■江蘇省江都中學(xué)

功的計(jì)算問題包括恒力做功和變力做功兩大類，同學(xué)們?cè)谇蠼庾龉栴}時(shí)，正確進(jìn)行受力分析，判斷出所求功是恒力（力的大小和方向都不變）做的功還是變力做的功是前提。若所求的功是恒力做的功，則可以直接利用公式W=Flcosα計(jì)算，其中α為恒力F與位移l的夾角。若所求的功是變力做的功，則需要靈活選用微元法、圖像法、能量觀點(diǎn)等技巧完成求解。顯然，求解變力做功問題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，只有選對(duì)方法，才能順利求解。下面通過(guò)實(shí)例展示一些行之有效的求解變力做功的方法，希望能夠幫助同學(xué)們突破這一難點(diǎn)。

一、利用微元法“化曲為直”求變力做功

當(dāng)物體做曲線運(yùn)動(dòng)或往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的力的方向始終與速度的方向在同一直線上，可以把曲線分成無(wú)數(shù)小段，把每一小段曲線看成直線，把作用在每一小段曲線上的力看成恒力，先求出作用在每一小段曲線上的力對(duì)物體做的功，再累計(jì)求和。這是“累積”的思想，也是“化曲為直”“化變?yōu)楹恪钡乃枷搿?/p>

例1如圖1所示，一磨桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，在桿的末端施以始終與桿垂直且大小不變的力F，當(dāng)桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，求力F做的總功。

解析

因?yàn)闂U在轉(zhuǎn)動(dòng)，力的方向始終與力的作用點(diǎn)的速度方向相同（都沿切線方向），所以可以把圓分成無(wú)數(shù)個(gè)小段（每一小段的弧長(zhǎng)都足夠?。@樣每一小段的弧長(zhǎng)都可近似為力在該小段上的位移，且力的方向與該小段的位移方向相同，在每一個(gè)小段上就可以看成是恒力在做功，則WFi=F·Δsi，再累計(jì)求出各個(gè)小段上的力做功的總和W=F·Δs1+F·Δs2+…=F·（Δs1+Δs2+…）=2πLF。

警示：有的同學(xué)會(huì)因?yàn)闆]有仔細(xì)分析桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，或沒有考慮力F是恒力還是變力，或?qū)η蠊Φ墓絎=Flcosα的適用范圍搞不清楚，而亂套公式導(dǎo)致出錯(cuò)。

二、利用圖像法“數(shù)形結(jié)合”求變力做功

在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力F，用橫坐標(biāo)表示物體在力的方向上的位移s，作出F-s圖像可以直觀展現(xiàn)物體受到的力隨位移的變化關(guān)系。利用F-s圖像求解做功問題更簡(jiǎn)捷。

若作用在物體上的力是恒力，則其F-s圖像如圖2所示。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間物體發(fā)生的位移為s0，則直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影部分面積）在數(shù)值上等于力對(duì)物體做的功W=F0s0，s軸上方的面積表示力對(duì)物體做正功（如圖2甲所示），s軸下方的面積表示力對(duì)物體做負(fù)功（如圖2乙所示）。

若物體的F-s圖像是一條傾斜的直線（如圖3所示），經(jīng)過(guò)一段時(shí)間物體發(fā)生的位移為s0，則直線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影部分面積）在數(shù)值上等于力對(duì)物體做的功，s軸上方的面積表示力對(duì)物體做正功（如圖3甲所示），s軸下方的面積表示力對(duì)物體做負(fù)功（如圖3乙所示）。

若物體的F-s圖像是一條曲線（如圖4所示），則表示力的大小隨位移不斷變化，曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個(gè)小矩形的面積分別表示對(duì)應(yīng)恒力做的功。當(dāng)階梯形折線越分越密時(shí)，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積。

例2放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)k=200N/m的輕彈簧相連?，F(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點(diǎn)移動(dòng)x1=0.2m時(shí)，木塊開始運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動(dòng)了x2=0.4m的位移，求上述過(guò)程中拉力所做的功。

解析

根據(jù)題意可知，拉力與木塊受到的彈簧彈力相同。在木塊運(yùn)動(dòng)之前，木塊受到的彈簧彈力隨彈簧伸長(zhǎng)量的變化呈線性關(guān)系，即F=kx（0＜x＜0.2m）；當(dāng)木塊緩慢移動(dòng)時(shí)，木塊受到的彈簧彈力不變，即F=kx1=40N（x≥0.2 m）。作出F-x圖像如圖5所示，圖像與橫軸所圍梯形的面積在數(shù)值上等于拉力所做的功，即W=×（0.6+0.4）×40J=20J。

三、利用能量觀點(diǎn)“化繁為簡(jiǎn)”求變力做功

1.動(dòng)能定理法：應(yīng)用動(dòng)能定理只需考慮初、末狀態(tài)，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過(guò)程變化的影響，因此凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，都可以運(yùn)用動(dòng)能定理分析解答，且往往會(huì)比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解更簡(jiǎn)捷。面對(duì)無(wú)法應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決的變力做功問題時(shí)，可以巧用動(dòng)能定理進(jìn)行求解。用W變表示變力做的功，則動(dòng)能定理的表達(dá)式為W恒+W變=Ek2-Ek1或Flcosα+W變=Ek2-Ek1。

例3攝制組在某大樓邊拍攝武打片，要求特技演員從地面飛到屋頂。如圖6所示，若特技演員的質(zhì)量m=50kg，攝制組在房頂離地H=12 m處架設(shè)了輪軸（輪與軸有相同的角速度），輪和軸的直徑之比為3：2（人和車均可視為質(zhì)點(diǎn)，且輪和軸的直徑遠(yuǎn)小于H）。若軌道車從圖中A處勻速前進(jìn)到B處，速度v=10m/s，細(xì)鋼絲繩BO與水平方向間的夾角為53°，則由于繞在輪上細(xì)鋼絲繩的拉動(dòng)，演員由地面從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)。在軌道車從A處運(yùn)動(dòng)到B處的過(guò)程中（取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（ ）。

A.演員上升的高度為3m

B.演員的最大速度為9m/s

C.以地面為重力勢(shì)能的零勢(shì)能面，演員的最大機(jī)械能為2400J

D.細(xì)鋼絲繩在這一過(guò)程中對(duì)演員做的功為4275J

解析

將軌道車的速度v分解到沿繩和垂直于繩兩個(gè)方向上，則在B處繩的伸長(zhǎng)速度v1=vcos53°=6m/s。設(shè)演員的上升速度為v3，輪的半徑為R，軸的半徑為r，由輪和軸的角速度相等得，解得v3=9 m/s，選項(xiàng)B正確。在軌道車由A處運(yùn)動(dòng)到B處的過(guò)程中，設(shè)演員上升的高度為h，由輪和軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等得，解得h=4.5 m，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。細(xì)鋼絲繩在這一過(guò)程中對(duì)演員做的功等于演員具有的最大機(jī)械能（以地面為重力勢(shì)能的零勢(shì)能面），由動(dòng)能定理得，解得W=4275J，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

答案：BD

2.機(jī)械能守恒定律法：當(dāng)物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。如果重力和彈力中有一個(gè)力是變力，那么這個(gè)變力所做的功就可以用機(jī)械能守恒定律求解。

例4如圖7所示，質(zhì)量為m，總長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過(guò)一個(gè)光滑的輕小滑輪，開始時(shí)底端相齊。當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)其一端下落，則從鐵鏈一端開始下落到鐵鏈剛脫離滑輪的過(guò)程中重力所做的功為多少？

解析

3.能量守恒定律法：當(dāng)除重力或彈力之外的其他力對(duì)物體也做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，但能量的總量保持不變。如果這些力中只有一個(gè)變力做功，而除變力外的其他力對(duì)物體做的功和系統(tǒng)機(jī)械能的變化量容易求得，那么就可以用能量守恒定律求解變力做功問題。

例5如圖8所示，將一個(gè)質(zhì)量為m、長(zhǎng)為a、寬為b的矩形物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，人最少需要做多少功？

解析

在人把這個(gè)矩形物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，人對(duì)物體的作用力的大小和方向均為未知量，也不知道其大小和方向的變化情況，因此需按變力做功問題求解。在人把物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，物體重心升高的高度，因此物體機(jī)械能的增量ΔE=ΔEp+ΔEk。根據(jù)能量守恒定律得W人=ΔE=ΔEp+ΔEk，當(dāng)ΔEk=0時(shí)，W人最小，因此人最少需要做的功等于