錢旭東

[摘? 要] “折紙與證明”是蘇科版數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，這一活動(dòng)給學(xué)生提供了探索的空間. 對(duì)教材進(jìn)行深入挖掘的基礎(chǔ)上，筆者改進(jìn)和豐富了課本上的探究活動(dòng)，使數(shù)學(xué)活動(dòng)針對(duì)性更強(qiáng)，更容易展開，也更能激發(fā)學(xué)生興趣，從而為學(xué)生搭建了一個(gè)探索的平臺(tái). 在探索中，師生一起經(jīng)歷了觀察——測(cè)量——猜測(cè)——說理的過程，培養(yǎng)了能力，提升了素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 折紙;證明;平行四邊形;數(shù)學(xué)活動(dòng)

背景

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)探索活動(dòng)課，在課時(shí)安排上是位于蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第9章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”全章的最后一節(jié)課.

筆者在本章內(nèi)容的最后安排這樣一節(jié)探索活動(dòng)課，主要是基于以下兩點(diǎn)考慮：一是通過學(xué)生的探索活動(dòng)能讓本章的主要知識(shí)在運(yùn)用中得到復(fù)習(xí)鞏固;二是通過學(xué)生的動(dòng)手操作，培養(yǎng)他們的探索精神，并在探索的過程中體會(huì)到探索的樂趣.

本節(jié)課由于準(zhǔn)備充分，課堂效果良好，學(xué)生探索氣氛濃厚，興趣盎然，達(dá)到了預(yù)期的目的.

教材及學(xué)情分析

在蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第9章“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”中，每節(jié)的開始部分都為學(xué)生安排了“操作”“討論”“思考”等環(huán)節(jié)，而在“操作”環(huán)節(jié)中又多以圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折和平移為主，這是“做中學(xué)”的教育理念在教材中的生動(dòng)體現(xiàn). 同時(shí)，這也在無形中培養(yǎng)了學(xué)生積極動(dòng)手、努力探索的良好學(xué)習(xí)品質(zhì)，為本節(jié)數(shù)學(xué)探索活動(dòng)課打下了非常好的基礎(chǔ). 有了這樣的教材安排和學(xué)生的活動(dòng)基礎(chǔ)，當(dāng)學(xué)生在課堂上折疊矩形紙片時(shí)，他們有興趣而不陌生，有挑戰(zhàn)而不畏難.

在上本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了本章的基本知識(shí)，學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，有了矩形、菱形和正方形的相關(guān)知識(shí)，也學(xué)習(xí)了三角形的中位線知識(shí)，這些知識(shí)的學(xué)習(xí)為學(xué)生繼續(xù)深入探索矩形紙片的折疊提供了必要的知識(shí)儲(chǔ)備. 此外，學(xué)生由于有了前面每節(jié)學(xué)習(xí)中圖形翻折的經(jīng)歷，在心里也會(huì)對(duì)“圖形的翻折還會(huì)出現(xiàn)什么規(guī)律和性質(zhì)”出現(xiàn)隱性的心理期待，有繼續(xù)探索下去的愿望. 這時(shí)，教師應(yīng)該做的就是努力為學(xué)生搭建繼續(xù)探索的平臺(tái).

本節(jié)課的內(nèi)容在教材中并沒有安排，但是新的課程理念認(rèn)為，教師在教學(xué)中應(yīng)該是用教材教而不是教教材，對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性處理的能力應(yīng)該是現(xiàn)代教師的必備素質(zhì). 在實(shí)際的教學(xué)過程中，我們應(yīng)該認(rèn)真鉆研教材，充分使用教材，但絕不能因?yàn)橹粷M足于教教材，囿于教材，機(jī)械套用而失去教師的創(chuàng)造性.

教學(xué)過程實(shí)錄

1. 探索一

師：現(xiàn)在大家手上都有一張矩形紙片，請(qǐng)你折疊一次，將紙片折疊為兩塊面積相等的圖形. 大家試試看.

學(xué)生動(dòng)手折紙，教師來回觀察學(xué)生的操作情況.

生1：我這樣把紙片對(duì)折（如圖1）.

[圖1]

生2受生1啟發(fā)，立即說：那我也可以這樣疊（如圖2）.

[圖2]

師：大家說，這兩位同學(xué)疊的對(duì)嗎？

大家齊聲回答：對(duì).

師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，這兩位同學(xué)的折法說明矩形是一個(gè)什么樣的圖形？

短暫的沉默后，有學(xué)生小聲說：軸對(duì)稱圖形.

師：對(duì)，這位同學(xué)的回答非常正確！大家還有什么疊法？

很多同學(xué)舉手，爭(zhēng)著發(fā)言.

生3：折成圖3.

[圖3]

生4：折成圖4.

[圖4]

師：大家觀察前面這幾種折法，它們的折痕有什么共同特點(diǎn)嗎？

生5：矩形是中心對(duì)稱圖形，這些折痕都經(jīng)過矩形的對(duì)稱中心.

師：非常棒！大家還有什么疊法嗎？

學(xué)生受到啟發(fā)，折疊方式越來越多. 教師在大屏幕上顯示幾種典型的疊法（圖5、圖6）.

[圖6]

師：同學(xué)們都是折紙高手??！有這么多的折法.

評(píng)注? 探索的起點(diǎn)低，學(xué)生容易入手，不同的學(xué)生都可以探索出不同難度的折疊方法. 學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中，切實(shí)感受矩形軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì). 同時(shí)，在探索的起始階段安排難度較小的探索，對(duì)激發(fā)學(xué)生的自信心和維持探索的興趣都有好處. 這也為后面繼續(xù)探索打下了基礎(chǔ).

2. 探索二

師：請(qǐng)大家觀察圖5，除了折疊出的兩塊面積相等之外，圖形中還有哪些相等的關(guān)系.

生6：AB=C′D′，BF=D′E.

生7：AG=C′G.

師：很好，兩位同學(xué)找的是線段之間的關(guān)系. 還有嗎？

生8：∠GFE=∠GEF.

生9：GF=GE. 因?yàn)樯蠄D中由折疊知道∠CFE=∠GFE，而∠CFE=∠AEF，所以GF=GE.

師：非常好！類似的，在圖3和圖4中是否也存在BG=DG和AE=AF？

學(xué)生齊答：存在.

師：請(qǐng)大家觀察圖3，在圖中除了BG=DG外還有哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？

生9：我覺得△ABG和△C′DG全等.

師：能說明理由嗎？

生9：我由前面同學(xué)的回答可以知道BG=DG，又在矩形中AB=CD=C′D，且∠A=∠C′=90°，所以△ABG≌△C′DG.

師：說得非常好！現(xiàn)在如果我把紙片折疊成圖7的形狀，是否也有GF=GE.

[圖7]

學(xué)生短暫思考后，一起回答：GF還是等于GE.

師：好，請(qǐng)大家用我們探索出的結(jié)論解決這樣的問題：如果在圖3中，矩形一邊AD=8，另一邊AB=6，求AG的長度.

題目有難度，學(xué)生思考中.

師：請(qǐng)問AG與BG的和是多少？

生齊答：就是AD長，為8.

師：如何把AB=6這個(gè)條件用上？線段AB，AG和BG之間有什么關(guān)系嗎？

生齊答：滿足勾股定理?。ń獯鹇裕?/p>

師：作為練習(xí)，大家試著解決這樣的問題：在圖4中，矩形一邊AD=8，另一邊AB=6，求BE的長度. （解答略）

評(píng)注? 探索的內(nèi)容由圖形的形狀重合關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形中包含的線段、角之間的數(shù)量關(guān)系，探索更加深入. 在探索中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷了從特殊到一般的探索過程，體會(huì)到探索過程中包含的數(shù)學(xué)知識(shí)，如和平行線有關(guān)的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理、矩形的性質(zhì)等等. 教師不僅給學(xué)生搭建了探索的平臺(tái)， 還努力搭建讓學(xué)生運(yùn)用探索出的結(jié)論去解決問題的平臺(tái). 這種在操作中探索，在探索中運(yùn)用的做法，蘊(yùn)涵了“做中學(xué)”的教育理念.

3. 探索三

師：請(qǐng)同學(xué)們將手中的矩形紙片按照下面圖8到圖10的步驟折疊.

師：從圖8到圖10，經(jīng)過了兩次折疊. 請(qǐng)同學(xué)們?cè)趧?dòng)手折疊時(shí)注意體會(huì)折疊過程中圖形位置與數(shù)量關(guān)系的變化.

師：在圖9中，△AEB′是什么三角形？

生齊答：是等腰直角三角形.

師：請(qǐng)觀察圖10，其中有幾個(gè)等腰直角三角形？

生10：我看有三個(gè)，它們是△A′B′E，△A′DF，△CEF.

師：能解釋一下嗎？（解釋略）

師：如果矩形ABCD的一邊AB=6，另一邊AD=10，請(qǐng)求出△CEF的面積.

生11：由折疊可知，CE=4，而△CEF是等腰直角三角形，所以其面積為8.

師：△A′DF的面積可以求嗎？

生12：和求△CEF的面積類似，可以求出△A′DF的面積是2.

評(píng)注? 探索紙片的折疊由一次折疊到多次折疊，探索的難度更大，對(duì)學(xué)生也提出了更大的挑戰(zhàn)，可以看出探索在難度上是循序漸進(jìn)的. 而同樣是多次折疊，前面一個(gè)探索比后面的探索難度要小，也更容易入手去完成，在同類型的探索中，其難度也是有梯度的. 在探索中，學(xué)生和教師一起經(jīng)歷了觀察——測(cè)量——猜測(cè)——說理的過程. 學(xué)生的探索不是一帆風(fēng)順的，在學(xué)生遇到困難時(shí)，教師并沒有直接拋出結(jié)論，而是啟發(fā)學(xué)生將多次折疊轉(zhuǎn)化為一次折疊，在探索中滲透了化歸思想，培養(yǎng)了能力，提升了素養(yǎng).

4. 課后探索（作業(yè)）

師：本節(jié)課我們一起對(duì)矩形紙片的折疊進(jìn)行了比較深入的探索，用我們學(xué)習(xí)的知識(shí)解決了許多問題. 其實(shí)在矩形紙片中還包含了很多的數(shù)學(xué)奧秘，這些奧秘會(huì)在我們以后的學(xué)習(xí)中不斷去發(fā)現(xiàn). 課后，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探索下面的幾個(gè)問題.

問題1：如圖14，將矩形ABCD中D點(diǎn)折疊至BC上的F點(diǎn)處，折痕經(jīng)過點(diǎn)A. 請(qǐng)問除直角外，圖中還有哪些相等的角？有哪些邊是相等的？如果AB=8，AD=10，求DE的長.

[圖11]

問題2：如圖12，將一細(xì)長的矩形紙條打結(jié)后拉直壓平，請(qǐng)觀察、測(cè)量后進(jìn)行猜測(cè)，線段AB，BC，CD，DE，EA是否都是相等的？結(jié)合你折疊的紙片說明理由. 此外，在圖12中你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？寫出你的發(fā)現(xiàn)，和同學(xué)交流一下.

[圖12]

評(píng)注? 這樣的探索型作業(yè)使得學(xué)生的探索活動(dòng)由課內(nèi)延伸到了課外. 兩道探索題在難度上有梯度. 同時(shí)對(duì)每一題而言，不同的學(xué)生通過探索都會(huì)有不同的收獲，得出自己的結(jié)論. 這和課堂上的探索題遙相呼應(yīng)，是整個(gè)探索活動(dòng)的有機(jī)組成部分，給人一種知識(shí)無窮，探索不止的思考韻味.

教學(xué)反思

蘇科版教材中，很多章節(jié)中都安排了“讀一讀”“閱讀”和“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等內(nèi)容，這些內(nèi)容的安排一方面豐富了教材的文化內(nèi)涵，開闊了學(xué)生的視野，另一方面也為教師創(chuàng)造性使用教材提供了廣闊的空間. “折紙與證明”是蘇科版數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，這一活動(dòng)給學(xué)生提供了探索的空間. 在對(duì)教材進(jìn)行深入挖掘的基礎(chǔ)上，筆者改進(jìn)和豐富了課本上的探究活動(dòng)，使數(shù)學(xué)活動(dòng)針對(duì)性更強(qiáng)，更容易展開，也更能激發(fā)學(xué)生興趣，從而為學(xué)生搭建了一個(gè)探索的平臺(tái).

在整個(gè)課堂上，學(xué)生探索興趣濃厚，動(dòng)手能力強(qiáng)，參與程度高. 從本節(jié)課可以看出學(xué)生有探索的能力，也有探索的欲望. 而反思以前的教學(xué)，我們對(duì)學(xué)生是真正了解了嗎？我們有多少教學(xué)是從學(xué)生的需要出發(fā)的？在組織教學(xué)時(shí)，我們給學(xué)生探索的空間了嗎？這些問題都值得教師去思考.

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，學(xué)生的想法很多，而筆者僅僅從教學(xué)進(jìn)度考慮沒有充分展示學(xué)生的想法，使得有些探索不夠深入. 而當(dāng)難度加大的時(shí)候，也沒有留給學(xué)生充分的時(shí)間去探索，而是忙于啟發(fā)，擔(dān)心學(xué)生的探索能力，怕探索時(shí)間長會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度. 認(rèn)真反思會(huì)發(fā)現(xiàn)，課堂上教師經(jīng)常會(huì)為了自己的教學(xué)時(shí)間、內(nèi)容等方面去控制學(xué)生的活動(dòng)，不管效果如何，這都是教師為自己考慮，而不是發(fā)自內(nèi)心從學(xué)生的發(fā)展考慮. 這種教師頭腦中內(nèi)隱的觀念對(duì)學(xué)生的發(fā)展和對(duì)自身的提高都不利，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中多反思，不斷更新自己的觀念.

從課前的準(zhǔn)備到課堂的教學(xué)實(shí)施，從教材的鉆研到學(xué)生學(xué)習(xí)情況的把握，一路反思，感受很多. 教師在備課鉆研教材時(shí)，不僅要研究本節(jié)課的內(nèi)容，更要對(duì)教材中的整章內(nèi)容有全局的認(rèn)識(shí)，要善于對(duì)教材進(jìn)行再加工，切實(shí)從學(xué)生的發(fā)展著想. 當(dāng)然，創(chuàng)造性地處理和使用教材對(duì)教師提出了更高的要求，教師的工作難度也會(huì)加大，但是教師在教學(xué)中創(chuàng)造性地處理和使用教材更符合學(xué)生的發(fā)展需求，也更符合教材編寫者的編寫意圖，同時(shí)這對(duì)教師自身的發(fā)展也有很大的好處.