沈華

[摘? 要] “單元教學(xué)”“關(guān)注初中生學(xué)力發(fā)展”都源于李庾南老師的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法，是指基于學(xué)生已有的基礎(chǔ)，以提升學(xué)生學(xué)力為宗旨，打破按課時(shí)分配的小段教學(xué)，對學(xué)材進(jìn)行加工、重組，靈活組織單元教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方法. 將單元教學(xué)與學(xué)生發(fā)展需求相結(jié)合，這是我校近期深入探究的一項(xiàng)課題.

[關(guān)鍵詞] 單元教學(xué);學(xué)生發(fā)展需求;初三復(fù)習(xí)課;三角形

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要關(guān)注知識的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，把每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容放在整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部知識和整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識的整體性[1]. 課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)我們一線教師在教學(xué)過程中要考慮知識的整體性，不要把某些整體的知識碎片化，要實(shí)施單元教學(xué). 在實(shí)施單元教學(xué)時(shí)，不僅要考慮對教材內(nèi)容的有機(jī)整合，也要考慮學(xué)生的發(fā)展需求，教學(xué)過程就是在教師的引導(dǎo)下，不斷地將學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有的發(fā)展水平，向潛在的發(fā)展水平提升，是一種螺旋式發(fā)展的過程[2]. 筆者參加海門市初三復(fù)習(xí)課研討活動，并執(zhí)教了人教版初三復(fù)習(xí)課“三角形”，嘗試立足于學(xué)生發(fā)展需求，通過單元教學(xué)，整合初中數(shù)學(xué)有關(guān)三角形的知識（三角形的邊、角、勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形，以及全等三角形、相似三角形的關(guān)系），整體理解三角形相關(guān)知識，力爭取得較好的教學(xué)效果.

教學(xué)流程及設(shè)計(jì)意圖

1. 通過運(yùn)算，弄清基礎(chǔ)知識

師：今天我們研究的“對象”是三角形，它有哪些基本元素？

生：線段、角，其中三角形中的線段包括三角形的邊及三條重要線段：中線、角平分線、高線.

今天我們就從三角形的邊、角出發(fā)，逐漸增加其條件，豐富其情節(jié)，復(fù)習(xí)與三角形有關(guān)的知識.

活動一：算一算

問題：如圖1，在△ABC中，∠A=70°，你能求出∠B的度數(shù)嗎？若不能的話，你能添加一個(gè)條件，求出∠B的度數(shù)嗎？你有哪些不同的方法？

[圖1]

生1：只給出一個(gè)條件∠A=70°，只能得到∠B+∠C=110°，而不能得出∠B的度數(shù).

生2：增加一個(gè)條件，如“∠C的度數(shù)為60°”，利用三角形的內(nèi)角和得∠B=180°-70°-60°=50°;或者增加“∠C的外角=120°”這一條件，利用外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和來求出∠B的度數(shù).

生3：增加一個(gè)條件是∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系，如“∠C=3∠B”，由已知條件得∠B+∠C=110°，這樣得到關(guān)于∠B，∠C的方程組，從而求出∠B.

生4：增加一個(gè)條件是“△ABC為等腰三角形”，這樣要分情況討論：若∠A為頂角，則∠B=（180-70）÷2=55°;若∠A為底角時(shí)，∠B為底角的話，∠B=∠A=70°;∠B為頂角的話，則∠C為底角=70°，∠B=180-70-70=40°.

師追問：若∠A=100°呢？

生5：∠A為鈍角，只能作為等腰三角形的頂角，故只有一種情況，∠B=（180-100）÷2=40°.

生6：增加一個(gè)條件是“△ABC為直角三角形”，這樣也要分情況討論：∠B若為直角，則∠B=90°;若∠C為直角，則∠B=90-70°=20°.

設(shè)計(jì)意圖? 基于學(xué)生已有的基礎(chǔ)，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生，設(shè)置低起點(diǎn)的問題，以激發(fā)所有學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 通過以簡單問題為引導(dǎo)，設(shè)計(jì)開放型問題，學(xué)生獨(dú)立思考，個(gè)別回答，其余學(xué)生補(bǔ)充，教師適時(shí)追問等形式，讓學(xué)生弄清利用三角形的內(nèi)角和定理來解決一般三角形、等腰三角形、直角三角形中有關(guān)角的計(jì)算，總結(jié)出分類討論、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.

活動二：求一求

問題：如圖2，在△ABC中，AB=4，AC=3. BC邊的取值范圍為______;你能求出BC的長嗎？你能添加一個(gè)條件，求出BC的長度嗎？你有哪些不同的方法？

[圖2]

生7：求不出BC的長，但根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-3

生8：添加一個(gè)條件“∠A=90°”，則利用勾股定理得BC===5.

師追問：若條件改為△ABC為直角三角形呢？

生9：此時(shí)沒有明確哪個(gè)角是直角，所以要分類討論：當(dāng)∠A為直角時(shí)，BC=5;當(dāng)∠C為直角，則AB為斜邊，BC===;AC不是最大的邊，∠B不可能為直角，所以BC的長為5或.

生10：類比剛才老師的提問，可以添加一個(gè)條件“△ABC為等腰三角形”. 同樣要進(jìn)行分類討論：若AB，BC為腰，則BC=4;若AC，BC為腰，則BC=3，所以BC=4或BC=3.

師追問：若△ABC為等腰三角形，條件改為AB=4，AC=2呢？

生11：同樣要進(jìn)行分類討論：若AB，BC為腰，則BC=4;若AC，BC為腰，則出現(xiàn)AC+BC=2+2=4=AB，AB，AC，BC不能組成三角形，所以BC的值只能為4.

生12：添加一個(gè)條件“∠A=60°”. 作BH垂直AC于點(diǎn)H（如圖3），在Rt△ABH中，可得AH=2，BH=2，所以CH=AC-AH=3-2=1，在Rt△BCH中，利用勾股定理得BC===.

[圖3]

師追問：已知△ABC中，AB=4，AC=3.若添加的條件為∠B=30°，BC長度為多少呢？

生13：過點(diǎn)A作AH垂直于BC于點(diǎn)H（如圖4）， 在Rt△ABH中，可得AH=2，BH=2，在Rt△ACH中，利用勾股定理得CH===，所以BC=BH+CH=2+.

[圖4]

生14：還有一種情況，如圖5所示，此時(shí)BC=BH-CH=2-. 所以BC長為2+或2-.

[圖5]

設(shè)計(jì)意圖? 基于學(xué)生已有對三角形三邊關(guān)系、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)等知識的掌握，通過條件開放以激發(fā)所有學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 通過以開放型問題為引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立思考，若有困難可進(jìn)行小組交流討論，教師適時(shí)追問，變式等形式，讓學(xué)生弄清三角形中有關(guān)線段計(jì)算的常見類型，總結(jié)出通過作高，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的“化斜為直”的方法，以及三角形的高在形內(nèi)和形外的“分類討論”思想.

2. 變式引領(lǐng)，拓展關(guān)聯(lián)知識

活動三：變一變

在△ABC中，AB=4，AC=3.

（1） 如圖6，AD為高，且AD=，則BC=______.

[圖6]

變式1：若還是這個(gè)條件，沒有給你圖，你會求BC的長嗎？

變式2：你會求三角形ABC的面積嗎？

變式3：求出某些角的三角函數(shù)值.

（2）如圖7，AD為三角形的中線，則S ∶ S=______;AD的取值范圍為______.

[圖7]

變式1：如圖7，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)O，連接DE，在這個(gè)圖中你能得到哪些有關(guān)三角形以及邊、角的結(jié)論？

變式2：若△ODE的面積為1，你能求出圖中哪些三角形的面積？

（3）如圖8，AD為角平分線.

[圖8]

①點(diǎn)D到AC，AB的距離是什么數(shù)量關(guān)系？

②S ∶ S=______.

變式1：若S=4，則是S=______.

變式2：BD ∶ AD=______.

設(shè)計(jì)意圖? 基于學(xué)生對三角形中重要的三條線段：高、中線、角平分線的理解與掌握，通過合理的變式，串聯(lián)起初中階段與之相關(guān)的知識點(diǎn)，化零碎為整體. 第（1）題以三角形的高有關(guān)問題為引導(dǎo)，復(fù)習(xí)三角形的面積、勾股定理、三角函數(shù)等相應(yīng)知識，沒有明確高的位置，要分形內(nèi)和形外，提煉出“分類討論”的思想. 第（2）題以三角形的中線有關(guān)的開放型問題為引導(dǎo)，弄清中線的定義，倍長中線構(gòu)造全等三角形等常用方法. 通過變式1，復(fù)習(xí)三角形的中位線、相似、位似的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，可以得出如DE ∶ AB，BO ∶ OE，AO ∶ OD，S ∶ S， S ∶ S 等結(jié)果;通過變式2，可以得出各三角形面積與底之比、高之比的關(guān)系. 第（3）題以三角形的角平分線有關(guān)的問題為引導(dǎo)，利用角平分線的性質(zhì)，得出兩三角形高相等時(shí)，面積比等于底之比，變式2是在高相等時(shí)，底之比等于面積比.

3. 反思提升，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)

活動四：講一講

（1）體會本節(jié)課我們是以三角形的什么基本元素為基礎(chǔ)展開研究的？具體研究了三角形哪些內(nèi)容？

（2）通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你積累了哪些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法？

設(shè)計(jì)意圖? 通過反思總結(jié)，學(xué)生說出本節(jié)課所研究的內(nèi)容，師生共同搭建本節(jié)課的知識框架圖，使得初中階段與三角形有關(guān)的內(nèi)容通過單元教學(xué)，清晰地呈現(xiàn)在師生面前，由零碎的知識點(diǎn)到網(wǎng)狀的知識框架圖，完成“由點(diǎn)到網(wǎng)”的學(xué)習(xí)過程.

教后反思

本節(jié)初三復(fù)習(xí)課的教學(xué)，不是傳統(tǒng)的用大量題目來回顧、復(fù)習(xí)相應(yīng)的知識點(diǎn)，而是通過一個(gè)基本的三角形，知道某些角或邊的量，逐漸添加條件，通過變式、追問等形式，引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)知識進(jìn)行回顧、鞏固以及綜合運(yùn)用. 學(xué)生學(xué)力的生成、發(fā)展呈現(xiàn)出自主性、開放性、發(fā)展性、綜合性等特點(diǎn)[3]. 高效復(fù)習(xí)課應(yīng)從以下角度思考，從而提高學(xué)生的學(xué)力.

1. 基于學(xué)生發(fā)展需求

學(xué)生發(fā)展需求是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升自我能力的一種欲望. 這一欲望首先建立在已有知識的基礎(chǔ)上，教學(xué)時(shí)要基于學(xué)生已有的知識，低起點(diǎn)，緩坡度，螺旋式逐步漸進(jìn)提升，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思考問題的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維方法和能力.

2. 精選例題，變式引領(lǐng)

初三的復(fù)習(xí)課，不同于普通章節(jié)的復(fù)習(xí)課，涉及的知識點(diǎn)多、雜，不能靠大量的題目來復(fù)習(xí)相應(yīng)的知識點(diǎn)，例題的精選顯得尤為重要. 以例題為起點(diǎn)，帶動本節(jié)課的基礎(chǔ)知識點(diǎn)，通過條件開放、變式引領(lǐng)，讓學(xué)生有更多考慮問題的角度，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，復(fù)習(xí)步步深入，達(dá)成本節(jié)課的復(fù)習(xí)目標(biāo).

3. 構(gòu)建單元教學(xué)框架圖

初三復(fù)習(xí)課通過知識框架圖將相應(yīng)的知識網(wǎng)狀化、系統(tǒng)化，讓學(xué)生對該單元知識的認(rèn)識更深入、深刻，感知各個(gè)知識點(diǎn)不是零散的、孤立的，而是相互有聯(lián)系的，讓學(xué)生從整體視角下理解各知識點(diǎn)，有利于對知識的記憶，提高自身的數(shù)學(xué)能力.

總之，在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，一定要基于學(xué)生的發(fā)展需求，以學(xué)生為教學(xué)主體，精心設(shè)計(jì)例題，強(qiáng)化知識結(jié)構(gòu)，在教師的引導(dǎo)下，最大限度地提高復(fù)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2012.

[2]李庾南. 自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

[3]李庾南，陳育斌. 中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例[M]. 北京：人民教育出版社，2007.