摘 ?要：實現(xiàn)基于文化的數(shù)學(xué)教學(xué)變革，能改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)境遇，提升數(shù)學(xué)課程的育人質(zhì)量。本文闡述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，同時從追問數(shù)學(xué)問題的源頭、剖析數(shù)學(xué)家的品格、詮釋數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵、豐富數(shù)學(xué)原理的變式等維度提出了一些參考策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育 ?數(shù)學(xué)文化 ?實施策略

一

遠(yuǎn)在古希臘時代，著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條就是“萬物皆數(shù)”（這里的數(shù)指的是整數(shù)），他們是通過數(shù)來理解整個世界的。在古希臘，一個不懂的數(shù)學(xué)的人算不上一個有文化、上檔次的人，是被人輕視，難以進入大雅之堂的。柏拉圖在雅典學(xué)院的門口大書“不懂幾何學(xué)的人不得入內(nèi)”，就充分體現(xiàn)了這一點。在當(dāng)時，懂不懂?dāng)?shù)學(xué)是身份、品味和文明的象征。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)作為一種文化、作為一種文明的象征受到尊重，有著悠久歷史。

同時，數(shù)學(xué)在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，是人類文明的一個重要支柱。就從最簡單的數(shù)數(shù)開始，原始人大約只能區(qū)分1和多，碰到3就覺得多了，三人為“眾”大概就是這樣來的。后來有十進制，用1、2、3、4、5、6、7、8、9和0這十個數(shù)字，再加上“滿十進一”，就可以表示很多數(shù)了?，F(xiàn)在看來這些都很平常，然而，這是數(shù)學(xué)帶給人類文明的一個巨大貢獻(xiàn)。如果沒有了它，稍微大一點的數(shù)字就會使人暈頭轉(zhuǎn)向?，F(xiàn)在金融業(yè)或者科學(xué)實驗中的種種復(fù)雜或高精度的數(shù)學(xué)運算根本不可能進行，我們就不可能有如此高度的社會文明。

所以，數(shù)學(xué)文化深刻影響著我們的社會和生活。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育離不開文化的熏染。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)充分揭示數(shù)學(xué)的文化意義——揭示作為知識體系的數(shù)學(xué)的文化意義、揭示作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的精神意義、揭示作為文化系統(tǒng)的子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化與其余文化之間的互動關(guān)系的意義。

二

數(shù)學(xué)文化有三種形態(tài)：學(xué)術(shù)形態(tài)、課程形態(tài)和教育形態(tài)。學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)文化來自數(shù)學(xué)家群體，是一種處于萌芽狀態(tài)的數(shù)學(xué)教育文化;課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化來自數(shù)學(xué)教育研究者群體，是一種教育價值實現(xiàn)視角的數(shù)學(xué)教育文化;教育形態(tài)的數(shù)學(xué)文化來自教師和學(xué)生群體，是一種強調(diào)數(shù)學(xué)教育文化動態(tài)傳播過程的數(shù)學(xué)教育文化。數(shù)學(xué)文化，歸根到底是數(shù)學(xué)的，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中要引領(lǐng)兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)史上那些關(guān)鍵的步子。在這個過程中積累經(jīng)驗、體悟思想、接受熏陶。如何將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，以下方法可供大家參考。

1.追問數(shù)學(xué)問題的源頭

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生一方面源自人類生活的外在需要，另一方面則源自數(shù)學(xué)自身發(fā)展的內(nèi)在需要。在教學(xué)中我們能夠引領(lǐng)兒童自覺地從這個角度去追問，那么學(xué)生對這些問題的認(rèn)識就一定會更深刻。就以大家都熟悉的“一筆畫”問題為例：“一筆畫”問題就來自歐拉對一個生活中問題的抽象。在哥尼斯堡小城，有一條河，河中有兩座小島，島與兩岸間、島與島之間共有七座橋相連。一天，有人想出一種游戲，他提議不重復(fù)地走過這七座橋，看看誰能夠找到一條路線。這一問題引不少人的興趣，但是經(jīng)過多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉思考后，首先把島和岸都抽象為點，把橋抽象為線，然后歐拉把哥尼斯堡“七橋問題”抽象成“一筆畫”問題：筆尖不離開紙面，一筆畫出給定的圖形，不允許重復(fù)任何一條線，這簡稱“一筆畫”。需要解決的問題就變成了一個高度抽象的、數(shù)學(xué)化的“一筆畫”問題。在研究“一筆畫”的時候，倘若加上這樣的背景陳述，或許數(shù)學(xué)文化的味道就油然而生了，就可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象的意義，感受到數(shù)學(xué)抽象的強大威力。很多數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生本身就是由生活問題抽象而成的，這也許就是大家常說的數(shù)學(xué)化。所以在引入這些數(shù)學(xué)問題的時候，應(yīng)盡可能從問題的源頭入手來切入，而不能僅僅滿足于就事論事的描述。因為數(shù)學(xué)的抽象大大高于其他的學(xué)科，在數(shù)學(xué)中不僅概念是抽象的，而且方法、手段、結(jié)論也是抽象的。

2.剖析數(shù)學(xué)家的品格

數(shù)學(xué)教育應(yīng)關(guān)注學(xué)生的探究欲望、理性精神、堅韌品格，涵養(yǎng)學(xué)生的健全人格。數(shù)學(xué)故事，尤其是很多數(shù)學(xué)家的故事，能給學(xué)生很多的啟迪與教育。所以，我們在教學(xué)中要有意識地引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注這些數(shù)學(xué)家的故事，看看數(shù)學(xué)家是如何讀書、如何學(xué)習(xí)、如何研究、如何思考的。數(shù)學(xué)家的故事蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化意蘊，就以大家都非常熟悉的高斯求和的故事為例，大數(shù)學(xué)家高斯在少年時老師給大家出了一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+4+5+6+7+……+97+98+99+100=？當(dāng)大家都在伏案計算的時候，小高斯迅速計算出結(jié)果是5050。為什么高斯能計算得如此迅速？因為依次加下去太煩瑣了。所以，高斯沒有急于計算，而是首先分析算式的特征，然后巧妙地將數(shù)字兩兩配對得到50個101，這樣100個數(shù)連加就轉(zhuǎn)化成兩個數(shù)相乘101×50=5050。這個故事很簡單，但高斯創(chuàng)造的熱情、靈巧的思維、良好的習(xí)慣，卻能夠給學(xué)生帶來很好的啟發(fā)。數(shù)學(xué)史上還有很多數(shù)學(xué)家，他們的趣聞軼事都常常能夠帶給學(xué)生啟迪與教育，教學(xué)中要充分發(fā)掘和使用這些素材，甚至可以嘗試開發(fā)一門課程就是《數(shù)學(xué)家的故事》。數(shù)學(xué)家本身就是數(shù)學(xué)文化的化身，什么是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)？筆者以為就是能夠像數(shù)學(xué)家那樣去思考問題的能力和品格，這就是數(shù)學(xué)文化的精髓。

3.詮釋數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

南開大學(xué)顧沛教授說：一個人的學(xué)歷教育中，一般要上13年的數(shù)學(xué)課程，只有語文課能與之相比。但許多人并未因為學(xué)時長就掌握了數(shù)學(xué)的精髓。很多人參加工作后，可能一個定理也用不到，數(shù)學(xué)白學(xué)了？不是，因為數(shù)學(xué)素養(yǎng)才是讓人終身受益的精華，基本的數(shù)學(xué)思想無疑是核心素養(yǎng)中最核心的部分。以化歸的思想為例，它不僅僅是解決數(shù)學(xué)問題的基本路徑，也是解決其他問題的基本路徑。說起化歸的思想，就不得不提起那則“燒開水”的案例：給你一個煤氣灶、一個水龍頭、一盒火柴、一個空水壺，讓你燒一壺水，你應(yīng)該怎么做？答案是顯然的：把空水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把水燒開?，F(xiàn)在再給你一個問題：給你一個煤氣灶、一個水龍頭、一盒火柴、一個已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺的水，你應(yīng)該怎么辦？物理學(xué)家會回答：把裝了半壺水的水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把水燒開。但數(shù)學(xué)家的回答卻是：把半壺水倒空，就化歸為剛才已經(jīng)解決過的問題了。在數(shù)學(xué)問題中實施等價轉(zhuǎn)換的時候，我們應(yīng)該遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為煩瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，按照這樣的原則進行轉(zhuǎn)化，省時省力。經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化的思想，可以提高解決問題的能力和水平。上面燒開水的例子既加深了對轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵理解，同時也拓寬了轉(zhuǎn)化思想的外延和邊界。不僅解決數(shù)學(xué)問題是如此，其實解決生活中的其他問題道理也是一樣的。

4.豐富數(shù)學(xué)原理的變式

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是數(shù)學(xué)的抽象的，是形式建構(gòu)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)上證明一個事物的存在可以有兩種途徑：一是構(gòu)造性證明，即用某種方式把該事物構(gòu)造出來;另一種是純存在性證明，即用邏輯推理的方式證明該事物一定存在。人們很容易接受構(gòu)造性證明，但不太容易接受純存在性證明，小學(xué)兒童尤其如此，但這恰恰是數(shù)學(xué)的神奇之處。以抽屜原理為例，把4個蘋果放到3個抽屜里，至少會有一個抽屜里有兩個或者兩個以上的蘋果。在這個基本問題中，其結(jié)果是可以構(gòu)造出來的。學(xué)生可以通過操作、演示看到實實在在的存在，抽屜中的蘋果有兩個或者兩個以上。但真正理解這個問題就不能停留在構(gòu)造性證明的階段。換一個命題：南京市的常住人口中里至少有40個人的頭發(fā)根數(shù)是一樣多的。假如掌握了抽屜原理的數(shù)學(xué)本質(zhì)，就可以通過嚴(yán)密的邏輯推理得出結(jié)論。因為一個人的頭發(fā)根數(shù)不會超過20萬根，而最新數(shù)據(jù)顯示南京市的常住人口有810多萬，運用抽屜原理可得，因為810÷20=40……10，所以南京市至少有40個人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。這就是純存在性證明，它證明了命題的正確性，但并未指出哪40個人的頭發(fā)一樣多。這比通過數(shù)頭發(fā)的根數(shù)去找出頭發(fā)根數(shù)相同的兩個人的構(gòu)造性證明要深刻得多，因為頭發(fā)的根數(shù)很容易數(shù)錯，更不用說由于時間過長，在數(shù)的過程中還可能掉頭發(fā)等其他因素的干擾。通過這個例子，一方面可以讓學(xué)生知道純存在性證明是怎么回事，另一方面也讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)邏輯推理的強大威力，感受數(shù)學(xué)自身的文化魅力。

三

以上梳理了幾條在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的策略，并以熟悉的案例做了簡要的闡述。最后，筆者還想就此話題做三點說明。

第一，關(guān)注數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入，關(guān)鍵是教師要樹立正確的數(shù)學(xué)價值觀和數(shù)學(xué)課程觀。從教學(xué)的角度來分析，教師的數(shù)學(xué)價值觀和數(shù)學(xué)課程觀會深刻影響教師的教學(xué)，影響著數(shù)學(xué)文化的浸潤。數(shù)學(xué)教師的價值觀可分三種形態(tài)：工具取向的價值觀、能力取向的價值觀、文化取向的價值觀，顯然持有文化取向價值觀的教師在教學(xué)中更能夠自覺關(guān)注數(shù)學(xué)文化的浸潤。教師自身所持的課程觀大體可分為整體主義課程觀和結(jié)構(gòu)主義課程觀。整體主義課程觀是把課程置身于歷史長河之中動態(tài)生成來看的，考慮學(xué)生整體發(fā)展;結(jié)構(gòu)主義課程觀則更多從靜態(tài)的結(jié)果來看，著重關(guān)注學(xué)生對知識的建構(gòu)。顯然，持整體主義課程觀的教師更能夠關(guān)注數(shù)學(xué)文化的融入。

第二，只要教師的課程觀與教學(xué)觀真正發(fā)生了改變，對于數(shù)學(xué)文化的滲透就有可能體現(xiàn)在課程實施的每一處細(xì)節(jié)當(dāng)中，并不拘泥于上文所列舉的幾條典型路徑。例如，對于“無限”的教學(xué)。無限是一個普通的數(shù)學(xué)名詞，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常會講：自然數(shù)是無限的，同一平面內(nèi)的兩條線段無限延長不相交稱為相互平行，無限不循環(huán)小數(shù)等。常常直接使用無限的這一用語，但并沒有特別的定義。教學(xué)中，如果我們能夠引入“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”“夕陽無限好，只是近黃昏”等詞句，用文學(xué)的意向來幫助學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)無限的理解，那么在自然語言與數(shù)學(xué)語言的交互作用中，就可能讓這段學(xué)習(xí)歷程產(chǎn)生一種特有的文化意蘊。

第三，數(shù)學(xué)文化的至高境界應(yīng)該人們對于數(shù)學(xué)美的追求。數(shù)學(xué)美是事物可被人們的直覺所認(rèn)識的感性形式的一種性質(zhì)，這種性質(zhì)表現(xiàn)出了人的意志、智慧、才能和創(chuàng)造的力量，表現(xiàn)出了對未來的渴望和理想，因而使人們感到喜悅。對此，古今中外的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們都有論述。羅素就曾說過：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美。數(shù)學(xué)的美既具有抽象性、邏輯性、有序性等基本特征，又具有簡單性、對稱性、統(tǒng)一性等個性標(biāo)志。數(shù)學(xué)教學(xué)中美的滲透，可以舉出很多案例。譬如，教學(xué)“比”這一概念，講到黃金分割點，自然就會想到美。當(dāng)然，這還只是外顯的形式美。更重要的是，數(shù)學(xué)內(nèi)在的美，阿達(dá)瑪?shù)闹鳌稊?shù)學(xué)領(lǐng)域里的發(fā)明心理學(xué)》中有一個重要的觀點：發(fā)明就是選擇，選擇就是被科學(xué)的美感所控制的。數(shù)學(xué)發(fā)明經(jīng)歷了準(zhǔn)備、醞釀、頓悟、整理階段，最關(guān)鍵的頓悟階段與數(shù)學(xué)美直接相連。

數(shù)學(xué)教育作為一項具有建構(gòu)生命意義的活動，理應(yīng)使用學(xué)生享受學(xué)習(xí)生活的樂趣，關(guān)注個體素質(zhì)的提高，關(guān)注人的社會發(fā)展、社會生存、人格發(fā)展以及社會責(zé)任等。數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的工具或方法，更是一種思維模式，即數(shù)學(xué)方式的理性思維;數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，更是一種文化，即數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)不僅是一些知識，更是一種素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要體現(xiàn)在以下四個方面：看問題的數(shù)學(xué)角度、有條理的理性思維、邏輯推理的能力和習(xí)慣、合理化地量化和簡化的素質(zhì)。充滿文化意趣的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，就是通過教師為學(xué)生提供富有挑戰(zhàn)性的問題，并科學(xué)而藝術(shù)地進行組織和調(diào)控，使學(xué)生經(jīng)歷一個圓滿的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，最終讓數(shù)學(xué)成為一種文化流淌并內(nèi)化于學(xué)生的心靈深處。

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[3]李鐵安.如何理解“數(shù)學(xué)文化課”的內(nèi)涵與價值[J].小學(xué)教學(xué)，2018（1）.

【作者簡介】 儲冬生，南京市游府西街小學(xué)副校長，江蘇省特級教師，中學(xué)高級教師，全國優(yōu)課評比一等獎獲得者，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人，《小學(xué)教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教師培訓(xùn)》等刊物封面人物。積極倡導(dǎo)“問題驅(qū)動式數(shù)學(xué)教學(xué)”，潛心打造“生動且深刻”的活力課堂，2017年獲江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎。

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