林松

[摘? 要] 由數(shù)學(xué)史學(xué)回顧，追問數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵;數(shù)學(xué)實驗關(guān)鍵在于聯(lián)結(jié)“經(jīng)驗”和“思維”，實現(xiàn)建立在經(jīng)驗直觀之上的抽象;打通工具和人腦的關(guān)系，實現(xiàn)工具和人腦的對話，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的核心價值追求.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實驗;內(nèi)涵;經(jīng)驗;思維;價值追求

問題提出

數(shù)學(xué)實驗作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，已被不少一線教師應(yīng)用于課堂教學(xué). 但一直以來，大家對數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)作用都有著不同的觀念. 一種觀念認為，通過數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)，讓問題在數(shù)學(xué)課堂上直觀顯示，可以強化多感官刺激，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進有效學(xué)習(xí);另一種觀念認為，數(shù)學(xué)是系統(tǒng)、嚴謹?shù)难堇[科學(xué)，“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西”[1]，可視化的數(shù)學(xué)實驗是對形象思維的強化，對抽象思維的培養(yǎng)難以起到積極作用，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí). 兩種觀念孰是孰非，事關(guān)對數(shù)學(xué)實驗作用的正確認識，事關(guān)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的前途和命運，值得深思和辨析.

回歸邏輯起點，追問數(shù)學(xué)實驗

的內(nèi)涵

1. 數(shù)學(xué)實驗的史學(xué)追問

數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)實踐（勞動），古巴比倫人在生產(chǎn)實踐（勞動）中就逐步掌握了一定的數(shù)學(xué)知識，并能應(yīng)用于生活實際. 但從數(shù)學(xué)角度來看，他們的數(shù)學(xué)知識僅是基于觀察的經(jīng)驗，沒有形成理論體系并證明. 到公元前500年前后，以古巴比倫、古埃及和中國為代表的一些地區(qū)發(fā)展起了具有初步理論體系的數(shù)學(xué)，研究的內(nèi)容主要是和生活緊密相關(guān)的計數(shù)、初等算術(shù)與算法等. 大約在公元前500年到公元300年之間，古希臘幾何學(xué)的研究達到了輝煌時期，出現(xiàn)了嚴密的推理與形式的證明，形成了希臘數(shù)學(xué)的理論化和公理化的傾向. 到了17世紀，微積分和解析幾何的發(fā)展引發(fā)了數(shù)學(xué)和科學(xué)的革命. 數(shù)學(xué)家據(jù)此研究行星的運行、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力等自然現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)研究內(nèi)容涉及數(shù)量、形狀、運動、變化以及空間，這個時候，數(shù)學(xué)的公理體系和系統(tǒng)推演的思想似乎不是那么重要了. 到了19世紀，由于數(shù)學(xué)本身需要鞏固已有成果，就重新回頭審查新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，特別是微積分及其賴以建立的極限概念，因此古希臘形式證明的傳統(tǒng)卷土重來掌握了優(yōu)勢，數(shù)學(xué)又成功返回以準確而又嚴謹?shù)淖C明為其學(xué)科特征. 于是，鐘擺又一次向純粹性和抽象性的一側(cè)擺去[2]. 直至當下，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)仍然偏向于純粹性和抽象性的研究，但是人們可以期望，在純粹數(shù)學(xué)和具有活力的應(yīng)用之間產(chǎn)生了這種不幸分離之后，隨之而來的應(yīng)是一個緊密結(jié)合的時代[3].

縱觀數(shù)學(xué)史，我們可以發(fā)現(xiàn)“生產(chǎn)實踐”一直伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展. 抽象的數(shù)學(xué)來至生產(chǎn)實踐（勞動），抽象的數(shù)學(xué)是通過觀察、歸納、推理而來的. 抽象的數(shù)學(xué)也是為社會生產(chǎn)（勞動）服務(wù)的，可以在數(shù)學(xué)和應(yīng)用之間建立有機的結(jié)合，在抽象的共性和具體的個性之間建立平衡. 數(shù)學(xué)課堂的“數(shù)學(xué)實驗”和人類的“生產(chǎn)實踐”雖不完全相同，但也有相似之處. 通過對數(shù)學(xué)史的回顧和對“數(shù)學(xué)實驗”這種學(xué)習(xí)過程的分析，我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)實驗”和“生產(chǎn)實踐”都離不開對具體現(xiàn)象的觀察與思考. 數(shù)學(xué)實驗的直觀性、操作性、探究性、趣味性的特點可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加形象直觀地理解數(shù)學(xué)知識，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，驗證數(shù)學(xué)結(jié)果.

2. 數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵

（1）數(shù)學(xué)實驗是“數(shù)學(xué)的實驗”

數(shù)學(xué)實驗是為了幫助學(xué)生建構(gòu)某個數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，或解決某個數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在思維的參與下，通過對實物或者數(shù)學(xué)軟件等操作而進行的學(xué)習(xí)活動. 數(shù)學(xué)實驗是“數(shù)學(xué)的實驗”，是在數(shù)學(xué)思維參與下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動. 因而，它必然具有數(shù)學(xué)的抽象性、精準性和應(yīng)用的廣泛性等基本特點. 同樣作為科學(xué)實驗，但它和理化生實驗有一定區(qū)別. 理化生實驗通過應(yīng)用實驗儀器和設(shè)備，對研究對象進行干預(yù)和控制，重在科學(xué)規(guī)律的實踐探索. 數(shù)學(xué)實驗借助實物和數(shù)學(xué)軟件的操作，去理解、解釋或建構(gòu)數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)實驗的結(jié)果既可控也不可控，比如折紙的結(jié)果是可控的，但利用計算機進行數(shù)學(xué)建模的結(jié)果卻可能是多種多樣的，因而數(shù)學(xué)實驗重在對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究和驗證.

數(shù)學(xué)的實驗過程離不開數(shù)學(xué)思維的參與. 在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，一般會經(jīng)歷“觀察→測量（實驗行為）→猜想→驗證→抽象”這幾個步驟. 學(xué)生首先要用數(shù)學(xué)的眼光對實驗對象進行觀察，再進行數(shù)學(xué)實驗行為，接著要辨析實驗對象前后的本質(zhì)變化，從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)問題，提出實驗對象變化可能的猜想，這一過程以學(xué)生的數(shù)學(xué)想象為支撐. 然后還要進行實驗的驗證和探究. 最后，通過提取關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息，抽象出實驗對象在數(shù)量或圖形方面的數(shù)學(xué)本質(zhì).

（2）數(shù)學(xué)實驗是“實驗的數(shù)學(xué)”

數(shù)學(xué)實驗是“實驗的數(shù)學(xué)”，是數(shù)學(xué)的實證研究，是具體化、形象化的數(shù)學(xué). 它是研究數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，它可以促進學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識，深刻感悟數(shù)學(xué)思想，豐富積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 它的價值功能在于化繁為簡、化難為易、化虛為實. 數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺少的組成部分，它可以讓抽象能力偏弱的學(xué)生更容易理解掌握相關(guān)概念和規(guī)則，從而讓教學(xué)更順利地進行. 但我們決不能為實驗而實驗，把實驗當作是目的，實驗僅是研究問題的一種手段. “實驗的數(shù)學(xué)”是為了更好地進行數(shù)學(xué)的思考.

例如，要把一個正方體分割成8個小正方體，至少需要用刀切多少次？我們可以用橡皮和刀進行實驗嘗試，容易得到“要切3刀”的結(jié)論. 但如果將問題改編成“要把一個正方體分割成27個小正方體，至少需要用刀切多少次？”我們的實驗就難以繼續(xù)操作了，數(shù)學(xué)地思考問題就顯得尤為重要. 我們在第一個問題的實驗中發(fā)現(xiàn)8個小正方體都只有3個面是現(xiàn)成的，其他3個面必須用刀切3次才能切出來，所以第一個問題答案是3次. 如果把一個正方體分割成27個小正方體，因為最中間的一個小正方體的6個面都不是現(xiàn)成的，所以至少要切割6刀. 也可以這樣思考：因為27=3×3×3 ，2刀可切3段，從正面、上面、側(cè)面三個方向每面切2刀可得27個小正方體，所以至少需要用刀切6次.

在上述的問題解決過程中，實驗行為是需要的，它增加了學(xué)生的感性認識，加深了對數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)規(guī)律的認識. 數(shù)學(xué)思考也是必需的，數(shù)學(xué)思考可以將具體化的實驗結(jié)果進行抽象地歸納，直至上升到形式化的理論層面. 這充分說明一個事實：數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)知識在人腦中建構(gòu)的“數(shù)學(xué)化”過程.

準確把握內(nèi)涵，正確認識使用

好數(shù)學(xué)實驗

1. 聯(lián)結(jié)“經(jīng)驗”和“思維”，實現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的價值追求

在文首“問題提出”中，兩種觀念都肯定了數(shù)學(xué)實驗的直觀作用. 觀點一強調(diào)了因直觀產(chǎn)生的正面效果——激發(fā)興趣，促進學(xué)習(xí);觀點二強調(diào)了因直觀產(chǎn)生的負面效果——不利于抽象思維培養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 這兩種觀念都認為數(shù)學(xué)實驗作為一種直觀的學(xué)習(xí)方式，缺乏一般觀念的思維引領(lǐng)，學(xué)生可能會“做得到但想不到”，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)缺少發(fā)生的“必然性”;認為學(xué)生在實驗過程中雖然可以匯聚直觀的感性經(jīng)驗，但難以將不連續(xù)的經(jīng)驗提升到理性層次，更難以實現(xiàn)抽象化、形式化的理論體系的構(gòu)建. 兩種觀念其實都是片面的，它們都忽略了數(shù)學(xué)實驗中思維的存在.

產(chǎn)生上述認識的原因就在于把數(shù)學(xué)實驗中的“經(jīng)驗”和“思維”割裂開了，簡單地認為“經(jīng)驗”就是直觀感受，沒有“思維”的參與，認為“思維”就是建立在封閉系統(tǒng)里的邏輯推理. 其實，數(shù)學(xué)實驗不僅是實驗驗證的科學(xué)，還是思維訓(xùn)練的科學(xué). 數(shù)學(xué)教學(xué)的獨特育人功能就在于培養(yǎng)學(xué)生的思維，數(shù)學(xué)實驗作為促進學(xué)生認知發(fā)展的有效途徑，它在學(xué)生的思維培養(yǎng)中起到了重要的作用. 數(shù)學(xué)實驗通過學(xué)生動手操作、動腦思考，在“做數(shù)學(xué)”中獲取經(jīng)驗. 這里的經(jīng)驗不僅僅是指感官知覺的刺激，還包括經(jīng)過思考后的歸納總結(jié). 所以，數(shù)學(xué)實驗是有思維參與的. 同樣，“思維”是需要“經(jīng)驗”基礎(chǔ)的，空中樓閣式的“思維”是不存在的. 實際教學(xué)中我們更應(yīng)該增加感官的認識，豐富經(jīng)驗的積累. 只有頭腦中積累的經(jīng)驗素材越多，思維想象才會越豐富. D.希爾伯特說：“數(shù)學(xué)的源泉就在于思維與經(jīng)驗的反復(fù)出現(xiàn)的相互作用. ”[4]數(shù)學(xué)的知識是對事物本質(zhì)抽象的結(jié)果，數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確立則依賴于推理. 因此，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的關(guān)鍵在于聯(lián)結(jié)“經(jīng)驗”和“思維”，實現(xiàn)建立在經(jīng)驗直觀之上的抽象. 數(shù)學(xué)實驗功能在于打通工具和人腦的關(guān)系，實現(xiàn)工具和人腦的對話，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的核心價值追求.

2. 立足數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，開展基于思維的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)

數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)是對基本數(shù)學(xué)概念的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的把握，對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟，對數(shù)學(xué)美的鑒賞，對數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求. 數(shù)學(xué)實驗是一柄雙刃劍，運用的好與壞直接決定數(shù)學(xué)教育的功效. 文首“問題提出”中所反映的情況其實是我們當前數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的常見的表現(xiàn)形式. 課堂教學(xué)為了追尋學(xué)生學(xué)習(xí)的直觀性、興趣性，設(shè)置安排的實驗價值不高，且實驗?zāi)康木褪菫榱藴p低學(xué)習(xí)的難度，降低思維的層次，讓學(xué)生易于接受. 這種做法僅讓學(xué)生的學(xué)習(xí)局限在“知其然”層次，而不是積極地去培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生達到“知其所以然”層次，是不值得提倡的. 可以這么說，這種教學(xué)對抽象能力偏弱的學(xué)生的前期學(xué)習(xí)有一定正面作用，但對進一步的深度學(xué)習(xí)卻有負面作用，而對數(shù)學(xué)能力較強的學(xué)生從前到后都無積極作用. 因此，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)應(yīng)立足數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，多開展基于思維的數(shù)學(xué)實驗教學(xué).

當然，隨著教學(xué)的不斷深入，教者應(yīng)逐漸減少實物實驗的使用量，使學(xué)生擺脫對直觀實物的依賴，加強思維能力的培養(yǎng). 中科院林夏水先生有一個觀點，他認為數(shù)學(xué)實驗還應(yīng)該包括思想實驗. 思想實驗是指一種在人的頭腦中進行的理性思維活動，這種思維活動按照實驗的格式展開，所以也稱為“實驗”. 比如，小學(xué)階段正常開展的珠心算教學(xué)就是基于思維的思想實驗. 珠心算將算盤的盤式、檔次及算珠的浮動變化描繪到腦子里，在頭腦中形成“虛盤”;然后通過知覺、形象、記憶等過程，在大腦里來完成珠算運算. 在珠心算教學(xué)過程中，珠算是基礎(chǔ)，通過實珠（算盤）的操作，學(xué)習(xí)者熟悉了四則計算的變化及方法. 隨著技巧的熟練，學(xué)習(xí)者腦中的影像逐漸建立，透過影像的仿真操作（虛盤）即產(chǎn)生心算的功能. 計算過程中，算珠圖像由靜珠瞬間化成許多動珠運轉(zhuǎn)，最終在極短的時間內(nèi)完成計算任務(wù). 又比如在《莊子·天下篇》中，就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這樣思想實驗的例子，來論證物質(zhì)的無限可分. 當然，我們不是追求讓所有學(xué)生去做“思想實驗”，我們所追求的方向是在數(shù)學(xué)實驗中實現(xiàn)思維的教育. 所以，我們?nèi)绻褦?shù)學(xué)實驗作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效補充方式，立足于數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生隱藏在大腦中的思維能力，這樣的數(shù)學(xué)實驗才是有益的，值得推崇的. 否則，數(shù)學(xué)實驗是沒有價值的.

參考文獻：

[1]史寧中. 數(shù)學(xué)的抽象[J]. 東北師大學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2008（05）.

[2][3][美]R·科朗，[美]H·羅賓. 什么是數(shù)學(xué)：對思想和方法的基本研究（中文版第四版）[M]. 左平，張飴慈，譯. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2017.

[4]顧泠沅. 數(shù)學(xué)思想方法[M]. 北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.