沈磊
[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué),正面對著核心素養(yǎng)培育的需要,在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中,有包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六個要素,對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識,要明確從“方法”到“思想”的途徑,這樣能有效促成數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的落地,進(jìn)而促成整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 對于初中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)建模要想從方法上升為思想,關(guān)鍵在于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的問題解決性認(rèn)識,而這個促進(jìn)的載體,就是實(shí)際問題的解決,就是學(xué)生在實(shí)際問題解決過程中對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識.
[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;教學(xué)認(rèn)識;模型思想
教師對教學(xué)的認(rèn)識,往往建立在對具體教學(xué)思路、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法的基礎(chǔ)之上. 其中,教學(xué)思路往往由教學(xué)理念決定,而教學(xué)內(nèi)容則由課程標(biāo)準(zhǔn)與教材確定,至于教學(xué)方法,這看起來是一個絕大多數(shù)教師耳熟能詳?shù)母拍?,譬如對于初中?shù)學(xué)教學(xué)方法,教師脫口而出的往往就是數(shù)形結(jié)合、模型等,在實(shí)際教學(xué)中對教學(xué)方法的強(qiáng)調(diào),更多的側(cè)重于讓學(xué)生掌握建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的思路與解決問題(解答習(xí)題)的辦法. 相比較而言,很少有教師能夠真正從“思想”的角度,引導(dǎo)學(xué)生建立對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識.
當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué),正面對著核心素養(yǎng)培育的需要,在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中,有包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六個要素,筆者以為對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識,要明確從“方法”到“思想”的途徑,這樣才能有效促成數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的落地,進(jìn)而促成整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 下面就結(jié)合這一觀點(diǎn),談?wù)劰P者的一些不成熟的思考.
作為方法的數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)建模首先是作為方法存在的,需要認(rèn)識到的是,作為方法認(rèn)知的數(shù)學(xué)建模,對于初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說,已經(jīng)是一個重要的認(rèn)識上的進(jìn)步. 因?yàn)楦鶕?jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),相當(dāng)一部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)際上處于高度的無意識狀態(tài),教師講什么他就學(xué)什么,教師怎么講他就怎么聽. 這里固然與教師的教學(xué)導(dǎo)向有關(guān)系(沒有真正將學(xué)生放在主體地位),其實(shí)也與學(xué)生自身的學(xué)習(xí)認(rèn)識有關(guān)系. 筆者在教學(xué)中一直跟學(xué)生強(qiáng)調(diào),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一定要以“我”(指學(xué)生自己)為主,教師的講解、訓(xùn)練是“幫助”自己學(xué)習(xí)的. 而學(xué)生一旦形成這樣的認(rèn)識,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就更加容易形成方法意識,于是數(shù)學(xué)建模作為一種方法的掌握也就成為可能.
對于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識,通常是這樣的:數(shù)學(xué)建模是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的重要載體,是促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識發(fā)展的重要素養(yǎng). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,作為方法的數(shù)學(xué)建模教學(xué),可以是這樣的(以“一元二次方程解決實(shí)際問題”的教學(xué)為例):
給學(xué)生提供具有實(shí)際生活意味的素材,如筆者到生活中尋找到傳播類的題材給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了這樣的一個情境:某地某次爆發(fā)了急性傳染性流感,假如該流感傳染時每輪都以相同比例傳染,在其傳染了兩輪之后達(dá)到121人,那每輪傳染是傳染給多少人?(設(shè)最初是1個人患此流感)
對于這個問題的解決,學(xué)生首先需要讀懂問題的表述,弄清“傳播”過程,建立清晰的“傳染模型”. 實(shí)際教學(xué)中,作為方法的數(shù)學(xué)建模,筆者的引導(dǎo)是基于學(xué)生的分析過程而進(jìn)行的,具體包括:設(shè)未知數(shù),尋找等量關(guān)系,求解方程. 其中建立等量關(guān)系是最關(guān)鍵的,如果設(shè)每次傳播x個人,則在建立等量關(guān)系的時候,邏輯就是先判斷一輪傳染后有多少人患上流感(用x來表示),第二輪傳染后有多少人患上流感. 這兩個問題一解決,等量關(guān)系自然建立.
從數(shù)學(xué)建模方法掌握的角度來看,最關(guān)鍵的一步是反思上述問題解決的過程,通過思路的整理,讓學(xué)生明確本問題的解決,關(guān)鍵就在于一元二次方程思路下的等式建立. 學(xué)生一旦形成這個認(rèn)識,那就是方法性的認(rèn)識,也就從方法的角度對數(shù)學(xué)建模建立了理解.
作為思想的數(shù)學(xué)建模
從數(shù)學(xué)建模的方法誕生的角度來看,人們認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模的價值,就在于其在解決實(shí)際問題的時候所起的作用. 眾所周知,數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題,提出問題;分析問題,建立模型;確定參數(shù),計算求解;檢驗(yàn)結(jié)果,改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題. 當(dāng)然,對于初中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)建模的過程沒有這么復(fù)雜(譬如上面的例子就具有一定的代表性),但可以肯定的是,在學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)建模的方法之后,要幫學(xué)生形成一種思想性認(rèn)識,這樣能夠促使學(xué)生更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識,同時形成對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識. 有研究表明,建立數(shù)學(xué)模型思想能夠幫助學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)和外部世界之間的聯(lián)系,建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型、推廣已有的數(shù)學(xué)模型、演繹更多的數(shù)學(xué)模型其實(shí)都是包含在模型思想范疇內(nèi)的具體環(huán)節(jié),教師有意識、有計劃的訓(xùn)練能幫助學(xué)生獲得以一當(dāng)十的數(shù)學(xué)建模與演繹能力. 在實(shí)際教學(xué)中,筆者進(jìn)行了這樣的嘗試(仍以“一元二次方程解決實(shí)際問題”的教學(xué)為例):
問題情境的創(chuàng)設(shè):根據(jù)世界衛(wèi)生組織的界定,甲型流感是傳染性最強(qiáng)的疾病之一,假設(shè)某地1人患甲型流感之后,在兩天之內(nèi)就有可能傳染為9人,試判斷1周內(nèi)的傳染人數(shù);如果采取措施將傳染速度降至原來的一半,那一周后有多少人感染?
學(xué)生在分析第一個問題的時候,可以用上面例子中形成的認(rèn)識進(jìn)行遷移,困難相對不大,這里不再贅述. 對于第二個問題,學(xué)生很容易想到運(yùn)用相同的一元二次方程的模型來解決,但是這里更會讓學(xué)生形成的一個認(rèn)識是:一元二次方程不僅是數(shù)學(xué)課堂上用來解題、得分的工具,更是可以解決人們在生活中遇到的類似疾病傳播類問題的工具. 這就是數(shù)學(xué)知識的實(shí)用價值!
這樣一個問題的解決,看起來與上面的例子相同,但實(shí)際上這里的兩個問題各具價值:對于第一個問題而言,是利用學(xué)生已經(jīng)形成的對數(shù)學(xué)建模的方法認(rèn)識,去再次分析、解決問題,從而鞏固對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識;第二個問題其實(shí)非常關(guān)鍵,因?yàn)檫@是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法獨(dú)自解決實(shí)際問題的過程,這個過程中既要用到原來建立的模型,同時還會讓學(xué)生認(rèn)識到在類似疾病傳播類的問題中,建立科學(xué)的模型,并調(diào)整其中的參數(shù),是真真實(shí)實(shí)的可以治病救人、化解社會矛盾的舉措. 這種從生活走向數(shù)學(xué),又從數(shù)學(xué)走向社會的認(rèn)識過程中,數(shù)學(xué)模型起著不可替代的作用,其在強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識時,很容易在學(xué)生的心目中烙下深刻印象,從而使得學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識真正實(shí)現(xiàn)從方法到思想的轉(zhuǎn)變. 也因此筆者以為:對于初中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)建模要想從方法上升為思想,關(guān)鍵在于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的問題解決性認(rèn)識,而這個促進(jìn)的載體,就是實(shí)際問題的解決,就是學(xué)生在實(shí)際問題解決過程中對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識.
核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)建模
在理解了數(shù)學(xué)建模從方法向思想轉(zhuǎn)變的認(rèn)識之后,再從核心素養(yǎng)培育的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)建模,還可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模存在的價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對其在日常教學(xué)尤其是應(yīng)試形態(tài)下的理解.
實(shí)際教學(xué)中,由于應(yīng)試的需要,包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法,更多地被作為提升學(xué)生解題能力的工具,這顯然讓數(shù)學(xué)建模的價值大打折扣. 實(shí)際上分析學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中的心理活動,會發(fā)現(xiàn)在建模的時候,學(xué)生都能夠非常廣泛、充分地調(diào)動已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識,尤其是能夠發(fā)揮想象去猜想可能的模型(包括所用到的數(shù)學(xué)知識,但這個時候的數(shù)學(xué)知識常常是以模型的形態(tài)存在的),這種猜想、想象對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說,影響巨大. 著名科學(xué)家愛因斯坦有一句名言:想象力比知識更重要,因?yàn)橹R是有限的,而想象力包括世界的一切,推動著進(jìn)步,并且是知識的源泉. 從這個角度講,基于想象力、思維力(組成智力的核心要素)去促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,并在建模過程中形成建模能力,形成方法認(rèn)知,最終形成建模思想,就是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的重要思路.
由此思考數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地,筆者以為在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,核心素養(yǎng)的落地如果說需要尋找一個載體的話,那這個載體除了與具體的教學(xué)內(nèi)容相關(guān)之外,更與數(shù)學(xué)思想方法有關(guān). 而數(shù)學(xué)建模既是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素之一,同時也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng). 在數(shù)學(xué)建模的過程中,學(xué)生通過對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用,進(jìn)而建立起能夠解決數(shù)學(xué)問題、實(shí)際問題的模型,最終存在于學(xué)生大腦當(dāng)中的,除了這些數(shù)學(xué)知識,也包括數(shù)學(xué)建模之類的數(shù)學(xué)思想方法. 而且相比較而言,數(shù)學(xué)思想方法更容易實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)向其他學(xué)科、其他領(lǐng)域的遷移,這種能力的遷移恰恰是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力. 因此數(shù)學(xué)建模作為最重要的思想之一,幫學(xué)生形成從方法到思想的認(rèn)知,就是為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎(chǔ),其應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)取向.