牛云芳

[摘 ?要] 學(xué)生在學(xué)習(xí)中自發(fā)產(chǎn)生的質(zhì)疑與探究能令課堂教學(xué)更加熠熠生輝，教師應(yīng)善于利用學(xué)生在課堂上產(chǎn)生的“意外”并引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)自主探究和討論，使學(xué)生自研自探能力不斷提升的同時(shí)獲得更加靈活而具深度的思維發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 自生型探究;質(zhì)疑;意外生成;自發(fā)性

教師往往會(huì)在課堂教學(xué)之前進(jìn)行質(zhì)疑與探究活動(dòng)的預(yù)設(shè)以期促進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑能力與探究能力的提升，除此以外，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與小組合作學(xué)習(xí)中也會(huì)自主生成質(zhì)疑與探究，這些出乎教師預(yù)期的質(zhì)疑與探究都屬于“自生型探究”，這是學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)體驗(yàn)與拓展思維的過(guò)程中所產(chǎn)生的一種自發(fā)性的思考. 文章結(jié)合試卷評(píng)講中的某一片段，對(duì)課堂教學(xué)中的“自生型探究”做出了一定的思考.

題目：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），△BF1F2是邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程;

（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線和橢圓相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，若將△ABF2，△BCF2的面積分別記作S1，S2，且S1=2S2，則直線斜率應(yīng)為多少？

筆者任教班級(jí)的學(xué)生全都完整回答出了第（1）問(wèn)，答案是 + =1，但第（2）問(wèn)的解答情況就不太理想了，全班有一半以上的學(xué)生沒(méi)有回答出來(lái)，因此筆者在試卷講評(píng)中對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行了重點(diǎn)分析.

筆者首先請(qǐng)每位學(xué)生結(jié)合自己的答題情況進(jìn)行了新的思考，然后請(qǐng)每位學(xué)生在各學(xué)習(xí)小組內(nèi)對(duì)第（2）問(wèn)的解決途徑進(jìn)行了討論，最后請(qǐng)各小組代表將本組的討論結(jié)果進(jìn)行了展示.

生1：根據(jù)題意與圖形可知，兩三角形等高但底不等，因此對(duì)于面積關(guān)系的思考也直接轉(zhuǎn)化成了對(duì)兩個(gè)線段長(zhǎng)度關(guān)系的思考，然后開(kāi)始解題. 設(shè)B到直線AC的距離是h，因?yàn)镾1=2S2，所以 AF2·h=2× F2C·h，即AF2=2F2C，因此 =2 . 設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），又F2（1，0），所以（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），則x1=3-2x2，y1=-2y2，代入橢圓方程有 + =1， + =1，解得x2= ，y2=± .因此該直線的斜率為k= =± .

生1繼續(xù)評(píng)價(jià)：（1）聯(lián)想向量在解析幾何中所起的作用并因此獲得A，C之間的關(guān)系;（2）將x1，y1用x2，y2表示也可以構(gòu)建方程并解決問(wèn)題.

生2：我在解題時(shí)一樣用到了向量，不過(guò)代入橢圓方程這一環(huán)節(jié)我沒(méi)有做，我是利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來(lái)解題的.

從生1的解法上可知，x1=3-2x2. 設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），C（x2，y2）到橢圓 + =1右準(zhǔn)線x=4的距離是d1，d2，則 = ， = ，由AF2=2F2C得2- x1=22- x2，化簡(jiǎn)為x2=2+ x1，結(jié)合x1=3-2x2，解得x2= （以下同生1的解法）.

生2繼續(xù)評(píng)價(jià)：（1）我根據(jù)題中出現(xiàn)的焦點(diǎn)弦想到了圓錐曲線的統(tǒng)一定義;（2）在統(tǒng)一定義中找橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的直接關(guān)系是可行的.

生3：我是通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)解題的. 如圖2，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記作A′，C′，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AA′，垂足記作H，根據(jù)統(tǒng)一定義可知 = = . 又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=2CF2，因此CH= CF2，因此tan∠CAH= ，因此直線的斜率為k= ，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可知k=- 同樣符合題意.

生3繼續(xù)評(píng)價(jià)：（1）由統(tǒng)一定義可實(shí)現(xiàn)焦半徑的轉(zhuǎn)化并因此解題;（2）利用直角三角形求解能使解題過(guò)程更為優(yōu)化.

筆者看到以上三位學(xué)生的答題思路與過(guò)程之后，深感欣慰并及時(shí)給予了高度評(píng)價(jià)，正想繼續(xù)后面內(nèi)容的講解之時(shí)，“意外”卻在此時(shí)產(chǎn)生了.

生4：我對(duì)生3的想法表示贊同，不過(guò)我也有這樣一個(gè)疑問(wèn)：在Rt△CAH中，懂得焦點(diǎn)分弦的比之后即可求得直線的斜率，那么，知道直線的斜率即可求得焦點(diǎn)分弦的比這一觀點(diǎn)是否成立呢？

筆者面對(duì)這一問(wèn)題并沒(méi)有立即做出解答，而是將生4的這一疑問(wèn)拋給了全班學(xué)生，給自己思考空間的同時(shí)也給了學(xué)生足夠的空間來(lái)解決這一意外生成. 各小組學(xué)生在一定的思考之后開(kāi)始了討論，筆者在學(xué)生的討論中也進(jìn)行了關(guān)注與了解并適時(shí)加入了探討，學(xué)生的思考與討論展示如下.

生5：我認(rèn)為生4所提出的問(wèn)題應(yīng)該有肯定的答案，比如直線的斜率是1， = = ，在Rt△CAH中，AC= AH= （AA′-CC′）= （2AF2-2CF2），而AC=AF2+CF2，因此（2 -1）AF2=（2 +1）CF2，繼而得出了 = .

師：非常好！生5在圓錐曲線的定義與Rt△CAH之間進(jìn)行了靈活的轉(zhuǎn)化.

生5（繼續(xù)提問(wèn)）：老師，直線的斜率與焦點(diǎn)分弦的比值求出以后，我們是否還可以求出橢圓的離心率呢？

學(xué)生紛紛議論起來(lái).

生6：我覺(jué)得是能求出的，因?yàn)樵赗t△CAH中涉及了直線的斜率、橢圓的離心率以及焦點(diǎn)分弦的比值這三個(gè)量，因此我認(rèn)為根據(jù)統(tǒng)一定義，知道其中兩個(gè)量以后，求解第三個(gè)量也就不難了. 比如，如果知道了直線的斜率為1以及AF2=2F2C，則有如下過(guò)程： = =e，又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=AA′-CC′= CF2，cos∠CAH= ，因此 = = ，因此e= .

生6又問(wèn)：（1）雙曲線、拋物線等情況下是否也會(huì)存在與上述類似的結(jié)論呢？求離心率、比值、斜率等問(wèn)題是否存在通式呢？

（2）如果有過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線和橢圓相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，還會(huì)存在一樣的結(jié)論嗎？

（3）如果焦點(diǎn)在y軸上，還會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)論呢？

筆者對(duì)于生6的這些提問(wèn)感到意外與驚喜，趕緊引導(dǎo)各學(xué)習(xí)小組對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行了討論，最終獲得了如下成果：

成果1：若有標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線且其焦點(diǎn)在x軸上，離心率是e，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB分得兩個(gè)焦半徑的比是λ（λ>1），直線和x軸形成的夾角是α，則有cosα= .

成果2：若有標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線且其焦點(diǎn)在y軸上，離心率是e，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB分得兩個(gè)焦半徑的比是λ（λ>1），直線和x軸形成的夾角是α，則有sinα= .

學(xué)生剛剛展示完討論的成果，下課鈴聲就響了，筆者原本預(yù)設(shè)的教學(xué)任務(wù)因?yàn)閷W(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的種種“意外”而被耽誤了，然而筆者并未因此而焦急. 相反，筆者因?yàn)閷W(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中能夠如此積極動(dòng)腦并產(chǎn)生諸多的自主質(zhì)疑而感到驚喜萬(wàn)分，也因?yàn)閷W(xué)生因此做出的探索而感到欣慰，課堂教學(xué)雖未完成預(yù)設(shè)的任務(wù)，但學(xué)生學(xué)習(xí)中形成的“自生型探究”卻令本堂課的教學(xué)更加熠熠生輝.

建設(shè)探究型課堂是新課程改革最為顯著的一個(gè)特點(diǎn)，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，這是一種新的挑戰(zhàn). 教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)能為學(xué)生的“自生型探究”創(chuàng)造平臺(tái)，使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生質(zhì)疑并因此展開(kāi)主動(dòng)的探究. 值得教師注意的是，怎樣在探究型課堂教學(xué)中喚醒學(xué)生的自主性并引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)探究是最為重要的問(wèn)題. 因此，教師應(yīng)在實(shí)際教學(xué)中設(shè)置具備生成性、表現(xiàn)性與差異性的課堂目標(biāo)，在課堂教學(xué)中善于運(yùn)用交互式、對(duì)話式等多種教學(xué)方法以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性的激發(fā)，不斷優(yōu)化學(xué)生的探究環(huán)境并因此使學(xué)生獲得自主探究的廣闊空間，使學(xué)生的想象與思維更加自由并因此獲得更多的質(zhì)疑與發(fā)現(xiàn).

總之，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)敢于放手、善于放手，為學(xué)生創(chuàng)造更多的空間并鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，使學(xué)生能夠利用互助學(xué)習(xí)的能量并因此獲得自研自探能力的不斷提升，引導(dǎo)學(xué)生的思維更加優(yōu)化并走向深處，使學(xué)生能夠逐步習(xí)慣“自生型探究”并因此在質(zhì)疑與探究中獲得更為游刃有余的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與感受，并最終獲得最大化的學(xué)習(xí)收益.