王維忠　梁力　范虹霞

[摘 要]針對線性代數(shù)課程學(xué)生難學(xué)、教師難教的現(xiàn)實(shí)情況， 試圖從教材的“現(xiàn)代化”建設(shè)、幾何與線性代數(shù)課程的融合以及MATLAB在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用三個方面， 討論工科院校中線性代數(shù)課程的教學(xué)改革問題， 同時提出了一些具體的改進(jìn)建議.

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù); 教材的現(xiàn)代化; MATLAB; 幾何語言

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）01-0074-03

線性代數(shù)的主要特點(diǎn)在于應(yīng)用的廣泛性和理論的抽象性. 正是因?yàn)檫@樣， 我們在教學(xué)中常常會感到苦惱， 一方面為了數(shù)學(xué)理論本身的發(fā)展， 抽象是需要的; 另一方面， 為了解決工程實(shí)際問題的需要， 突出矩陣應(yīng)用是必不可少的. 倘若兩個方面都能兼顧， 那是最好不過了， 可實(shí)際情況是受到諸多因素的影響， 比如授課學(xué)時的限制、教師教學(xué)能力的參差不齊、教材內(nèi)容的導(dǎo)向等等， 我們很難達(dá)到二者兼顧的理想狀態(tài). 那我們究竟該怎么做呢？ 結(jié)合我們多年的線性代數(shù)授課以及教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn)， 我們從以下幾點(diǎn)來談一些關(guān)于工科院校線性代數(shù)教學(xué)的體會.

一、教材的現(xiàn)代化需求日益突出

目前， 國內(nèi)多數(shù)工科院校與西方國家尤其是美國的同類院校相比， 所使用的線性代數(shù)教材的主要差異在于對同樣內(nèi)容的表述和處理方式、 突出的重點(diǎn)不同.國內(nèi)線性代數(shù)教材可以說“邏輯嚴(yán)密、表述嚴(yán)謹(jǐn)、 風(fēng)格嚴(yán)肅”， 內(nèi)容編排多為“概念-定理-例題-習(xí)題”這樣的模式[1]. 而美國教材的特點(diǎn)是取材廣泛、注重應(yīng)用、風(fēng)格活潑， 便于培養(yǎng)學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性[2-3].

線性代數(shù)這門課程在美國是20個世紀(jì)60年代納入數(shù)學(xué)系本科的， 最初的教學(xué)大綱是以向量空間為主體而為數(shù)學(xué)專業(yè)設(shè)計的. 伴隨修這門課程的工科學(xué)生人數(shù)的增長， 原有的大綱逐漸地出現(xiàn)了一些問題， 于是1990年美國成立了線性代數(shù)課程研究組LACSG（Linear Algebra Curiculum Study Group）開始專門討論線性代數(shù)的教學(xué)改革問題， 以促進(jìn)作為公共課的線性代數(shù)轉(zhuǎn)向矩陣的應(yīng)用， 進(jìn)而滿足非數(shù)學(xué)專業(yè)的需求[4]. 我國自20世紀(jì)80年代將線性代數(shù)引入本科以來， 30多年過去了， 基本上一直執(zhí)行的是1995年制訂的全國性的大綱. 近年來， 教學(xué)大綱和教材雖有調(diào)整和改進(jìn)， 尤其是教材編寫方面， 已經(jīng)出現(xiàn)了一些新的好的教材， 但總體上還不能適應(yīng)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的需求， 因此我們有必要重新修訂大綱， 以加快線性代數(shù)教材“現(xiàn)代化”過程的步伐！

李大潛院士指出： “數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其他學(xué)科和外部世界隔離， 只是一個勁地在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中打圈子， 這不利于了解數(shù)學(xué)的概念、方法和理論的來龍去脈， 不利于啟發(fā)學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)工具來解決各種各樣的現(xiàn)實(shí)問題， 不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”.

基于上述觀點(diǎn)， 我們在編寫新教材時， 應(yīng)力爭做到數(shù)學(xué)概念要通過精選的應(yīng)用實(shí)例來引入， 教材內(nèi)容的編寫要體現(xiàn)線性代數(shù)知識應(yīng)用的過程.例題與習(xí)題的設(shè)置環(huán)節(jié)上， 不僅要有常規(guī)的概念復(fù)習(xí)題、計算和證明題， 還需配置綜合性較強(qiáng)的探索性題目以及借助數(shù)學(xué)軟件來解決的實(shí)驗(yàn)性習(xí)題. 目前， 西方國家的教材在上述幾個方面有明確的體現(xiàn)， 我們應(yīng)以學(xué)習(xí)交流、 融合互補(bǔ)的目的， 吸取借鑒國外的優(yōu)秀教材， 為我們教材的“現(xiàn)代化”提供參考和新思路.

二、要注重運(yùn)用幾何語言闡釋線性代數(shù)的概念或命題

抽象性是線性代數(shù)課程的主要特點(diǎn)之一. 因此， 一方面， 大多數(shù)學(xué)生修完該課程后的普遍反應(yīng)是：內(nèi)容抽象枯燥、定義繁多， 難以與其他數(shù)學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)系等;另一方面， 擔(dān)任線性代數(shù)教學(xué)的教師常感到相比較微積分而言， 線性代數(shù)的教學(xué)更困難一些. 主要原因是， 微積分經(jīng)過幾百年的錘煉以及與其他各個學(xué)科的融合， 已經(jīng)建立了大量的直觀性例題， 而現(xiàn)行的線性代數(shù)教材的編寫缺乏與其他學(xué)科的聯(lián)系， 直觀的應(yīng)用顯得不足[5-7].

實(shí)踐表明， 借助幾何語言來闡釋線性代數(shù)中的概念和性質(zhì)， 是化解線性代數(shù)抽象、難學(xué)難教的一個行之有效的方法. 令人可喜的是， 目前已有一些院校的數(shù)學(xué)專業(yè)把高等代數(shù)和解析幾何兩門課程合成了一門新的課程， 相應(yīng)的教材也不斷地出現(xiàn)[8-9]. 但在許多工科課程設(shè)置中， 解析幾何只是作為微積分中的一個章節(jié)， 目的是為多元函數(shù)微積分的教學(xué)服務(wù)， 客觀上造成了線性代數(shù)與幾何內(nèi)容上的割裂. 因此， 擔(dān)任線性代數(shù)教學(xué)的教師在課堂教學(xué)中要為學(xué)生架起代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁， 注重運(yùn)用幾何語言解釋線性代數(shù)的概念或命題[10]. 比如我們可以從兩平面間的位置關(guān)系的角度來加強(qiáng)理解矩陣秩的概念：設(shè)有平面

[π1：a1x+b1y+c1z=d1]與[π2：a2x+b2y+c2z=d2]，

且設(shè)線性方程組

[a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為[A]與[A]. 則當(dāng)[RA=RA=2]時， 平面[π1]和[π2]相交于一條直線;當(dāng)[RA=RA=1]時， 平面[π1]和[π2]重合;當(dāng)[RA=1，RA=2]時平面[π1]和[π2]平行.

事實(shí)上， 由于[a1，b1，c1]不全為零， 所以[RA≠0]， 于是， [A]與[A]的秩僅有三種可能的情形：

情形1 若[RA=RA=2]， 則方程組（1）是有解的. 假設(shè)[γ0=x0，y0，z0]是它的一個特解. 由于方程組（1）所對應(yīng)的齊次方程組

[a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

的系數(shù)矩陣[A]的秩也為2， 顯然方程組（2）有非零解， 并且基礎(chǔ)解系中解的個數(shù)為[3-2=1]. 不妨設(shè)[η=η1，η2，η3]為方程組（2）的一個基礎(chǔ)解系， 那么

[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3] （k∈R）

便是方程組（1）的通解. 從解析幾何的角度來看， 當(dāng)[k]取遍全體實(shí)數(shù)時， 點(diǎn)[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3]的軌跡是過定點(diǎn)[γ0=x0，y0，z0]且方向向量為[η]的一條直線， 從而當(dāng)[RA=RA=2]時， 平面[π1]和[π2]相交于一條直線.

情形2 若[RA=RA=1，] 則[a1，b1，c1，d1]與[a2，b2，c2，d2]分量對應(yīng)比例. 因此方程組（1）的通解為[a1x+b1y+c1z=d1]， 這就是平面[π1]的方程， 從而平面[π1]和[π2]是重合的.

情形3 若[RA=1，RA=2，] 則方程組（1）無解. 從而平面[π1]和[π2]沒有公共點(diǎn)， 因此[π1]和[π2]平行.

再比如， 課堂教學(xué)中通過介紹矩陣特征值在研究二次曲線時的應(yīng)用， 不僅能使學(xué)生體會到矩陣?yán)碚搼?yīng)用的廣泛性、不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的相互交叉和聯(lián)系、二次型理論的起源等， 同時還能培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力. 設(shè)有形如

[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

的二次曲線， 且設(shè)[λ1]， [λ2]是對稱矩陣

[P=b11b12b12b22]

的特征值， 則二次曲線（3）的形狀可由矩陣[P]的特征值[λ1]、[λ2]和二次曲線常數(shù)項[a1]唯一地確定.

事實(shí)上， 若引入向量

[X=xy]， [Y=x1y1]，

則（3）可寫為[XTPX+a1=0]. 由于[P=b11b12b12b22]是實(shí)對稱的， 所以存在正交矩陣[C]滿足[CTPC=λ100λ2]， 即由正交變換[X=CY]可得[YTCTPCY+a1=0]， 從而

[YTλ100λ2Y+a1=0]

即 [λ1x12+λ2y22+a1=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

由于[X=CY]是正交變換， 而正交變換不改變向量的內(nèi)積與長度， 因此（3）式與（4）式表示的形狀相同， 由此可知二次曲線[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]的形狀能由[λ1]， [λ2]和[a1]的取值唯一確定. 利用這個方法容易判斷方程

[x2+y2-xy-1=0]

和

[x2+y2+4xy+2=0]

分別表示橢圓和雙曲線.

三、要在線性代數(shù)教學(xué)中滲透科學(xué)計算能力的培養(yǎng)

錢學(xué)森先生早在1989年就曾富有前瞻性地指出：“現(xiàn)在已經(jīng)可以看到電子計算機(jī)對工程技術(shù)工作的影響;今后對一個問題求解可以全部讓電子計算機(jī)去干， 不需要人去一點(diǎn)一點(diǎn)算. 而直到今天， 工科理科大學(xué)一二年級的數(shù)學(xué)課是構(gòu)筑在人自己去算這一要求上的. …所以理工科的數(shù)學(xué)課必須改革， 數(shù)學(xué)課不是為了學(xué)生學(xué)會自己去求解， 而是為了學(xué)生學(xué)會讓電子計算機(jī)去求解， 學(xué)會理解電子計算機(jī)給出的答案， 知其所以然， 這就是工科教學(xué)改革的部分內(nèi)容.”近年來， 人們在探索培養(yǎng)理工科學(xué)生科學(xué)計算能力方面取得了一些成果， 比如陳懷琛教授等人編著的教材[11-12]， 把經(jīng)典理論與現(xiàn)代計算技術(shù)手段相結(jié)合， 使一些大規(guī)模的復(fù)雜計算問題得以解決， 體現(xiàn)了MATLAB數(shù)學(xué)計算軟件在求解涉及矩陣計算問題方面的巨大優(yōu)越性.

然而， 就我們所知， 國內(nèi)大多數(shù)工科院校并沒有積極地吸納上述成果， 在線性代數(shù)課程的教學(xué)中， 科學(xué)計算與實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)方面與國外發(fā)達(dá)國家的差距與日俱增. 因此， 目前我們應(yīng)該明確一個方向， 那就是“為了解決工程實(shí)際問題， 工科線性代數(shù)教學(xué)就應(yīng)當(dāng)向矩陣應(yīng)用方向發(fā)展.” 教師組織教學(xué)內(nèi)容時應(yīng)以“需求牽引”和“問題驅(qū)動”為導(dǎo)向， 以盡量避免“抽象”為目標(biāo)， 讓學(xué)生知道線性代數(shù)課程在其后續(xù)專業(yè)中的用途， 也讓學(xué)生體會到MATLAB在行列式的計算、線性方程組的求解以及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等具體的線性代數(shù)計算問題中的應(yīng)用， 尤其是能夠展現(xiàn)計算軟件在解決高階問題時的便捷性， 使學(xué)生初步掌握利用線性代數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力.

但在線性代數(shù)教學(xué)中常面臨的困難是課時少、內(nèi)容多、多數(shù)學(xué)生沒有MATLAB的基礎(chǔ)， 那么我們又該怎么做呢？實(shí)踐表明， 充分利用好多媒體、翻轉(zhuǎn)課堂等方法就能較好地化解這一問題. 具體來說， 在線性代數(shù)傳統(tǒng)的板書教學(xué)中， 恰當(dāng)穿插使用多媒體手段， 往往能有效提高授課效率， 增加課堂信息量， 更加直觀、生動地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容;可將線性代數(shù)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行分解， 錄制成一些視頻節(jié)段提供給學(xué)生， 使學(xué)生課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)所用， 這樣課堂上就可用較少的時間介紹教材中的基本內(nèi)容， 節(jié)省出來的時間用以展現(xiàn)線性代數(shù)的一些典型應(yīng)用案例和MATLAB實(shí)踐案例， 彌補(bǔ)現(xiàn)行教材的不足， 促進(jìn)教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變與教學(xué)質(zhì)量的提高.

最后我們以在諸多科研和工程實(shí)際問題中均會遇到的多項式求根問題為例，? 進(jìn)一步說明用MATLAB求解一些計算問題時的便捷性和有效性. MATLAB提供的函數(shù)[roots（）]可以求出多項式的所有根， 調(diào)用格式為：[x=rootsp]： 這里[p]表示多項式的系數(shù)向量， [x]返回多項式[p]的全部根. 若已知多項式的所有根， 調(diào)用函數(shù)[poly（）]可求已知根的多項式， 調(diào)用格式為：[p=polyx]： 這里[x]為包含多項式的所有根的一個向量， 經(jīng)過計算返回以[x]為根的多項式系數(shù).比如求多項式[x3-9x2+26x-24]的根， 同時再驗(yàn)證有這些根的多項式. 我們僅需以下兩行語言：

[p=1-926-24];

[x=rootsp]

便可得? ?[x=]

[4.00003.00002.0000]

再要計算具有該根的多項式， 我們只需輸入下面一個命令

>> [p=polyx]

即可得解? ? [p=]

[1.0000-9.000026.0000-24.0000]

以上僅以多項式的根為例， 說明了MATLAB在線性代數(shù)計算問題中的優(yōu)越性， 事實(shí)上， 這樣的例子在線性代數(shù)中舉不勝舉， 這里不再贅述.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2009， 25（1）： 200-203.

[2] D.C. Lay， S.R. Lay， J.J. McDonald. Linear Algebra and its applications （Fifth? Edition） [M]. 劉深泉等，譯. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2018.

[3] S.J. Leon. Linear Algebra with applications （Ninth Edition） [M]. 張文博等，譯.北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2015.

[4] 郭文艷，趙鳳群.數(shù)學(xué)建模及Matlab軟件在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：87-90.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6] 郝志峰，謝國瑞，方文波，等.線性代數(shù)（修訂版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7] 楊文霞，何朗，萬源.面向能力培養(yǎng)和計算思維訓(xùn)練的線性代數(shù)混合式教學(xué)改革與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2018（34）：45-51.

[8] 黃廷祝，成孝予.線性代數(shù)與空間解析幾何（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[9] 鄭寶東，王忠英.線性代數(shù)與空間解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[10] 韓冰，李潔，楊威，高淑萍.線性代數(shù)教學(xué)改革中的幾點(diǎn)探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，16（4）：72-74.

[11] 陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[12] 陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[責(zé)任編輯：林志恒]