■四川省成都市航天中學校
x-t圖像是以位移(x)為縱軸,以時間(t)為橫軸所作的函數(shù)圖像,它表示物體的位移隨時間變化的規(guī)律。在日常的學習中有很多同學會誤以為x-t圖像就是物體運動的實際軌跡。下面通過對x-t圖像的剖析,幫助同學們完成對相關(guān)問題的解答。
1.圖像的物理意義:x-t圖像只表示物體做直線運動。如圖1所示,直線a表示物體的位移隨時間均勻增加,又因為圖像在橫軸上方表示位移為正,所以表示物體沿正方向做勻速直線運動;直線b表示物體的位移不變化,即物體處于靜止狀態(tài);直線c表示物體的位移隨時間均勻減小,即物體沿負方向做勻速直線運動。
2.斜率的含義:x-t圖像的斜率表示速度,圖像傾斜得越厲害,斜率越大,表示物體的速度越大。若x-t圖像是曲線,則在該曲線上某點切線的斜率表示該點的瞬時速度。如圖2所示,曲線a表示物體的速度逐漸變大,即物體做加速直線運動,曲線b表示物體的速度逐漸變小,即物體做減速直線運動。
3.交點的含義:在同一坐標系中,幾個x-t圖像的交點表示這幾個物體在同一位置,即相遇。
4.截距的含義:x-t圖像在縱軸上的截距表示物體在起始時刻的位置,在橫軸上的截距表示物體到達參考點時對應的時刻。
物體的運動軌跡圖像表示物體沿y方向的位移隨x方向位移的變化規(guī)律,它反映的是物體的實際運動軌跡;x-t圖像表示的是物體的位移隨時間的變化關(guān)系。兩種圖像具有本質(zhì)上的差別。
例1某校學生開展無線電定位“搜狐”比賽,甲、乙兩位同學從如圖3所示的O點同時出發(fā),并同時到達A點,兩位同學的“搜狐”路徑已在圖中標出,則( )。
A.兩位同學的平均速度相等
B.甲同學的平均速度大于乙同學的平均速度
C.甲同學的路程大于乙同學的路程
D.甲同學的位移大于乙同學的位移
解析
此“地形圖”實為兩位同學的運動軌跡圖像。兩位同學同時出發(fā)、同時到達A點,位移相等,平均速度相等,選項A正確,B錯誤。甲同學運動軌跡的長度大于乙同學運動軌跡的長度,即甲同學的路程大于乙同學的路程,選項C正確,D錯誤。
答案:AC
例2甲、乙、丙三個物體同時同地出發(fā)做直線運動,它們的x-t圖像如圖4所示,在0~20s內(nèi)它們的平均速度和平均速率的大小關(guān)系是( )。
A.平均速度大小相等,平均速率v甲>v乙=v丙
B.平均速度大小相等,平均速率v甲>v乙>v丙
C.平均速度的大小v甲>v丙>v乙,平均速率相等
D.平均速度的大小和平均速率相等
解析
由x-t圖像可知,三個物體的位移相等,經(jīng)歷時間也相等,因此平均速度大小相等。因為甲物體有反向運動過程,所以甲物體的路程最大,平均速率也最大;乙、丙兩物體均沒有反向運動過程,乙物體做勻速直線運動,丙物體做變速直線運動,且它們經(jīng)過的路程是相等的,因此兩物體的平均速率相等。
答案:A
點評:物體的運動軌跡圖像表示了物體運動的軌跡變化情況,它反映的可以是直線運動也可以是曲線運動,但是不能反映出物體瞬時速度的變化情況;x-t圖像不能表示物體運動的實際軌跡,但可以反映出物體在不同時刻的位置,也能反映出不同時刻物體瞬時速度的變化情況。
x-t圖像可以細致地記錄、全面地表現(xiàn)物體做直線運動時的運動過程,具有便捷、直觀的應用價值。
例3(2018年高考全國Ⅲ卷)甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動,甲車做勻加速直線運動,乙車做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖5所示,下列說法中正確的是( )。
A.在t1時刻兩車的速度相等
B.在0~t1內(nèi),兩車走過的路程相等
C.在t1~t2內(nèi),兩車走過的路程相等
D.在t1~t2內(nèi)的某時刻,兩車的速度相等
解析
由x-t圖像可知,在t1時刻,甲、乙兩車的圖像有交點,且表示乙車的直線的斜率大于表示甲車的曲線的斜率,說明在t1時刻兩車的位置相同,速度不相等,且乙車的速度大于甲車的速度,選項A錯誤。0時刻乙車從位移為0的位置出發(fā),甲車從位移大于0的位置出發(fā),在0~t1內(nèi)乙車走過的路程要大于甲車走過的路程,選項B錯誤。在t1~t2內(nèi),兩車都是從位移為x1的位置走到位移為x2的位置,且兩車在同一平直公路上同向運動,因此兩車走過的路程相等,選項C正確。根據(jù)x-t圖像的斜率表示速度可知,在t1~t2內(nèi)的某時刻,兩車的速度會相等,選項D正確。
答案:CD
點評:解決本題的關(guān)鍵是明確在x-t圖像中,物體做勻速直線運動的位移隨時間變化的圖像為一條傾斜的直線,做勻加速直線運動的位移隨時間變化的圖像為一條拋物線,圖像的斜率表示物體的速度。
豎直上拋運動是勻變速直線運動的一個特例,既可以視為全過程的勻減速直線運動,又可以分為上升過程的勻減速直線運動和下降過程的自由落體運動。當兩個物體先后以不同的初速度在同一直線上做豎直上拋運動時,它們可能會在空中相遇。
例4將小球A以初速度vA=40 m/s豎直向上拋出,經(jīng)過時間Δt后,又以初速度vB=30 m/s將小球B從同一點豎直向上拋出,為了使兩小球能在空中相遇,試分析Δt應滿足的條件。(取重力加速度g=10m/s2)
解析
因為是在同一點拋出的兩小球,且vA>vB,所以兩小球能夠在空中相遇的位置一定是在小球A下降階段,小球B在上升或下降階段都有可能,兩小球被拋出的時間間隔由兩小球在空中相遇的位置決定,可以利用x-t圖像進行求解。
點評:求解該題雖然也可以采用其他方法,但是借助x-t圖像呈現(xiàn)兩個運動在一段時間內(nèi)的位置及變化情況,從而比較、分析兩小球的相遇問題,無疑更直觀、更便捷。
特別提醒:解決x-t圖像問題要做到“五看”,即一看“軸”,二看“線”,三看“斜率”,四看“截距”,五看“特殊點”。有些圖像問題的求解(如v-t圖像)還需要看圖像與坐標軸所圍成的“面積”,而x-t圖像與坐標軸所圍成的面積是沒有意義的。
感悟與提高
1.甲、乙兩小分隊進行軍事演習,指揮部通過現(xiàn)代通信設備,在屏幕上觀察到兩小分隊的具體行軍路線如圖7所示,兩小分隊同時同地由O點出發(fā),最后同時到達A點,下列說法中正確的是( )。
A.兩小分隊行軍路程的大小關(guān)系是s甲>s乙
B.甲小分隊的平均速度大于乙小分隊的平均速度
C.甲小分隊的位移大于乙小分隊的位移
D.到達A點之前甲小分隊的瞬時速度始終大于乙小分隊的瞬時速度
2.甲、乙兩人騎自行車同時同地出發(fā)做直線運動,前1h內(nèi)的x-t圖像如圖8所示,下列表述正確的是( )。
A.0.2h~0.5h內(nèi),甲的加速度比乙的大
B.0.2h~0.5h內(nèi),甲的速度比乙的大
C.0.6h~0.8h內(nèi),甲的位移比乙的小
D.0~0.8h內(nèi),甲、乙兩人騎行的路程相等
3.a、b、c三個物體在同一條直線上運動,它們的x-t圖像如圖9所示,其中a物體對應的圖像是一條頂點坐標為(0,10)的拋物線,下列說法中正確的是( )。
A.b、c兩物體都做勻速直線運動,兩物體的速度相同
B.0~5s內(nèi),a、b兩物體間的距離逐漸變大
C.物體c的速度越來越大
D.物體a的加速度為0.4m/s2
4.從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A,相隔時間Δt后再以初速度v0從同一地點豎直上拋物體B,不計空氣阻力,下列說法中正確的是( )。
A.兩物體可能在物體A上升過程中相遇
B.兩物體只能在物體A下降過程中相遇
參考答案:1.A 2.B 3.B 4.BC