■寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)

機(jī)械能守恒定律是物理學(xué)中的一條重要定律，是能量守恒定律的一種特殊情況。應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決有關(guān)問(wèn)題，一般不涉及過(guò)程中力的作用細(xì)節(jié)，更關(guān)注過(guò)程中的機(jī)械能的轉(zhuǎn)化關(guān)系和始末狀態(tài)，使物理問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，有時(shí)還可以使得一些用牛頓運(yùn)動(dòng)定律無(wú)法解決的問(wèn)題得以解決。下面就機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用的高頻考點(diǎn)歸納剖析，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、機(jī)械能守恒定律成立的條件

機(jī)械能守恒定律的條件分析和判定是運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題的重要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒，通常可以采用以下三種方法。

1.定義判斷法：分析系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)能與勢(shì)能的和是否變化，如勻速上升的物體的動(dòng)能不變，重力勢(shì)能增加，故機(jī)械能必定增加。

2.做功判斷法：若僅僅是系統(tǒng)內(nèi)的重力或彈力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒。具體表現(xiàn)包括：一種是只受重力，如所有拋體運(yùn)動(dòng)（阻力不計(jì)）；另一種是除重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力，系統(tǒng)還受其他力作用，但是其他力不做功或做的總功為零。

3.能量轉(zhuǎn)化判斷法：若系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，如動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈簧的彈性勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化，沒(méi)有系統(tǒng)的機(jī)械能和其他形式能的轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒。

例1如圖1所示的四個(gè)選項(xiàng)中，物體都在固定的斜面上滑動(dòng)，其中A、B、C中的斜面是光滑的，D中的斜面是粗糙的。A、B中F是物體所受的外力，A、B、D中物體沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，C中物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)。在A、B、C、D所示的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能一定守恒的是（ ）。

解析

A中，除了重力對(duì)物體做功，還有外力F對(duì)物體做正功，物體的機(jī)械能增加；B中，除了重力對(duì)物體做功，還有外力F對(duì)物體做負(fù)功，物體的機(jī)械能減少；C中只有重力對(duì)物體做功，物體的機(jī)械能守恒；D中，除了重力對(duì)物體做功，還有摩擦力對(duì)物體做負(fù)功，物體的部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

答案：C

二、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解單個(gè)物體（系統(tǒng)）問(wèn)題

單個(gè)物體機(jī)械能守恒是一種簡(jiǎn)潔的說(shuō)法，其本質(zhì)是系統(tǒng)機(jī)械能守恒。解答這類(lèi)問(wèn)題，通常采用三種方法分析：一是選擇參考平面，利用機(jī)械能守恒定律，列出兩時(shí)刻（位置）機(jī)械能相等的方程式，求解相關(guān)物理量；二是根據(jù)機(jī)械能守恒定律，列出勢(shì)能的增加量（減少量）等于動(dòng)能的減少量（增加量）的方程式，求解相關(guān)物理量；三是根據(jù)機(jī)械能守恒定律，列出系統(tǒng)中一些物體機(jī)械能的減少量（增加量）等于其他物體機(jī)械能的增加量（減少量）的方程式，求解相關(guān)物理量。

例2如圖2所示，兩個(gè)圓弧軌道被固定在水平面上，它們的半徑均為R，甲圖中軌道由金屬凹槽制作而成，乙圖中軌道由金屬圓管制作而成，兩個(gè)軌道均可視為光滑軌道。在兩個(gè)軌道的右側(cè)正上方，分別將金屬小球A與B由靜止釋放，兩小球距離水平面的高度分別是hA和hB，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.如果hA=hB=2R，那么兩小球都能夠沿著軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)

C.若適當(dāng)調(diào)整hA和hB，則可使兩小球從軌道最高點(diǎn)飛出后，恰好能夠落在軌道右端口處

D.如果使兩小球沿軌道運(yùn)動(dòng)，并且從軌道最高點(diǎn)飛出，那么小球A釋放時(shí)的最小高度是，而小球B釋放時(shí)的高度在滿足hB≥2R的任何高度均可

解析

小球A要想能夠到達(dá)軌道最高點(diǎn)，則在軌道最高點(diǎn)必須滿足速度，而小球B在軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度可以為零。根據(jù)小球在下落和在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能守恒，對(duì)小球A有，解得，對(duì)小球B有hB≥2R，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D正 確。當(dāng)時(shí)，對(duì)小球A來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)小球A在最高點(diǎn)的速度為零時(shí)才能達(dá)到高度為，而小球A在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)不可能有速度為零的時(shí)刻，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。要使小球能夠從軌道最高點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)落到軌道右端口處，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，，R=vt，解得小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，因此小球A不可能落到軌道的右端口處，小球B可以落到軌道的右端口處，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

答案：D

三、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)問(wèn)題

高考考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，大多情況是考查由兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，這兩個(gè)物體通常用細(xì)繩或輕桿連接在一起，從運(yùn)動(dòng)過(guò)程所涉及能量形式的角度看，如果摩擦阻力不計(jì)，僅僅是重力勢(shì)能和動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化，或者僅僅是系統(tǒng)內(nèi)彈力對(duì)一個(gè)物體做正功與對(duì)另一個(gè)物體做負(fù)功，也就是內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)言之，若沒(méi)有摩擦力和介質(zhì)阻力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

例3如圖3所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤(pán)盤(pán)面與地面相垂直，圓心處有一個(gè)垂直于盤(pán)面的光滑水平固定軸O，在盤(pán)面的右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在圓心的正下方離其處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B。放開(kāi)圓盤(pán)讓它自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：

（1）當(dāng)小球A轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？

（2）小球A轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多大？

（3）在圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

解析

因?yàn)椴挥?jì)圓盤(pán)與轉(zhuǎn)軸O的摩擦和空氣阻力，機(jī)械能和其他能之間沒(méi)有能量轉(zhuǎn)化，所以由圓盤(pán)及A、B兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

（1）以圓盤(pán)邊緣最低點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面，則圓盤(pán)剛要開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B兩小球的重力勢(shì)能之和，當(dāng)小球A轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩小球的重力勢(shì)能之和Ep2=EpA′+EpB′=mgr，因此當(dāng)小球A轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩小球的重力勢(shì)能之和減少量。

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)問(wèn)題，可以根據(jù)機(jī)械能和其他形式能之間是否發(fā)生轉(zhuǎn)化，判定機(jī)械能是否守恒，也可以根據(jù)確定系統(tǒng)中有哪幾個(gè)物體，都受到哪些力，有哪些力做功，除了重力和系統(tǒng)內(nèi)的彈力，其他力是否做功，或者其他力做功的代數(shù)和是否為零，判定機(jī)械能是否守恒。本題中，A、B兩小球固定在同一圓盤(pán)平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，是典型的同軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，角速度相等，則線速度與半徑成正比。另外，在利用機(jī)械能守恒定律解題時(shí)，選取不同的零勢(shì)能面，將會(huì)影響所列機(jī)械能守恒方程的復(fù)雜程度，比如本題若以轉(zhuǎn)軸所在平面為零勢(shì)能面，則會(huì)使機(jī)械能守恒方程更為簡(jiǎn)潔，同學(xué)們不妨一試。

四、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求解含彈簧類(lèi)問(wèn)題

近年來(lái)，高考試卷物理模塊中常常出現(xiàn)多過(guò)程、多情境的試題，特別是含彈簧類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)得更加頻繁。這類(lèi)試題能夠很好地考查考生分析復(fù)雜問(wèn)題的能力，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及創(chuàng)新應(yīng)用能力等。

例4如圖5所示，A、B兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，二者用一輕質(zhì)彈簧相連，物體B與地面接觸，物體A與一條不可伸長(zhǎng)的繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的輕繩連接，輕繩另一端與一輕掛鉤（質(zhì)量不計(jì)）相連，它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知彈簧的勁度系數(shù)為k，開(kāi)始時(shí)各段輕繩都處于伸直狀態(tài)，物體A上方的一段輕繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并將它由靜止釋放，物體C恰好能夠使物體B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。如果將物體C換成另一個(gè)質(zhì)量為（m1+m3）的物體D，仍然從上述初始位置將它由靜止釋放，求這次物體B剛離開(kāi)地面時(shí)，物體D的速度大?。ㄖ亓铀俣葹間）。

解析

開(kāi)始時(shí)，A、B兩物體靜止，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，則kx1=m1g，解得。掛上物體C并釋放后，物體C向下運(yùn)動(dòng)，物體A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體B剛要離開(kāi)地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2，則kx2=m2g，解得。由題意可知，此時(shí)物體A和C的速度均為零，由物體C、A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，彈簧彈性勢(shì)能的增加量。將物體C換成物體D后，設(shè)物體B剛離開(kāi)地面時(shí)，物體D的速度大小為v，則此時(shí)物體A的速度大小也為v，物體B剛離開(kāi)地面時(shí)彈簧彈性勢(shì)能的增加量與掛物塊C時(shí)相同，由機(jī)械能守恒定律得，聯(lián)立以上各式解得。

點(diǎn)評(píng)：高中階段遇到的涉及彈簧彈性勢(shì)能的問(wèn)題，一般是考查機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律的理解和應(yīng)用，而不是考查彈簧彈性勢(shì)能公式的應(yīng)用（除非題目中給出這個(gè)公式），原因是教材中沒(méi)有這個(gè)彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式，高考大綱中也不要求掌握這個(gè)公式。

感悟與提高

1.2018年10月11日，俄羅斯“聯(lián)盟MS-10”運(yùn)載火箭發(fā)射升空，不久發(fā)生故障，自動(dòng)啟動(dòng)逃逸系統(tǒng)后，逃逸塔以最快的速度將火箭和載人飛船分離，同時(shí)啟動(dòng)自帶發(fā)動(dòng)機(jī)，順利將載人飛船帶離火箭且安全返回地面。將逃逸塔帶著載人飛船在返回地面前的某段運(yùn)動(dòng)看成先勻速直線運(yùn)動(dòng)，再減速直線運(yùn)動(dòng)，最后撞落在地面上。那么飛船在返回地面前（不考慮飛船質(zhì)量的變化），下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.在勻速下降過(guò)程中，機(jī)械能守恒

B.在勻速下降過(guò)程中，合外力做功為零

C.在減速下降過(guò)程中，機(jī)械能守恒

D.在減速下降過(guò)程中，合外力做功等于機(jī)械能的變化

2.如圖6所示，帶電小球a由兩條絕緣細(xì)線PM和PN懸掛，且細(xì)線PM水平，小球a處于靜止?fàn)顟B(tài)。地面上固定一絕緣且內(nèi)壁光滑的圓弧細(xì)管道GH，小球a所在位置與圓心P重合，管道底端H相切于水平地面。一質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點(diǎn)）的帶電小球b從G端口無(wú)初速度地釋放，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到H端時(shí)對(duì)管道壁恰好無(wú)壓力，那么在小球b由G端運(yùn)動(dòng)至H端的過(guò)程中（重力加速度為g），下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.小球b的機(jī)械能逐漸減小

B.小球b的加速度先變大后變小

C.細(xì)線PM的拉力先增大后減小

D.小球b所受小球a對(duì)它的吸引力大小始終為2mg

3.如圖7所示，光滑圓環(huán)半徑為R，固定在豎直面內(nèi)，用輕桿連接兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B，并將兩小球套在圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)輕桿豎直，同時(shí)無(wú)初速度地釋放兩球，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到小球B的初始位置時(shí)，輕桿恰好水平。在從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到輕桿水平的過(guò)程中（重力加速度為g），下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.小球A、B的機(jī)械能均守恒

B.由小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

C.輕桿對(duì)小球B做的功為

D.輕桿對(duì)小球A做的功為0

4.如圖8所 示，半徑R=0.2 m的 光滑半圓軌道AB與傾角θ=37°的粗糙斜面軌道CD放在同一豎直平面內(nèi)，一條光滑且足夠長(zhǎng)的水平軌道BC將AB、CD兩軌道相連，C處用光滑小圓弧平滑連接。在軌道BC上，質(zhì)量為m的小物塊b與輕質(zhì)彈簧接觸但不拴接，在軌道CD上，將質(zhì)量為3m的小物塊a由靜止釋放，經(jīng)C點(diǎn)后壓縮彈簧，物塊b到達(dá)B點(diǎn)時(shí)已與彈簧分離（物塊a與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：

（1）物塊b通過(guò)最高點(diǎn)A后，在軌道BC上的落點(diǎn)與B點(diǎn)間的最短水平距離。

（2）要使物塊b能夠通過(guò)最高點(diǎn)A，釋放物塊a時(shí)的最小高度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

參考答案：1.B 2.C 3.BC

4.（1）Lmin=0.4m；（2）hmin=0.67m。