晏娟

按比例分配知識解決問題、分數(shù)知識解決問題、行程知識解決問題，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。在應(yīng)用知識解決問題的綜合訓(xùn)練時，有的題目數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以從條件與條件、條件與問題之間的聯(lián)系找到解題思路。教學(xué)中，應(yīng)注重運用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生巧妙抓住“比”與“分率”有內(nèi)在聯(lián)系這一主線，通過它們之間的變換、轉(zhuǎn)化、類比、聯(lián)想與拓展，促使學(xué)生找到解題的突破口，有效地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

一、巧妙進行變換，靈活解題思路

同類量的“比”是表示倍數(shù)關(guān)系，分數(shù)中的“分率”也是表示倍數(shù)關(guān)系，兩者之間有密切的內(nèi)在聯(lián)系。因此，教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住這些內(nèi)在的聯(lián)系，在解題中進行兩者的變換訓(xùn)練，既能開拓學(xué)生的解題思路，又能訓(xùn)練學(xué)生解題靈活變通。

例1 一艘輪船從A港開往B港，行了全程的時，離B港還有120千米，已行多少米？

分數(shù)解法：120÷（1-）×。

把“分率”變換成“比”解題：

（1）已行與全程的比是∶1=3∶5，列式為120÷（5-3）×3。

（2）已行與未行的路程比是∶（1-）=3∶2，列式為120÷2×3。

例2 甲堆貨物占兩堆貨物總數(shù)的55%，如果從甲堆取出10千克放入乙堆，則甲、乙兩堆貨物的比是3∶5，原來甲堆有多少千克？

分析：本題既有“分率”又有“比”，“分率”是指甲、乙兩堆貨物與總量的關(guān)系，而3∶5則是甲、乙兩堆貨物拿來拿去后的比。解決這一問題，應(yīng)該抓住總重量不變的這一特點，把3∶5轉(zhuǎn)化為甲堆占總重量的分率：3∶（3+5）=，故本題就可列出算式：10÷（55%-）×55%。

上述兩例利用“比”與“分率”的變換應(yīng)用，可避免拘泥一定要找原題固定解題模式，使解題陷入死胡同。

二、巧妙進行轉(zhuǎn)化，助力解題策略

靈活運用“分率”與“比”的轉(zhuǎn)化，可以讓學(xué)生的解題技巧增加靈活，幫助學(xué)生掌握解題方法。實施這樣的教學(xué)策略有利于實現(xiàn)打破常規(guī)，巧妙進行相關(guān)的轉(zhuǎn)化，使題目的解法由繁變簡，思路清晰，促使學(xué)生興致勃勃地參與探究之中。

例3 客、貨兩車分別從A、B兩地相向而行，客車行至全程的時與貨車相遇，如果客車每小時行45.5千米，貨車9小時行完全程，求貨車的速度？

分析：本題屬于行程問題與分數(shù)應(yīng)用題兩種類型的綜合題目，解題時，若按常規(guī)解法，解題步驟達五步之多，具體解法是：

貨車走全程的幾分之幾：1-=;

兩車相遇時間：9×=（小時）;

客車相遇的路程：45.5×=189（千米）;

全程共多少千米：189÷=351（千米）;

貨車的速度：351÷9=39（千米/時）。

若利用已知條件“客車行至全程的時與貨車相遇”這一關(guān)系句，抓住時間一定，兩車所行路程的比等于兩車之間的速度比這一要點，求出兩車的速度比，此題就迎刃而解了。具體解法是：

客車與貨車的速度比：∶（1-）=7∶6;

貨車的速度45.5×=39（千米/時）。

兩種解法相比之下，哪種方法簡便？學(xué)生一目了然，而且計算難度減少了許多。抓住“分率”與“比”兩者間的相互轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練。不但能克服學(xué)生思維定式的消極影響，而且能提高學(xué)生的智力，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，從而達到培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性的目的。

三、巧妙進行類比，遷移解題方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同分支、不同領(lǐng)域中會感到某種類似的成分。如果我們把這些類似的成分進行比較并加以聯(lián)想的話，可能會出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法，這種把類似的成分進行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象的已知性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個對象的性質(zhì)的方法就是類比法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，新知識多為已學(xué)知識的擴展和延伸，或者是幾個已學(xué)知識的組合，新舊知識的共同點越多，越容易進行知識的遷移。教學(xué)時，教師要善于思考知識間的相同之處，把類比思想融入教學(xué)中，讓學(xué)生在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上多運用類比思想，自主探索新知識，同時也讓學(xué)生的思維得到有效提升，促進學(xué)生探索過程的參與度和理解力。這樣不但使學(xué)生掌握了新知識，還培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

如，在教學(xué)“用百分數(shù)知識解決問題”時，先練習(xí)一兩道用分數(shù)知識解決問題的題目，然后引導(dǎo)學(xué)生將分數(shù)轉(zhuǎn)化成百分數(shù)，并通過類比，學(xué)生很快地理解并掌握用百分數(shù)知識解決問題的解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力。

四、巧妙進行聯(lián)想，優(yōu)化解題方法

有些較復(fù)雜的解決問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考、聯(lián)想，變換條件間的關(guān)系，利用“比”的知識可以使解題過程簡便快捷，達到事半功倍的效果。學(xué)生通過這樣進行聯(lián)想，有利于學(xué)生進行自主探究，巧妙解答相關(guān)的題目。

例4 修一條路，甲、乙兩隊合修6天共修21千米，余下的由甲單獨修需6天完成，由乙單獨修4天完成。這項工程如果由乙單獨修要多少天完成？

分析：初看起來，所給的條件與“比”聯(lián)系不上，思路不通。這時可引導(dǎo)學(xué)生抓住“余下的由甲單獨修需6天完成，由乙單獨修4天完成。”這一句話聯(lián)想到當(dāng)工作量一定時，甲、乙所用的時間比為6∶4，即甲、乙合作6天的工作量由乙隊獨做要6+6×=10（天），由此求得乙單獨完成這條路所用的時間是：10+4=14（天），如果這道題按常規(guī)的解法，那就煩瑣得很，而找出蘊含在題目中的甲、乙兩隊的時間比這一條件，問題就容易多了。

五、巧妙進行拓展，盤活解題思路

教學(xué)中我們要重視“比”在解決幾何問題中的運用，通過運用“比”的知識解決幾何問題，有利于幫助學(xué)生在頭腦中構(gòu)建起幾何知識與數(shù)學(xué)知識的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間思維能力。在這個過程中，有效盤活了學(xué)生的解題思路，使學(xué)生的思維能力的發(fā)展有了廣闊的空間。

例5 大小兩圓的一部分重疊在一起，（重疊部分打上陰影）小圓的空白與陰影部分的比是7∶2，大圓的空白與陰影部分的比是5∶1。已知小圓的面積是30平方厘米，求大圓的面積。

分析：這道題表面上是求大圓的面積，實際上是“比”的知識在幾何問題中的應(yīng)用，是求“比”的問題。根據(jù)小圓的空白部分與陰影部分的比是7∶2，可知小圓面積與陰影面積的比是（7+2）∶2，同理可知小圓面積與陰影面積與大圓面積的連比，最后就可以確定小圓與大圓的面積比，最終求出大圓的面積了。

小圓與陰影部分的面積比是（7+2）∶2=9∶2;

陰影部分與大圓的面積比是1∶（5+1）=2∶12;

小圓∶陰影∶大圓=9∶2∶12;

所以：小圓與大圓的面積比是9∶12=3∶4;

則大圓的面積是：30÷=40（平方厘米）。

通過問題的解決，可以讓學(xué)生感受到“比”的前項和后項，不僅可以是一個數(shù)，一個量，也可以是一個整體，從而對“比”的廣泛運用有更為深刻的認識，同時也調(diào)動了學(xué)生的空間思維，發(fā)展其思維能力。

總之，在解決問題的能力訓(xùn)練中，教師要有意識地進行適當(dāng)變換、類比、聯(lián)想、拓展等訓(xùn)練，盤活解題思路，優(yōu)化解題方法，篩選解題策略，從而提高學(xué)生的解題能力。