垂直，而相互之間為平行關(guān)系.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象引導(dǎo)，對(duì)長(zhǎng)方體模型進(jìn)行多余拆除，僅留下棱長(zhǎng)AA1，BB1和平面ABCD，從而得到圖4所示的空間模型：直線a和b，以及平面α，其中a⊥α，b⊥α.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部聯(lián)系的紐帶，數(shù)學(xué)建模則是利用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言符號(hào)來(lái)描述事物特征、屬性的重要方式，有利于學(xué)生從整體上把握事物本質(zhì). 而數(shù)學(xué)抽象則可以溝通數(shù)學(xué)模型和外部事物，對(duì)以直觀想象為突破口進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有著現(xiàn)實(shí)的意義. 教師可以增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表征事物特性的能力，提升學(xué)生的整體意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng).

2. 以數(shù)學(xué)模型為平臺(tái)助推邏輯推理

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要平臺(tái)，也是諸多學(xué)科開(kāi)展探索研究的重要工具. 數(shù)學(xué)模型舍棄了事物非本質(zhì)的屬性和特征，對(duì)事物的數(shù)量關(guān)系和圖形特性進(jìn)行了高度凝練，其中含有事物的一般規(guī)律，因此可以借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行深入分析，重現(xiàn)知識(shí)生成過(guò)程，總結(jié)其中的規(guī)律，形成性質(zhì)定理. 教學(xué)中應(yīng)借助數(shù)學(xué)模型所提供的平臺(tái)作用來(lái)進(jìn)行邏輯分析，論證推理.

“邏輯推理”是數(shù)學(xué)思維的主要形式，也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，在教學(xué)中可以由數(shù)學(xué)模型出發(fā)，基于模型來(lái)開(kāi)展推理活動(dòng)，對(duì)其中的性質(zhì)猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)論證. 在邏輯推理的過(guò)程中需要充分利用模型的引導(dǎo)作用，以其為基礎(chǔ)開(kāi)展探究活動(dòng)，從大膽猜想到思辨論證，由論證的結(jié)論歸納成性質(zhì)定理.

以“直線與平面垂直的判定”為例，教學(xué)中同樣需要借助由實(shí)物抽象的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生由猜想到判定定理的論證. 可以采用“猜想辨析—操作論證—辯證歸納”的思維設(shè)計(jì)，即首先觀察數(shù)學(xué)模型，猜想模型中直線與平面垂直的條件，然后進(jìn)行操作辨析，結(jié)合實(shí)踐、推理活動(dòng)來(lái)形成相應(yīng)的判定定理.

環(huán)節(jié)一：觀察猜想

模型猜想：給出圖5所示的數(shù)學(xué)模型，其中直線AB⊥平面α，AB∩α=B，直線BC，B′C′？奐平面α（模型中直線AB表示直立于地面α上的旗桿，而B(niǎo)C為旗桿在地面上的影子，B′C′表示地面上的一根直桿）. 試猜想AB與B′C′之間的位置關(guān)系，由此可以得到什么結(jié)論？

辨析猜想：模型猜想是建立在直線AB⊥平面α之上，教學(xué)中可以采用模型辨析的方式進(jìn)一步邏輯推理，如圖6所示，其中的AC和AD視為是牽引旗桿AB的鎖鏈，分析AC和AD是否也與平面α內(nèi)的任意直線相垂直？

形成猜想：引導(dǎo)學(xué)生采用“降維”思想對(duì)模型中的特性作出猜想，同時(shí)利用圖6的反面模型來(lái)加深印象，深刻感知直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)容. 通過(guò)觀察思考學(xué)生可以做出AB⊥B′C′的猜想，進(jìn)而得出AB垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.

環(huán)節(jié)二：操作論證

討論的重點(diǎn)是“一條直線垂直于一個(gè)平面”與“這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線”間的關(guān)系，教學(xué)中同樣可以基于數(shù)學(xué)模型開(kāi)展論證，設(shè)計(jì)如下活動(dòng).

活動(dòng)：讓學(xué)生準(zhǔn)備一塊三角形紙板，將紙板△ABC過(guò)頂點(diǎn)A進(jìn)行翻折，折痕為AD，然后將其豎直放置在桌面上（BD和DC與桌面相接觸），基于此可以構(gòu)建圖7所示的模型.

設(shè)問(wèn)：①折痕AD與桌面的位置關(guān)系？

②如何翻折才能使AD與桌面所在平面相垂直？

③由折痕AD⊥CD所得翻折后為垂直關(guān)系，即“AD⊥CD”→“AD⊥BD”，可以得出什么結(jié)論？

猜想論證：基于數(shù)學(xué)模型開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生對(duì)其中的“垂直”與“不垂直”兩種情形進(jìn)行交流，根據(jù)線面垂直的定義對(duì)上述三問(wèn)進(jìn)行分析，從而確定AD⊥BC時(shí)，翻折后折痕AD與桌面所在平面垂直，從而由數(shù)學(xué)模型論證了線面垂直的條件.

環(huán)節(jié)三：辯證歸納

基于模型完成線面垂直條件的論證后即可完成判定定理的總結(jié)歸納，同樣可以結(jié)合數(shù)學(xué)模型.引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題：如圖8所示，位于平面α內(nèi)的兩條相交直線m和n，若有l(wèi)⊥m，l⊥n，直線l是否垂直于平面α？若m和n不相交呢？

引導(dǎo)辨析：辨析的重點(diǎn)是平面內(nèi)的兩條直線是否相交，即對(duì)于圖9所示的情形，l⊥m，l⊥n，但m∥n，顯然直線l不與平面α垂直.而教學(xué)歸納的重點(diǎn)則是用語(yǔ)言表述，結(jié)合數(shù)學(xué)模型，基于判定定理的內(nèi)容用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述.

條件：①一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線→m，n？奐平面α;②兩條直線相交→m∩n =O;③一條直線與兩條直線m，n垂直→l⊥m，l⊥n.

結(jié)論：該直線與平面垂直→l⊥α.

教學(xué)中需要合理結(jié)合模型，利用直觀的圖像進(jìn)行猜想推理、辨析驗(yàn)證，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)定理的本源，養(yǎng)成推理有理、推理有據(jù)的思維習(xí)慣. 同時(shí)由模型推理到結(jié)論生成的過(guò)程中有助于提升學(xué)生探究事物本質(zhì)的能力，以及創(chuàng)新能力.

3. 以邏輯推理為依托融合核心素養(yǎng)

邏輯推理作為重要的思維形式之一，能夠促進(jìn)核心素養(yǎng)的融合，引導(dǎo)學(xué)生以正確的思維方式理解數(shù)學(xué)的概念、定理、命題，理解整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.以邏輯推理為依托進(jìn)行核心素養(yǎng)融合，需要從知識(shí)的應(yīng)用角度出發(fā)：結(jié)合問(wèn)題條件，通過(guò)邏輯推理來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合邏輯推理開(kāi)展數(shù)學(xué)運(yùn)算，促進(jìn)問(wèn)題的準(zhǔn)確作答.

（1）以邏輯推理為依托強(qiáng)化建模能力

結(jié)合邏輯推理激活數(shù)學(xué)建模可以提升學(xué)生的建模能力，正方體是高中數(shù)學(xué)需要重點(diǎn)掌握的特殊的空間幾何體，可通過(guò)對(duì)正方體內(nèi)線面關(guān)系的邏輯推理來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的論證模型.“直線與平面垂直”的性質(zhì)定理較多，教學(xué)“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行”時(shí)可引入正方體. 在正方體中作出兩條直線a和b，來(lái)探究?jī)芍本€平行滿(mǎn)足的條件. 正方體ABCD-A1B1C1D1，嘗試在不同的平面中作出直線a和b，探究a∥b需滿(mǎn)足的條件.

邏輯分析：具體思路為“a⊥α，b⊥α”→“a∥b”. 直線a和b需分屬兩個(gè)不同的平面，而在正方體內(nèi)平面之間主要有兩類(lèi)位置關(guān)系：平行和垂直，其中平行的兩平面為對(duì)面關(guān)系，而垂直的兩平面為相鄰關(guān)系，因此可以構(gòu)建兩類(lèi)模型. 另外要確保兩直線相平行，可使兩直線垂直于同一平面（垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行）.

模型構(gòu)建：從而可構(gòu)建圖10所示的滿(mǎn)足條件的兩個(gè)模型（a）和（b），其中模型（a）的兩條直線a和b（圖示加粗線段）分屬平面A1B1C1D1和ABCD，所在平面為平行關(guān)系，兩平面同時(shí)垂直于平面CDD1C1;而模型（b）中直線a和b分屬平面A1B1C1D1和BCC1B1，兩平面同時(shí)垂直于平面CDD1C1.兩大模型構(gòu)建所依據(jù)的性質(zhì)定理均一致，實(shí)現(xiàn)了“線面垂直→線線平行”的轉(zhuǎn)化.

（2）以邏輯推理為依托強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

利用邏輯推理可以強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，適用于后續(xù)的定理應(yīng)用探究中，即以空間幾何定理為出發(fā)點(diǎn)分析圖像，結(jié)合邏輯推理開(kāi)展數(shù)學(xué)運(yùn)算，以一道線面垂直的考題為例.

例題：對(duì)于圖11所示的四棱錐A-BCDE，其中AD=，CD∥BE，∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=，試證明直線AC⊥平面BCDE.

邏輯推理：對(duì)于空間幾何問(wèn)題，除了可以從“形”的角度進(jìn)行分析，還可以從“數(shù)”的角度來(lái)論證線面垂直. 根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需要確保AC與平面BDCE內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.初步分析求證“AC⊥CD和AC⊥BC”即可.

數(shù)學(xué)運(yùn)算：求證AC⊥CD和AC⊥BC可以將相關(guān)線段放置到三角形中，分析三邊長(zhǎng)是否滿(mǎn)足勾股定理即可. 具體如下，在△ADC中，有AD=，CD=2，AC=，顯然AD2=DC2+AC2，則AC⊥CD. 連接BD，分析可知四邊形BCDE為直角梯形，分析可知∠BDC=45°，在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°，則BC=. 在△ABC中，AC=，AB=2，BC=，則AB2=AC2+BC2，則AC⊥BC. 綜合AC⊥CD，AC⊥BC，可知直線AC⊥平面BCDE.

邏輯推理是高中階段需要重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，而依托邏輯推理進(jìn)行應(yīng)用探究可以強(qiáng)化學(xué)生建模能力、運(yùn)算能力. 在定理的應(yīng)用教學(xué)中，應(yīng)圍繞“邏輯推理”核心素養(yǎng)開(kāi)展問(wèn)題分析、模型建構(gòu)、計(jì)算推理.讓學(xué)生體會(huì)利用定理破除困難，構(gòu)建解題思路，這是教學(xué)的難點(diǎn)，也是提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.

總之，開(kāi)展“直線與平面垂直”的內(nèi)容教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生“如何思考”“如何探究”，實(shí)則就是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，也是思想層面的教學(xué)要求. 實(shí)踐表明，要給學(xué)生留足思考的空間，采用知識(shí)探究的教學(xué)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)生成的過(guò)程. 教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)以從生活實(shí)際中提取素材，以直觀想象為突破口實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象;借助直觀模型，利用數(shù)學(xué)模型提供的平臺(tái)開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，助推邏輯推理;強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用，以邏輯推理為依托來(lái)融合核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的建模、運(yùn)算能力. 素質(zhì)教學(xué)是學(xué)生參與、知識(shí)領(lǐng)悟的過(guò)程，只有以探究的方式進(jìn)行教學(xué)才能確保課堂高效，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).