沈靜

摘? 要：針對(duì)學(xué)生在運(yùn)用三角形高的知識(shí)進(jìn)行綜合解題中出現(xiàn)的種種錯(cuò)誤，試圖努力通過對(duì)教材的整合，對(duì)“畫垂線——三角形的高——同底等高三角形的比較——與其他圖形的比較——綜合應(yīng)用”有序設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從最初的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，了解高的“前世”“今生”，由此不斷遞進(jìn)，在建構(gòu)的過程中感受數(shù)學(xué)思維的“一脈相承”，成為一個(gè)完整的知識(shí)鏈，為高的“后世”——綜合運(yùn)用提供可能，從而達(dá)到提升思維、發(fā)展能力的目的。

關(guān)鍵詞：整合;聯(lián)系;結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì);思維訓(xùn)練;核心素養(yǎng)

教材是教學(xué)內(nèi)容的重要載體，也是教師教學(xué)的重要依據(jù)，教材的內(nèi)容從年級(jí)、單元最后到課時(shí)由上而下都有清楚的脈絡(luò)，不過教材循序漸進(jìn)、螺旋上升的編排或多或少地影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的連貫性，阻礙了對(duì)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。如教材是“大寫意”的，那么教材的實(shí)行者——老師，對(duì)課堂的實(shí)施，應(yīng)該是一幅幅的“工筆畫”，從架構(gòu)的精細(xì)描畫，對(duì)教材拾遺補(bǔ)闕，做好跑龍?zhí)椎慕巧M(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，改善數(shù)學(xué)知識(shí)被分割、肢解的不足，努力將碎片化的知識(shí)由點(diǎn)及線，由線連面，由面建體，不能以點(diǎn)為點(diǎn)，把課時(shí)內(nèi)容作為一個(gè)單一的知識(shí)點(diǎn)組織課堂教學(xué)，而應(yīng)以一組內(nèi)容或看作一個(gè)知識(shí)群來組織教學(xué)，清晰學(xué)科知識(shí)的邏輯體系以及基于知識(shí)體系的能力素養(yǎng)體系，對(duì)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法及核心內(nèi)容了然于心，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生從學(xué)習(xí)知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的過程。下面就以“應(yīng)用三角形的面積綜合解題”為例展開討論。

圖形的面積計(jì)算是五年級(jí)上冊(cè)在學(xué)生認(rèn)識(shí)了平面圖形后，通過剪拼、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，探索并掌握了平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，在此基礎(chǔ)上解決一些如下圖的簡(jiǎn)單組合圖形面積的計(jì)算或判斷，如：判斷下圖中的哪個(gè)陰影部分面積與其他陰影部分面積不相等？（圖1）又如：圖形ABCD的面積是多少平方厘米？（圖2）再如：王大伯有一塊梯形的菜地，其中陰影部分種西紅柿，他想知道種西紅柿的面積是多少公頃，你能幫他算一算嗎？（圖3）

在實(shí)際的作業(yè)反饋中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤率之高令人咋舌，此類題型主要考查三角形面積公式的靈活運(yùn)用，能快速地判斷鈍角三角形底邊上對(duì)應(yīng)的高是哪條。后一題同理也是，觀察圖形判斷出陰影部分的面積是由兩個(gè)鈍角三角形面積相加所得，并能找出AB邊對(duì)應(yīng)的高是CE，DC邊對(duì)應(yīng)的高是AF，這是解答此題的關(guān)鍵。但為何大部分學(xué)生看不出圖形的等高呢？原因有很多，最重要的有以下幾個(gè)：①底邊不在水平線上;②高不在三角形內(nèi)，即鈍角三角形的高一般都不能找出。

[?]一、溯本求源，直擊起點(diǎn)，有序設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)知識(shí)有著本身固有的結(jié)構(gòu)體系，往往新知孕伏于舊知，舊知識(shí)是新知識(shí)的伸長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生的綜合解題的錯(cuò)誤或偏差，常常意味著與之相關(guān)聯(lián)知識(shí)的缺失，這就需要我們?nèi)ヌ綄W(xué)生的“前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”停留在哪個(gè)位置。只有找到了問題的源頭，才能順藤摸瓜找到解決問題的方法。很顯然，以上這類解題的關(guān)鍵在于高，再追尋學(xué)生的認(rèn)知源點(diǎn)，實(shí)際就是學(xué)生已經(jīng)學(xué)的“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線”，也就是四年級(jí)上冊(cè)點(diǎn)到直線的距離演繹而來，再往上追溯，三角形高的本質(zhì)就是兩點(diǎn)之間的距離，這是一個(gè)核心的概念，如果對(duì)這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的位置加以不同的限制的話，又可以衍生其他幾個(gè)重要的概念。比如，兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離等這些相互聯(lián)系的概念（這些暫且不表），都是對(duì)線段的兩個(gè)端點(diǎn)位置增加或限制條件后做出的定義。三角形的高也在這個(gè)概念系統(tǒng)之內(nèi)，簡(jiǎn)而言之，它是一條頂點(diǎn)到垂足之間的線段，一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是過這個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽鞯拇咕€段后所得的垂足這一本質(zhì)特點(diǎn)，所以從某種意義上來說，垂線的畫法和性質(zhì)是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系、三角形高、切線的性質(zhì)和判定，以及空間中的垂直關(guān)系等知識(shí)的基礎(chǔ)，由此，我們也很容易看出“垂線”這一前期起點(diǎn)知識(shí)的重要性。

曹培英老師把幾何形體概念的同化歸納為三個(gè)階段：定義——同化——強(qiáng)化。強(qiáng)化是教師有目的地對(duì)學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行直接干預(yù)或間接干預(yù)的教學(xué)行為，目的是使某種形式呈現(xiàn)的刺激物與學(xué)生認(rèn)識(shí)或行為之間建立起比較穩(wěn)固的聯(lián)系，即要注重對(duì)“量變的積累”訓(xùn)練，才能有“質(zhì)變”的突破。這就需要我們教師在四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)畫垂線的起點(diǎn)教學(xué)中，教師不僅僅以教材知識(shí)這個(gè)點(diǎn)教學(xué)，而是努力嘗試圍繞這個(gè)點(diǎn)適度展開，將知識(shí)不斷地強(qiáng)化延伸，進(jìn)行有層次的訓(xùn)練。

（1）從難易程度來設(shè)計(jì)練習(xí)（如圖4）：①畫已知直線的垂線——②過直線上的一點(diǎn)畫已知直線的垂線——③過直線外的一點(diǎn)畫已知直線的垂線——④在角中畫垂線——⑤在圖形中畫垂線。在畫已知直線的垂線（點(diǎn)在線上）時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范畫垂線的操作方法;第二層次過直線上的一點(diǎn)畫已知直線的垂線時(shí)，適當(dāng)把畫垂線的方法化為朗朗上口的口訣“一重、二靠、三移、四畫、五標(biāo)”，并按照步驟嚴(yán)格作畫;通過以上步驟練習(xí)操作，學(xué)生掌握了經(jīng)驗(yàn)后，可以遷移上一步的畫法，練習(xí)經(jīng)過直線外的一點(diǎn)畫已知直線的垂線和角內(nèi)、圖形內(nèi)畫垂線的方法，為圖形的“高”提供前經(jīng)驗(yàn)。

（2）從位置形式上進(jìn)行設(shè)計(jì)練習(xí)（如圖5、圖6、圖7）：不僅對(duì)“邊”的位置進(jìn)行變換練習(xí)，對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置也要作出不同的變式，即對(duì)對(duì)邊在水平線上的和不在水平線上的，以及點(diǎn)在對(duì)邊的區(qū)域內(nèi)、區(qū)域邊上、區(qū)域外等不同的位置進(jìn)行畫垂線的練習(xí)。通過以上有序的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從不同位置的直線外的一點(diǎn)畫已知直線的垂線段，準(zhǔn)確地感知和建構(gòu)“垂線段”的本質(zhì)，也幫助學(xué)生去除概念的非本質(zhì)屬性，拓展“垂線段”的應(yīng)用范圍，驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)，為深度“認(rèn)識(shí)高”積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有意識(shí)地幫助學(xué)生打通“三角形畫高”這一后續(xù)的新知學(xué)習(xí)與這個(gè)“認(rèn)知起點(diǎn)”的聯(lián)系，打好“認(rèn)識(shí)高”的前位基礎(chǔ)，做好扎實(shí)的鋪墊，促進(jìn)學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)理解，實(shí)現(xiàn)“高”這一概念的自然生長(zhǎng)。

[?]二、提供聯(lián)系，縱向貫通，整體感悟

三角形畫“高”歷來都是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生一般都理解為只有在豎直方向上才有高，如果事先形成了這樣的思維定式，那么當(dāng)三角形的底邊不在水平線上時(shí)，所對(duì)應(yīng)的高不再是垂直方向，學(xué)生畫高也就無從下手，隨之，應(yīng)用高的知識(shí)解決一系列圖形面積問題也就成為學(xué)生的最大痛點(diǎn)，教過高年級(jí)的教師都深有感觸。對(duì)于各種形式的三角形的畫高，學(xué)生需要對(duì)概念進(jìn)行深入理解以及運(yùn)用，需要對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)心的觀察分析，需要工具的靈活操作使用，畫高是考驗(yàn)學(xué)生的一項(xiàng)綜合的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。不過，縱觀四年級(jí)下冊(cè)教材，對(duì)三角形的高沒有重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，只是從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生借助生活中常見的人字梁的高，通過測(cè)量比較人字梁的高度來感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形的底和高的概念，僅僅如此，事實(shí)上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。斯根普在《學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理學(xué)》中指出：概念教學(xué)應(yīng)該從大量的實(shí)例出發(fā)，用實(shí)例直觀地幫助完成定義，而不是就定義教定義。學(xué)生對(duì)各種不同三角形“高”的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)和感受，表象的形成需要通過一系列的訓(xùn)練才能達(dá)成，這就需要教師從學(xué)生的角度出發(fā)，積極利用各種教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，學(xué)會(huì)用教材教，組織學(xué)習(xí)探究材料，給學(xué)生提供“動(dòng)態(tài)想象”圖。所以在教學(xué)這部分知識(shí)的時(shí)候，依據(jù)影響三角形畫高的難度因素，把三角形畫高教學(xué)進(jìn)行這樣的調(diào)整：

（1）經(jīng)驗(yàn)引入，聯(lián)系新知。通過學(xué)生所熟悉的比人身高和樹的高度，初步感知“高”必須從頂點(diǎn)出發(fā)，并得出無論人是躺著還是站著，他的身高總是從頭頂（相當(dāng)于頂點(diǎn)）出發(fā)，垂直于腳板（相當(dāng)于對(duì)邊）的垂直線段，是不變的，初步去除底邊一定在水平線上這一非本質(zhì)屬性。

（2）游戲穿插，體會(huì)對(duì)應(yīng)。針對(duì)學(xué)生在畫高的過程中常常會(huì)出現(xiàn)圖8所示的錯(cuò)誤，我們可以設(shè)計(jì)“比比誰的反應(yīng)快”的游戲（圖9），體會(huì)頂點(diǎn)與底邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師指點(diǎn)（邊），學(xué)生搶答其對(duì)應(yīng)的邊（點(diǎn)），明確底對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，是準(zhǔn)確畫“高”的前提條件，必要時(shí)還要說明，底所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，即是除了與底邊相連的兩個(gè)頂點(diǎn)外的另一個(gè)頂點(diǎn)，為正確畫“高”做好鋪墊。

（3）示范畫高，同化步驟。改變教材常規(guī)的水平邊上畫高，而采用銳角三角形中畫斜邊上的高為示范，提煉發(fā)現(xiàn)畫高的步驟和畫垂線的方法完全相同，有了有序的操作步驟做支撐，進(jìn)一步明確高和底是相對(duì)的，是一組互相垂直的線段，學(xué)生不斷將之內(nèi)化為規(guī)范，并在操作中對(duì)高有了進(jìn)一步辨析和理解，將畫高的過程抽象到“點(diǎn)到線段的距離”即轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的作垂直線段的知識(shí)，將“轉(zhuǎn)化”這種重要的、數(shù)學(xué)的基本思想介入到新的學(xué)習(xí)方法中。如此，將新經(jīng)驗(yàn)納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去理解，幫助學(xué)生了解認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前因后果、來龍去脈。

（4）提供支點(diǎn)，有效串聯(lián)。數(shù)學(xué)知識(shí)的體系就像一棵大樹，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)往往是原有知識(shí)的延伸和拓展，教師在數(shù)學(xué)課堂上盡可能給學(xué)生提供支點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵有效串聯(lián)，感受數(shù)學(xué)的鏈狀結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生逐步加深對(duì)概念的理解，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)，使學(xué)生的理性思維不斷走向完善。本堂課也是如此，鞏固環(huán)節(jié)可以出示畫垂線作圖題（圖10），然后動(dòng)態(tài)依次連接線段的兩端和線外的一點(diǎn)，便出現(xiàn)了三個(gè)三角形，引導(dǎo)：你發(fā)現(xiàn)在三角形中，點(diǎn)到直線的垂線段，就是三角形的什么？學(xué)生通過觀察比較，喚醒舊有經(jīng)驗(yàn)，畫高的本質(zhì)與四年級(jí)上冊(cè)學(xué)的經(jīng)過直線外一點(diǎn)畫垂線段的方法是相同的，再次溝通了“畫高”和“畫垂線”這兩個(gè)上下位知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，把新學(xué)的“畫高”拉回到了“畫垂線段”這個(gè)知識(shí)的源點(diǎn)。這樣，新的概念和舊有的概念得到精確的分化和貫通，新的概念無形中被納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成內(nèi)容豐富也更加完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。

（5）多維辨析，整體感悟。通過上述層層遞進(jìn)的變式練習(xí)，學(xué)習(xí)各平面圖形的高后，再次深入幫助學(xué)生建構(gòu)概念，深入辨析，促進(jìn)學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)理解：不管是平行四邊形的高還是梯形的高，都是從一條平行邊上的一點(diǎn)出發(fā)，到對(duì)邊（底）的垂線段，本質(zhì)都是“垂線段”但也有一定的區(qū)別。平行四邊形和梯形與三角形相比，梯形有無數(shù)條高，從上底任意一點(diǎn)到下底所畫的垂線段都是它的高，平行四邊形有兩組不同的底和高，有無數(shù)條。而三角形有三組不同的底和高，各只有一條，分別是從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到對(duì)邊（底）的垂線段，其中，鈍角三角形有兩條高在外部，直角三角形的兩條高在圖形上。

[?]三、動(dòng)態(tài)演示，橫向聯(lián)系，深度建構(gòu)

除了構(gòu)建縱向維度的知識(shí)“線”體系，將“點(diǎn)到直線的距離”與“三角形的高”連接起來，知道知識(shí)是怎么來的以外，還需要構(gòu)建橫向的知識(shí)“線”體系，為構(gòu)建以線連面提供可能，借助動(dòng)圖，把各種三角形的高和其他平面圖形的高聯(lián)系起來，整體感知各種三角形的高的位置變化。

1. 三角形與三角形之間的聯(lián)系

在學(xué)生對(duì)不同形狀的三角形進(jìn)行作高操作熟練之后，通過動(dòng)圖動(dòng)態(tài)演示其形狀的變化引起“高”位置的變化過程，讓學(xué)生感受到隨著三角形頂點(diǎn)的移動(dòng)，三角形的形狀也在不斷地變化。當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)形成直角三角形時(shí)，高也隨之向右移動(dòng)，“高”就和右邊的直角邊重合，直觀理解了當(dāng)直角三角形的一條直角邊為底的時(shí)候，另一條直角邊就是它的高，垂足就是兩直角邊的交點(diǎn);接著引發(fā)學(xué)生猜想驗(yàn)證：頂點(diǎn)如果繼續(xù)向右移動(dòng)，三角形的高將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？采用慢鏡頭，讓學(xué)生觀察，將學(xué)生初步記憶里對(duì)高的表象一次次提取、改造和重組，理解了當(dāng)三角形變成鈍角三角形時(shí)，高繼續(xù)隨之向右移動(dòng)，不過，這時(shí)高在三角形的外面，垂足在對(duì)應(yīng)底邊的延長(zhǎng)線上。通過幾何一系列顯性化地動(dòng)態(tài)演示（圖11），學(xué)生不僅看到了從銳角三角形——直角三角形——鈍角三角形的變化串聯(lián)過程，豐富了對(duì)三角形的“形”感知，也看到了高的位置變化：內(nèi)部的高——邊上的高——外部的高，完善了對(duì)高的“從‘頂點(diǎn)向‘對(duì)邊作‘垂線段”的“質(zhì)”的感知，通過三類不同的三角形對(duì)高的位置動(dòng)態(tài)變化，進(jìn)行橫向比較、聯(lián)系，整體感知，突破教學(xué)的難點(diǎn)，深度把握了對(duì)三角形高的概念建構(gòu)。

2. 三角形和其他平面圖形之間的聯(lián)系

除了構(gòu)建以上橫向的三角形之間高的變化的知識(shí)體系，教師還需將三角形的高與其他各平面圖形的兩平行線之間的高進(jìn)行類比（圖12）（平行線距離處處相等，所以這里面的三角形的高也相等，其次可以觀察三角形與各平面圖形之間的面積關(guān)系），將三角形的“高”放在知識(shí)的大背景中讓學(xué)生整體感知和有效建構(gòu)，為三角形的等積變形做好鋪墊和埋伏。數(shù)學(xué)知識(shí)體系就像是一個(gè)大網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相當(dāng)于其中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，而理解數(shù)學(xué)結(jié)點(diǎn)的方法或許有很多，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中感受到數(shù)學(xué)的“鏈狀”結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生自主構(gòu)建起網(wǎng)狀式的知識(shí)體系或許是一種很好的方法。

教師借助媒體的直觀動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生從以上兩種不同的維度將“靜態(tài)”的圖形轉(zhuǎn)向“運(yùn)動(dòng)”的圖形，勾連“二維平面圖形”間的關(guān)系，學(xué)生在變化的圖形中找到了規(guī)律的變與不變：“在兩平行線之間三角形的形發(fā)生變化，由于三角形的底相同，高相等，它們的面積不變?！薄霸谡叫?、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形中，如三角形與這些圖形同底等高，則三角形的面積是所在平面圖形面積的一半（梯形除外）?！睂W(xué)生頭腦中零散的知識(shí)逐漸被同化，對(duì)“形”與“面積”辯證的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步明晰，從根源上理解了這些圖形的面積計(jì)算都與“底、高”相關(guān)，與形無關(guān)。

[?]四、融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用，提升思維

教學(xué)遵循數(shù)學(xué)的基本規(guī)律，將“知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系”貫穿于全過程，突出新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，著力將新知嫁接在原有的知識(shí)樹上，呈現(xiàn)出一種發(fā)展的動(dòng)態(tài)，使之成為學(xué)生個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的遷移同化。而不是像西醫(yī)一樣，頭疼醫(yī)頭腳疼醫(yī)腳，數(shù)學(xué)的教學(xué)從來都需要像中醫(yī)一樣講究“疏通脈絡(luò)”。通過以上每一個(gè)年級(jí)各個(gè)階段的起點(diǎn)部分清楚地點(diǎn)明相應(yīng)的“核心問題”，且在每一個(gè)階段的學(xué)習(xí)過程中不斷地重復(fù)這些問題中涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效串聯(lián)，形成連貫的知識(shí)鏈，努力將平時(shí)局部課堂向整體課堂轉(zhuǎn)變，那么構(gòu)建基于核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的數(shù)學(xué)課堂將指日可待。

解題的過程就是調(diào)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過程。形成以上“畫垂線——畫高——同底等高的三角形的比較——同底等高的三角形與其他平面圖形的比較”這樣的知識(shí)體系后，學(xué)生對(duì)高的“前世”“今生”了然于心，讓學(xué)生在重構(gòu)過程中感受數(shù)學(xué)思維的“一脈相承”和融會(huì)貫通，為高的“后世”即對(duì)高的靈活應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，也就有了等積變換的前提和基礎(chǔ)，為實(shí)現(xiàn)高年級(jí)線段比和面積比之間的相互轉(zhuǎn)化提供了可能。如文初提到的圖1，學(xué)生一下便能判斷陰影部分的底邊對(duì)應(yīng)的高分別是誰。再如，一塊三角形草地（如圖13），底邊長(zhǎng)6米，現(xiàn)在要擴(kuò)建這塊草地，把底邊延長(zhǎng)2米，草地的面積就增加了3平方米，那么這塊草地原來的面積是多少？學(xué)生很容易直觀想象，如求原來三角形草地的面積，必須要知道原來三角形的高，而原來三角形的高與陰影部分三角形的高是同高，根據(jù)陰影部分三角形的面積和底就可以求出，問題就迎刃而解。同理，文初題3，學(xué)生的第一反應(yīng)是利用三角形的等高，通過等積變形把右面的三角形轉(zhuǎn)化成中間的三角形的形狀，把兩塊陰影部分合并成一個(gè)直角三角形的面積，從而將不容易求的面積轉(zhuǎn)化成容易求的面積（圖14）。那么如開頭所提到的“求四邊形ABCD的面積”（圖15），學(xué)生能快速將問題和知識(shí)連接起來，找到四邊形和三角形之間的聯(lián)系，連接AC，把四邊形ABCD拆分成△ADC和△ABC兩個(gè)三角形，而△ABC的高就是CE=6cm，△ADC的高就是AF=4cm;根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求出△ABC的面積和△ADC的面積，進(jìn)而相加即可求出四邊形ABCD的面積。將來高年級(jí)還可以利用線段比轉(zhuǎn)化成面積比，如△ABC的面積是15平方米，AD是BD的2倍，那么△ACD的面積是多少？（圖16）因?yàn)槿切蔚拿娣e=底×高÷2，所以當(dāng)高相等時(shí)，三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)的比。因?yàn)椤鰽CD和△BCD是等高三角形，所以它們的面積比是2∶1，由此問題得到了解決。通過以上多層次、多維度的綜合練習(xí)，學(xué)生做到了深度思考——建立知識(shí)聯(lián)系——解決問題——系列的高階思維，把難題各個(gè)擊破，久而久之，最終將知識(shí)內(nèi)化成能力。

天下大事必做于細(xì)，教學(xué)亦是如此，教學(xué)不是一個(gè)點(diǎn)或一條線的實(shí)現(xiàn)，而是體現(xiàn)過程、能力、方法、態(tài)度等多方面的生成。如果教師在教學(xué)過程中有長(zhǎng)遠(yuǎn)的眼光，給予學(xué)生一個(gè)彈性生成的空間，既重視教材對(duì)教學(xué)的指引功能，又不唯教材，活用教材，整合一切教學(xué)資源為“我”所用，樹立結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀，整體推進(jìn)，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，揭示其本質(zhì)屬性，讓學(xué)生整體感受和把握數(shù)學(xué)知識(shí)的融通過程，幫助他們建立一個(gè)完整的知識(shí)體系，那么我們的教學(xué)才真正做到了“實(shí)”，做到了“真”，才能讓學(xué)生從單純地得到“一時(shí)能記得住的知識(shí)”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向獲得“一生能帶得走的能力”。