梁付元

[摘 ?要] 有效教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題. 核心素養(yǎng)培育背景下，有效教學(xué)仍然有其重要意義. 基于生活意識培養(yǎng)的有效教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);用有效教學(xué)驅(qū)動有效思維，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng);而基于學(xué)習(xí)品質(zhì)提升的有效教學(xué)，這可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 這三種素養(yǎng)得到了培育，那高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就有可能真正落地.?

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);有效教學(xué);核心素養(yǎng);核心素養(yǎng)培育

有效教學(xué)是近年來基礎(chǔ)教育界的一個熱詞，作為已經(jīng)為一線教師所接受的教學(xué)觀念，其如何與當(dāng)下熱門的核心素養(yǎng)形成有效的聯(lián)系，在邏輯上已然成為當(dāng)前一線教師關(guān)心的一個話題. 從某種程度上講，基于學(xué)科核心素養(yǎng)，展開有效教學(xué)已成為高中數(shù)學(xué)教師研究的重點(diǎn). 作為一線教師，對有效教學(xué)的理解往往是指向教學(xué)的知識掌握與應(yīng)用的，而感覺核心素養(yǎng)顯得有一些“空”，這也從另一個側(cè)面說明從有效教學(xué)走向核心素養(yǎng)的必要性. 王尚志教授提出中國學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心要素. 而在這六個要素當(dāng)中，原東北師范大學(xué)校長、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中認(rèn)為可以濃縮到數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模三個要素. 那么，有效教學(xué)如何與核心素養(yǎng)結(jié)合，學(xué)生如何通過有效的學(xué)習(xí)過程獲得核心素養(yǎng)的培育呢？對此筆者進(jìn)行了探究.

有效教學(xué)基于生活意識，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)離不開生活相關(guān)意識的建立. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)生活意識，實(shí)際上是想將生活與數(shù)學(xué)更緊密地聯(lián)系在一起，以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，能夠充分地利用數(shù)學(xué)抽象，去對生活中的事物進(jìn)行深度的思維加工. 也就是說，從有效教學(xué)的角度來看，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題與生活事物，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效的一種表現(xiàn);而從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的角度來看，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活事物與問題的過程，就是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到培育的過程. 因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視培養(yǎng)學(xué)生的生活意識，并在其基礎(chǔ)上實(shí)施有效教學(xué)，是可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的.

在“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)中，為了啟迪學(xué)生的思維，為了將圓與生活事物聯(lián)系在一起，教師可以先給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個來自于生活的圓的情境：比如說第一步，教師通過PPT提供矗立于城市的摩天輪、家庭餐桌上的盤子、機(jī)動車輛的輪圈、光盤、電風(fēng)扇轉(zhuǎn)動時扇子的邊緣走過的軌跡……這些都是生活中的圓. 在呈現(xiàn)這些事例之后，再向?qū)W生提出問題：在制作這些圓的時候，是如何確認(rèn)它是一個圓的呢？通常情況下，學(xué)生會根據(jù)圓的定義去回答，即圓是到定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的集合.

這樣的回答實(shí)際上是從“形”的角度做出的，由于筆者在教學(xué)的時候預(yù)設(shè)到學(xué)生對圓的認(rèn)識，更多的是從形的角度做出的判斷，而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程實(shí)際上是從“數(shù)”的角度去對圓作出另一種解讀. 如果不設(shè)計(jì)上述情境，而讓學(xué)生直接從數(shù)的角度去學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那學(xué)生的思維就缺少一個鋪墊，就很難進(jìn)入有效學(xué)習(xí)的狀態(tài). 反之有了上述基礎(chǔ)，教師再給出另一個情境，那學(xué)生的思維就比較自然了. 基于這個思路，筆者設(shè)計(jì)的第二步就是：已知某一個隧道的截面是一個半圓，其半徑是4米. 車輛在行駛的時候只能從中間線的一側(cè)行駛，現(xiàn)有一輛貨車，高是3米，寬是2.7米，那這一輛貨車能不能駛?cè)脒@個隧道呢？

這也是一個實(shí)際問題，但是這個實(shí)際問題的解決就需要比較有深度的思維，這個深度就體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象上. 學(xué)生“要將隧道抽象為一個建立在平面直角坐標(biāo)系上半徑為4米的圓，要將汽車抽象為一個高為3米、寬為2.7米的矩形，然后看這個矩形能否完全包含在圓之內(nèi)”——引號內(nèi)的這段內(nèi)容記錄的是學(xué)生在課堂上的發(fā)言，通過這段發(fā)言可以看出，學(xué)生的思維在加工這一素材的時候，已經(jīng)開始在進(jìn)行抽象，于是他們在草稿紙上出現(xiàn)的也不是形象的隧道與汽車的圖，而是抽象的平面直角坐標(biāo)系、圓與矩形的圖. 盡管這樣的抽象與最終的抽象還有一點(diǎn)距離，但是已經(jīng)足以說明在學(xué)生的潛意識當(dāng)中，解決這種相對復(fù)雜的生活問題，是需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的，而學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)，也就蘊(yùn)含在這個過程當(dāng)中.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類似于此的情形比較多，好多數(shù)學(xué)知識的引入，都可以借助于生活事物來進(jìn)行，因此數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以說是無處不在. 抓住這些契機(jī)，在教學(xué)設(shè)計(jì)的時候，就想好如何去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，是可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的目的的.

有效教學(xué)驅(qū)動有效思維，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開思維，更具體地說，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開形象思維、抽象思維與直覺思維. 其中，形象思維是基礎(chǔ)，像上面提到的數(shù)學(xué)抽象就離不開形象思維，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象之前，就是在用形象思維加工生活實(shí)例，其后才是用抽象思維去進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象;待到學(xué)生對某一數(shù)學(xué)知識比較熟練，利用這一數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)的問題的時候，往往運(yùn)用的就是直覺思維. 從三種思維方式的關(guān)系來看，抽象思維介于形象思維與直覺思維之間，是高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中運(yùn)用的最多的一種思維方式，而邏輯推理所要用的思維方式其實(shí)就是抽象思維. 抽象思維能力的培養(yǎng)，原本就是有效教學(xué)的重要組成部分，在核心素養(yǎng)視角下，更需要通過邏輯推理能力的培養(yǎng)，能促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展.

關(guān)于這一判斷，其實(shí)早就有人做過論斷，他們認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個高度抽象的思維過程，它要高于數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)一般的思維方法，使人能從數(shù)學(xué)的角度看問題，有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理和清晰準(zhǔn)確地表達(dá)的意識與能力.

比如在上面的“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中，通過師生討論，還需要對已有的模型進(jìn)行進(jìn)一步抽象，這就是一個邏輯推理過程. 在推理的過程當(dāng)中，筆者對學(xué)生進(jìn)行了這樣的引導(dǎo)：將汽車抽象成一個長方形，給定了這個長方形的長與寬，那么判斷這個長方形是否在圓之內(nèi)，就顯得不那么好判斷. 我們能否對現(xiàn)有的模型進(jìn)行進(jìn)一步加工呢？

在這個問題的驅(qū)動之下，學(xué)生開始進(jìn)一步思考：有同學(xué)提出，能否在確定了坐標(biāo)系與圓之后，假設(shè)只給出長方形的寬（或者高），然后判斷在圓內(nèi)能夠構(gòu)造出來的長方形的高（或者寬）是多少，如果算出來的高或者寬小于題目給出的值，那就說明汽車是可以通過隧道的. 于是，對車輛過隧道的問題建立了新的模型.

這樣的一個過程中，學(xué)生的思維可以說是十分的高效，他們一方面對原有的模型進(jìn)行了反思，發(fā)現(xiàn)了其中的不足;同時又基于原有的模型進(jìn)行了深度思考，對原有的模型進(jìn)行了改造，以讓其中的已知量與所求量的關(guān)系變得更加清晰. 很顯然，這是一個邏輯推理的過程，其中的邏輯關(guān)系有這樣幾個：一是從粗糙的模型，走向精細(xì)的模型，是邏輯推理的產(chǎn)物;二是將長方形的長與寬同時出現(xiàn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為已知長或者寬，去求寬或者長的關(guān)系，這是邏輯推理的產(chǎn)物;三是從整體的角度來看，前兩個邏輯推理，實(shí)際上是將問題做了轉(zhuǎn)換，即將汽車能不能通過隧道的問題，轉(zhuǎn)換為圓內(nèi)能不能容納長方形的問題，再轉(zhuǎn)換為在平面直角坐標(biāo)系上已經(jīng)確定了半徑的圓內(nèi)已知長或者寬去求寬或者長的問題，這里的三次轉(zhuǎn)換都是邏輯推理的結(jié)果.

通過這樣的邏輯推理，實(shí)際問題變得更加簡潔，因而我們認(rèn)為這樣的教學(xué)是有效教學(xué). 而也是在這樣的過程中，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了培養(yǎng)，從而也就保證了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)能夠真正落地.

有效教學(xué)提升學(xué)習(xí)品質(zhì)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

有效教學(xué)的內(nèi)涵之一，就是學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)得到了提升. 而從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，如果學(xué)生能夠熟練地利用數(shù)學(xué)模型去解決問題，那就意味著學(xué)習(xí)品質(zhì)已經(jīng)得到了提升. 所以說有效教學(xué)的過程，就是一個培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的過程.

實(shí)際上，在上面的例子當(dāng)中，通過數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，學(xué)生所建立起來的平面直角坐標(biāo)系以及其中的圓與線，就已經(jīng)是一個模型的形態(tài)存在了. 這個時候再結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識，去完成對問題的求解，實(shí)際上就是一次數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用. 在數(shù)學(xué)模型運(yùn)用的過程當(dāng)中，學(xué)生可以清晰地認(rèn)識到，一個成熟有效的數(shù)學(xué)模型，可以幫自己解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，乃至于生活實(shí)際問題.

數(shù)學(xué)模型的建立是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法共同作用的結(jié)果，有著高度的綜合特征. 因此，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，往往不是一蹴而就的，是在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)方法運(yùn)用的過程之中慢慢累積起來的. 也正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，以及基于學(xué)習(xí)品質(zhì)提升的有效教學(xué)，是一個長期且艱巨的過程.