黃豐蘭

[摘? 要] 《數(shù)學(xué)實(shí)驗手冊》為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新型的教學(xué)資源，文章從“五步法數(shù)學(xué)教學(xué)”三大課型（新授課、復(fù)習(xí)課、實(shí)驗課）入手，將《數(shù)學(xué)實(shí)驗手冊》和課本有機(jī)結(jié)合，選取實(shí)驗對象，設(shè)計實(shí)驗內(nèi)容，全面激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、探索、猜想、驗證，從而獲得數(shù)學(xué)理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科能力和素養(yǎng)的全面提升.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗手冊;深入理解;數(shù)學(xué)情感;空間想象;實(shí)踐推理

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)常以“教師講，學(xué)生聽”的方式為主，在講解過程中，教師會追尋知識的來源，但大多或以呈現(xiàn)為主，或把數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程簡約化，使學(xué)生在感知與概括之間出現(xiàn)思維斷層，這不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)家歐拉說過，數(shù)學(xué)這門學(xué)科需要觀察，也需要實(shí)驗. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)知識與學(xué)生生活經(jīng)驗的聯(lián)系，與學(xué)生學(xué)科知識的聯(lián)系，組織學(xué)生開展實(shí)驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象概括、運(yùn)用知識進(jìn)行判斷. 基于以上理論，初中數(shù)學(xué)實(shí)驗研究小組根據(jù)初中教學(xué)內(nèi)容，精心編制了《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗手冊》（以下簡稱《手冊》），共涉及65個實(shí)驗，其目的便是引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)實(shí)驗，探索數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平. 本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，就如何利用《手冊》應(yīng)用于“五步法數(shù)學(xué)教學(xué)”，做了以下探索.

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)新授課”

中的主要應(yīng)用

列夫·托爾斯泰曾說：知識，只有當(dāng)它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識. 學(xué)習(xí)概念、性質(zhì)時，學(xué)生往往只對概念、性質(zhì)進(jìn)行記憶，而對概念、性質(zhì)的本質(zhì)屬性理解不夠，這種一知半解的情況，造成了諸多的知識漏洞. 為了讓學(xué)生真正掌握概念及性質(zhì)，教師可充分、合理地利用《手冊》，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，感知表象;動手探索，大膽猜想;交流思考，概括總結(jié)，實(shí)現(xiàn)對概念及性質(zhì)的深入理解.

如講解無理數(shù)的概念時，許多教師都會直接告知學(xué)生：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有以下兩種形式：一是無限不循環(huán)小數(shù)，如π，2.010010001…;二是開方開不盡的數(shù)，如. 這種教學(xué)方式只對概念進(jìn)行了記憶，缺少了對概念的感知過程. 教師可利用《手冊》設(shè)計實(shí)驗，先讓學(xué)生把分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，通過觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);其次，通過擲骰子寫小數(shù)的游戲方式，及利用Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)小數(shù)，體會無限不循環(huán)小數(shù)的真實(shí)存在性;隨后，通過構(gòu)造2.010010001…這樣的小數(shù)，進(jìn)一步體會無限不循環(huán)小數(shù)的客觀存在性;最后，通過拓展活動，了解圓周率也是無限不循環(huán)小數(shù)，從而讓學(xué)生感知和體驗無理數(shù)概念的形成過程，深入理解無理數(shù)的概念.

再如，探索勾股定理時，按《手冊》可設(shè)計四步教學(xué)過程：首先，運(yùn)用全等三角形的知識和割補(bǔ)圖形的方法，利用方格紙設(shè)計計算格點(diǎn)正方形ABCD的面積;其次，通過方格紙上的操作、實(shí)驗，探索分別以格點(diǎn)直角三角形的三邊為邊長的三個正方形的面積與直角三角形三邊長之間的關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合思想;再次，用上述方法完成四組不同圖形面積的相關(guān)計算，并在上述操作的基礎(chǔ)上，猜想直角三角形三邊之間的關(guān)系;最后，化特殊為一般，通過構(gòu)造圖形加以驗證，歸納得出勾股定理. 這一系列的操作過程，能讓學(xué)生經(jīng)歷觀察—猜想—?dú)w納—驗證的發(fā)現(xiàn)過程，能把抽象的數(shù)學(xué)問題通過直觀的背景呈現(xiàn)出來，能幫助學(xué)生抓住本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對勾股定理的接受和理解.

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”

中的主要應(yīng)用

“五步法數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課”不是舊知識的簡單再現(xiàn)或機(jī)械重復(fù)，而是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，梳理知識體系，把學(xué)過的零碎知識系統(tǒng)化，在應(yīng)用舊知的同時，有新知識、新方法的再生成和再創(chuàng)造. 在此課型中設(shè)計數(shù)學(xué)實(shí)驗，不但能提高學(xué)生上復(fù)習(xí)課的興趣，而且能在體驗、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程中，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐推理能力和綜合應(yīng)用能力. 復(fù)習(xí)課中設(shè)計的數(shù)學(xué)實(shí)驗主要有如下三類：

1. 生活情景類活動——主在促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感體驗

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活. 教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識和生活實(shí)踐聯(lián)系起來，如天平與等式、不等式之間的聯(lián)系，鐘面上數(shù)字所夾的角度等，讓學(xué)生在所設(shè)計的生活情景實(shí)驗中探索數(shù)學(xué)知識，這樣所獲得的知識無疑是深刻的、牢固的. 這種生活情景類實(shí)驗，能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識是看得見、摸得著的，能寓學(xué)于樂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 同時，在學(xué)生獨(dú)立思考的同時，能加強(qiáng)學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的合作與交流，在成功的體驗中、同學(xué)的肯定中、教師的表揚(yáng)中，學(xué)生也會有一系列的情感體驗.

2. 勞技制作類實(shí)驗——主在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

有些數(shù)學(xué)知識的掌握需要學(xué)生有一定的空間想象能力，教師在教學(xué)過程中，可引導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過折、剪、拼等方式，制作幾何體實(shí)物或模型，在操作的過程中，讓學(xué)生感知平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)換，或從實(shí)物模型轉(zhuǎn)換至數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

如學(xué)習(xí)“展開和折疊”這節(jié)內(nèi)容后，我們都會對正方體的展開圖進(jìn)行適當(dāng)拓展. 但教師為了節(jié)約時間，往往會直接和學(xué)生簡單地商量出正方體的11種展開圖，并以口訣的形式傳授給學(xué)生. 其實(shí)，教師可以利用《手冊》開展“展開與折疊”這一實(shí)驗：首先，通過畫、剪、折來研究幾何圖形，從折疊無蓋的盒子到折疊成正方體，再到折疊成標(biāo)有字母的正方體，讓學(xué)生初步感受平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系;其次，在想象的基礎(chǔ)上，通過動手操作，理解復(fù)雜的平面圖形的折疊，實(shí)現(xiàn)從“無序”到“有序”的轉(zhuǎn)變;最后，在前面環(huán)節(jié)的鋪墊下，想象正方體盒子的平面展開圖，進(jìn)一步體會立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系. 這樣的教學(xué)方式，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到“授之以魚，不如授之以漁”的效果.

3. 圖形變換類操作——主在提高學(xué)生的實(shí)踐推理能力

初中數(shù)學(xué)常見的變換形式有三類：對稱、翻折、旋轉(zhuǎn). 教學(xué)時，教師常用幾何畫板軟件呈現(xiàn)圖形的變換過程，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡或圖形的基本特征. 但學(xué)生平時解決問題時，沒有幾何畫板這一輔助工具，故課堂上學(xué)生觀察幾何畫板呈現(xiàn)的變換就如同看雜技表演，在感嘆其形象化的同時，并沒有掌握解決問題的方法. 此時，教師可以先讓學(xué)生動手實(shí)驗、探索猜想，結(jié)合幾何畫板軟件對猜想進(jìn)行驗證，找到解決問題的方法. 雖然這樣操作會耗費(fèi)一定的時間和精力，但在操作的過程中，隨著實(shí)踐操作、提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)生的推理創(chuàng)新能力定能得到培養(yǎng)和提升.

例如，如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的一個動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是多少？

該題屬于圖形的翻折問題，探索時可讓學(xué)生按題意進(jìn)行操作，在翻折的過程中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C翻折后產(chǎn)生的運(yùn)動軌跡為圓，從而得出定點(diǎn)加定長產(chǎn)生隱形圓的基本模型，此時題目便已轉(zhuǎn)化為在定圓上找一點(diǎn)，使它到定線段距離最短的問題. 在實(shí)驗中，教師幾何畫板的操作僅為輔助工具，學(xué)生的探索才是主體. 隱形圓的運(yùn)動軌跡是由學(xué)生自主實(shí)驗探索得到的，故他們能夠深刻理解、透徹掌握此模型的條件、結(jié)論、原理和依據(jù)，這有助于深化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

《手冊》在“五步法數(shù)學(xué)實(shí)驗課”

中的主要應(yīng)用

《手冊》作為初中數(shù)學(xué)教材的補(bǔ)充和輔助，其實(shí)驗操作多數(shù)安排為課堂教學(xué)中的一個環(huán)節(jié)，以幫助學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí). 但如“七巧板拼圖”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗，教材中的說明“惜字如金”，但它作為“5.2 圖形的變化”教學(xué)內(nèi)容的一部分，卻有著一定的意義和作用. 對于這類實(shí)驗，教師可根據(jù)教學(xué)情況，充分利用《手冊》，設(shè)計成“五步法數(shù)學(xué)實(shí)驗課型”進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生拓寬知識面，重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

如在“七巧板拼圖”授課中，教師可先安排學(xué)生查閱與交流七巧板的歷史，讓學(xué)生了解祖先的智慧以及數(shù)學(xué)對社會發(fā)展、人類進(jìn)步起到的巨大作用;其次，在學(xué)生逐步認(rèn)識七巧板、拼拼七巧板、創(chuàng)意七巧板的實(shí)驗活動中進(jìn)行思考、探索、交流，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，感受空間圖形與現(xiàn)實(shí)生活之間存在的密切聯(lián)系，并進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的無窮魅力.

《數(shù)學(xué)實(shí)驗手冊》為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個新型的教學(xué)資源. 教師在教學(xué)過程中，不要全盤照搬，而要深入研究教材，根據(jù)實(shí)際情況，選取適當(dāng)?shù)膶?shí)驗對象，設(shè)計恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗內(nèi)容，與課本有機(jī)結(jié)合，融入和分解到日常教學(xué)中，幫助學(xué)生在活動中獲得感性認(rèn)識和相應(yīng)經(jīng)歷，通過分析概括、推理演繹，獲得數(shù)學(xué)理解，在全面激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力和素養(yǎng)的全面提升.