蔡文杰

在電磁感應(yīng)中“桿+導(dǎo)軌”模型是最常見(jiàn)也是最重要的一個(gè)物理模型，絕大部分電磁感應(yīng)的考察都在這個(gè)模型基礎(chǔ)上。首先要對(duì)“桿+導(dǎo)軌”模型作深刻的理解?！皸U+導(dǎo)軌”模型可分為“單桿”型和“雙桿”型（三桿或更多的不常見(jiàn)）；導(dǎo)軌放置方式可分為水平、豎直、和傾斜，其中水平導(dǎo)軌往往更傾斜導(dǎo)軌一起出現(xiàn)。桿在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)可分為勻速勻速、勻變速運(yùn)動(dòng)、非勻變速運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)等，其中非勻變速運(yùn)動(dòng)最為常見(jiàn)；導(dǎo)軌上的磁場(chǎng)狀態(tài)分為恒定不變、均勻變化和非均勻變化等，情景復(fù)雜形式多變。下面以單桿+水平導(dǎo)軌來(lái)討論最為重要的非勻變速運(yùn)動(dòng)，其中的勻速運(yùn)動(dòng)與勻變速運(yùn)動(dòng)比較簡(jiǎn)單就不作研究了。

【重要的運(yùn)動(dòng)模型】

導(dǎo)體棒ab受到恒定拉力F的作用從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)如下分析：導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)即變加速運(yùn)動(dòng)，最后最勻速直線運(yùn)動(dòng)速度到達(dá)最大，這里導(dǎo)體棒最后達(dá)到最大速度的條件是 ，這是一個(gè)很重要的結(jié)論，是結(jié)題的突破口。單桿在傾斜導(dǎo)軌上也是類似的，最后勻速運(yùn)動(dòng)的最大速度條件也是 ，這里就不分析了。由于是變加速運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中涉及到的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、安培力都是變量。出現(xiàn)一系列問(wèn)題：由于感應(yīng)電流 是變量導(dǎo)致電荷量 不能直接算；焦耳熱 不能直接算，安培力 是變力，不能算；安培力做的功 沒(méi)法直接計(jì)算。當(dāng)然 如果取平均值，上述都是可以算的，但 往往不可求。

針對(duì)變加速運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的這一系列的難點(diǎn)，用傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)和牛頓定律是沒(méi)法解決的。必須采用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理來(lái)解決這些難點(diǎn)。具體如何操作呢？下面，我把電磁感應(yīng)所涉及到的所有知識(shí)點(diǎn)分成四部分：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)問(wèn)題、電學(xué)問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題、能量問(wèn)題。

首先是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算，分為瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)與平均電動(dòng)勢(shì)。瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì) 的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，唯一需要注意的是導(dǎo)體棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ，也就是例1的情況。

【例1】長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅桿OA以O(shè)為軸在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面內(nèi)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求桿OA產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).

平均電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算較為復(fù)雜 中的 分三種情況：①B不變，面積S變，則 ；②B變，面積S不變，則 ；③B變，面積S變，則 。把②代入感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算公式得 ，式中的 有兩種形式考察，第一種，以B-t圖像的形式，圖像中的斜率就是 ；第二種，以 的形式，其中的k就是

第二電學(xué)問(wèn)題。求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小后，畫(huà)出等效電路圖，利用閉合電路歐姆定律 求出感應(yīng)電流，進(jìn)行求解一系列的電學(xué)問(wèn)題。在電學(xué)問(wèn)題中電荷量q和電路的焦耳熱是比較難求解，也是考察的重點(diǎn)。第一個(gè)電荷量q：由于電流是變化的所以 不能直接求解。不過(guò)我們可以用電流的平均值 來(lái)代替，q的求解過(guò)程如下： ，也就是我們把q的求解轉(zhuǎn)化成求解 ， 的三種求解方式上面已有講述。

第三個(gè)力學(xué)與能量問(wèn)題。第二個(gè)焦耳熱Q的求解就涉及到力學(xué)與能量問(wèn)題了，由于感應(yīng)電流是變化的， 不能直接計(jì)算，根據(jù)功能關(guān)系與能量守恒，安培力做的功等于全電路的電能，純電阻電路中電能又等于焦耳熱，所以我們得到功能關(guān)系 ，這里求出的焦耳熱是整個(gè)電路的，如果要求某一個(gè)電阻的焦耳熱，需要另外計(jì)算，這里很容易出錯(cuò)二失分。利用功能關(guān)系我們只需要求 就可以了，但問(wèn)題是感應(yīng)電流是變化的導(dǎo)致安培力是個(gè)變力， 不能直接用做功表達(dá)式直接計(jì)算。求解變力做的功，就必須用動(dòng)能定理了。要求 就必須要求題目的已知條件里包含初速度與末速度。反過(guò)來(lái)，如果我們要用動(dòng)能定理求解初速度或末速度，就必須知道 ，或者根據(jù) 知道 也可以。如果不知道呢？動(dòng)能定理就無(wú)能為力了，這個(gè)時(shí)候只能用動(dòng)量定理來(lái)求解速度了，

以上，就是電磁感應(yīng)計(jì)算題所涉及到的四大知識(shí)點(diǎn)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算是整個(gè)的基礎(chǔ)；兩個(gè)定理——?jiǎng)幽芏ɡ砗蛣?dòng)量定理的應(yīng)用是個(gè)難點(diǎn)與重點(diǎn)；電荷量q與焦耳熱Q是考察的重點(diǎn)與難點(diǎn)。最后，以浙江省2017年11月選考試卷的第22題為例進(jìn)行實(shí)際的應(yīng)用。

如22題.所圖所示，匝數(shù)N=100、截面積s=1.0×10-2m2、電阻r=0.15Ω的線圈內(nèi)有方向垂直于線

圈平面向上的隨時(shí)間均勻增加的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1，其變化率k=0.80T/s。線圈通過(guò)開(kāi)關(guān)S連

接兩根相互平行、間距d=0.20m的豎直導(dǎo)軌，下端連接阻值R=0.50Ω的電阻。一根阻值

也為0.50Ω、質(zhì)量m=1.0×10-2kg的導(dǎo)體棒ab擱置在等高的擋條上。在豎直導(dǎo)軌間的區(qū)

域僅有垂直紙面的不隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2。接通開(kāi)關(guān)S后，棒對(duì)擋條的壓力恰好為

零。假設(shè)棒始終與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)摩擦阻力和導(dǎo)軌電阻。

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小，并指出磁場(chǎng)方向；

（2）斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S后撤去擋條，棒開(kāi)始下滑，經(jīng)t=0.25s后下降了h=0.29m，求此過(guò)程棒上產(chǎn)生的熱量。

解：（1）線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

流過(guò)導(dǎo)體的電流

導(dǎo)體棒對(duì)檔條的壓力為零，有

得 方向：垂直紙面向外

（2）由動(dòng)量定理得

（3） 及

（4）得

Ab產(chǎn)生的熱量 。