孫欣 王乃濤

【摘 要】數(shù)學(xué)抽象力是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)。兒童的數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)具有表達直接性、表征直觀性、原理探究性、思維半邏輯性等特點，教師應(yīng)注重建構(gòu)有助于提升兒童數(shù)學(xué)抽象力的適性場域——匹配抽象內(nèi)容的適應(yīng)場、激活抽象方法的運用場、提升高階思維的層次場。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象力;教學(xué)分析;提升策略;抽象內(nèi)容;抽象方法;高階思維

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）89-0033-04

【作者簡介】1.孫欣，江蘇省淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué)（江蘇淮安，223001）課程教學(xué)部副主任，一級教師，淮安市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;2.王乃濤，江蘇省淮安經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)教師發(fā)展中心（江蘇淮安，223005）數(shù)學(xué)教研員，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

史寧中教授曾指出：人的基本思維能力就是想象能力和抽象能力，其他思維能力都是它們派生的。數(shù)學(xué)抽象最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、兒童數(shù)學(xué)抽象力形成的困惑

（一）對原初概念表征不清，抽象過程缺少思維基礎(chǔ)

我們通常用已知概念（原初概念）來定義新概念，如用因數(shù)來定義質(zhì)數(shù)、合數(shù)，用自然數(shù)來定義因數(shù)。學(xué)生對原初概念的理解直接影響他們的新概念形成。如學(xué)習(xí)蘇教版四下《三角形的高》一課時，由于學(xué)生對原初概念的表征與理解不清，往往會致使其新概念抽象過程模糊（如表1）。

（二）對問題解決機械模仿，抽象方法選擇運用不當(dāng)

教師常結(jié)合生活情境來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的能力。但是，如果教學(xué)浮于表面，學(xué)生則會對方法理解不透、運用不當(dāng)。如學(xué)習(xí)蘇教版一下《100以內(nèi)加減法》一課時，常常會出現(xiàn)如下頁表2所示的問題。兩道題題型相同，正確率卻相差較大。題1找回錢數(shù)很少，符合生活中找回錢少的現(xiàn)實暗示，學(xué)生會根據(jù)數(shù)據(jù)特點機械模仿解決題1的方法來解決題2。

（三）對數(shù)學(xué)原理表達不清，抽象結(jié)論難以語義說明

學(xué)數(shù)學(xué)需探究數(shù)學(xué)原理。建構(gòu)數(shù)學(xué)原理時，可舉例、歸納、概括，也可以純數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)。受認知能力限制，學(xué)生表達數(shù)學(xué)原理時往往會出現(xiàn)不全面、不完整、不準(zhǔn)確等情況。如教學(xué)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》一課，在折紙、填等式、發(fā)現(xiàn)分子分母倍數(shù)關(guān)系等環(huán)節(jié)，學(xué)生能輕松應(yīng)對，但讓他們用語言概括規(guī)律時，他們的表達卻往往不如人意，有的只表達出了乘或除中的一種情況，有的考慮不到0除外。

（四）對數(shù)學(xué)本質(zhì)把握不準(zhǔn)，核心要素難以深刻辨析

同一對象可用不同標(biāo)準(zhǔn)進行分類。同一概念處于不同上位概念之下，也以不同樹狀結(jié)構(gòu)引發(fā)下位概念。學(xué)生對交叉狀的概念體系結(jié)構(gòu)往往難以辨別。如教學(xué)蘇教版五下《因數(shù)與倍數(shù)》一課，不等于0的自然數(shù)可分為1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，也可分為奇數(shù)和偶數(shù)。但因?qū)W生對數(shù)學(xué)概念的核心要素把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致他們對兩種分類標(biāo)準(zhǔn)（是否2的倍數(shù)，因數(shù)有多少）和概念結(jié)構(gòu)難以深入辨析。

二、兒童數(shù)學(xué)抽象力的含義及學(xué)習(xí)特征

（一）兒童數(shù)學(xué)抽象力的含義

數(shù)學(xué)抽象力是在數(shù)學(xué)抽象過程中形成的理解力、判斷力、想象力、概括力等能力的總和。

（二）兒童數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)的典型特征

小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象主要指情境性抽象或經(jīng)驗性抽象，具有兩重性，既表示從情境中提取的過程，又表示從過程中得出的經(jīng)驗概念。

1.表達的直接性。兒童頭腦中的信息屬于“自然結(jié)構(gòu)”，加工起來相對困難，難以進行數(shù)學(xué)邏輯解釋，而是一點一點地直接表達想法。

2.表征的直觀性。兒童表征數(shù)學(xué)概念從實物、圖形開始，尚不能完全脫離數(shù)學(xué)原型展開邏輯思考，抽象過程以具體形象和表象為支撐。

3.原理的探究性。兒童不滿足于接受現(xiàn)有的結(jié)論，喜歡從數(shù)學(xué)事實出發(fā)猜想、追問、尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，具有一定的探究意識與能力。

4.思維的半邏輯性。兒童抽象能力的發(fā)展介于實物、圖形的形象認知和原理、規(guī)律的抽象過程之間，具有一定的但不完全的邏輯性，我們稱為“半邏輯性”的學(xué)習(xí)特點。

三、兒童數(shù)學(xué)抽象力的培養(yǎng)策略

（一）全面打破——匹配抽象內(nèi)容的適應(yīng)場

數(shù)學(xué)抽象主要有概念抽象、規(guī)律抽象、運算抽象、關(guān)系抽象、思想方法抽象等。

1.概念抽象——去異求同，抽離本質(zhì)屬性。要促進學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，區(qū)別事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)事物間共同的屬性，形成正確的概念。如教學(xué)蘇教版二下《認識角》一課，可出示實物圖片，引導(dǎo)學(xué)生描出圖片中的角，從實物圖中剝離出角的平面圖形，再通過觀察、比較抽象出平面圖形的共同特點，抽離出角的本質(zhì)屬性（由一個頂點和兩條邊組成）。

2.規(guī)律抽象——去粗取精，概括臨近結(jié)論。在規(guī)律探究中，學(xué)生根據(jù)研究素材形成的發(fā)現(xiàn)有些無普適性。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去除外在表象，展示本質(zhì)，在臨近結(jié)論的基礎(chǔ)上形成正確的結(jié)論。如教學(xué)蘇教版四下《多邊形內(nèi)角和》一課，學(xué)生通過量、算、拼等方法得出了三角形與四邊形的內(nèi)角和及2倍關(guān)系，但還不能發(fā)現(xiàn)邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系。教師適時啟發(fā)：想象一下，多邊形的內(nèi)角和會與什么有關(guān)？當(dāng)學(xué)生理解了多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和有關(guān)時，就容易找到研究五、六邊形內(nèi)角和的方法了。借助圖形直觀進行歸納推理，解釋規(guī)律的合理性，有助于學(xué)生矯正其臨近結(jié)論。

3.運算抽象——理法相通，提煉運算法則。在計算教學(xué)中，溝通算理與算法很重要。算理是算法的基礎(chǔ)，及時溝通算法與算理的聯(lián)系有利于算法的抽象、提煉與掌握。如蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課的例題為：幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？教師教學(xué)時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生理解算理和豎式過程（如圖1），溝通新舊方法，并啟發(fā)學(xué)生討論：（1）豎式中第二步算出的積的末位為什么要與十位對齊？（2）新算法為什么要分步表示過程？在數(shù)學(xué)問題情境中溝通新舊方法，理解算理，抽象出運算法則。