沈慧

摘 要：發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，內(nèi)含學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)、直覺(jué)思維和自主反思。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是學(xué)生素養(yǎng)的培育路徑，發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的價(jià)值取向。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要搭建學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)平臺(tái)，遵循學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的規(guī)律，拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的可能，努力讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)處于發(fā)現(xiàn)狀態(tài)，從而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高峰體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)；發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)；展開(kāi)過(guò)程

當(dāng)下，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)容豐富，其中包括學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)弱化基于灌輸、記憶、再現(xiàn)等形式的“接受學(xué)習(xí)”，增強(qiáng)基于自主探究、理解和運(yùn)用的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中深刻地指出，“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理以前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你得先推測(cè)證明的思路”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生常?！安恢绬?wèn)題在哪里”，也“不知道能否解決”，更不知道“用什么方法去解決”。教師是培養(yǎng)學(xué)生“被動(dòng)式吸收”，還是“引爆”學(xué)生隱藏著的提出“哥德巴赫猜想”的潛質(zhì)？答案是顯然的。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)有意義的情境，讓學(xué)生明確所要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生的自主探究、合作，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”（創(chuàng)造）的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，切實(shí)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)。

一、發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)：發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的價(jià)值取向

所謂“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中以學(xué)生為主體，以學(xué)生“學(xué)”為中心，讓學(xué)生進(jìn)行自主探索、合作與交流的過(guò)程。學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程，需要經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)題材到數(shù)學(xué)問(wèn)題再到數(shù)學(xué)模型的過(guò)程；經(jīng)歷從動(dòng)作操作到表象操作再到符號(hào)操作的過(guò)程；經(jīng)歷從簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的過(guò)程。其間，學(xué)生或許還會(huì)碰到“山重水復(fù)疑無(wú)路”的束手無(wú)策的境況，甚至還會(huì)出現(xiàn)“病急亂投醫(yī)”的情形等，這些都是學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的現(xiàn)象可能。作為教師，要積極引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，培育學(xué)生的發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)。

1. 內(nèi)在動(dòng)機(jī)

學(xué)生的發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)包括學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，即學(xué)生的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)不是被動(dòng)的，而是積極、主動(dòng)的過(guò)程。學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)有內(nèi)在的動(dòng)機(jī)和外在的動(dòng)機(jī)。其中，內(nèi)在動(dòng)機(jī)也就是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料本身的興趣是數(shù)學(xué)教學(xué)的動(dòng)力之源。教學(xué)中，教師要運(yùn)用數(shù)學(xué)本身的魅力去激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心、求知欲，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的動(dòng)力引擎。比如教學(xué)《3的倍數(shù)的特征》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)），教師可以出示一張“百數(shù)表”，學(xué)生在上面圈出3的倍數(shù)的數(shù)，能夠發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的排列不同于2的倍數(shù)的數(shù)和5的倍數(shù)的數(shù)，2、5倍數(shù)的數(shù)都在同一列，而3的倍數(shù)的數(shù)卻位于斜線上。由此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，引發(fā)學(xué)生自主探究3的倍數(shù)的數(shù)的特征?？梢?jiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是啟動(dòng)、保持?jǐn)?shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的恒久動(dòng)力。

2. 直覺(jué)思維

學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)需要一種“敏感性精神”。所謂“敏感性精神”，是指“在一瞥之下看出整個(gè)事物來(lái)而不靠推理過(guò)程”（帕斯卡爾），這就是一種數(shù)學(xué)直覺(jué)思維，是一種未經(jīng)分析、沒(méi)有清晰步驟，而對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的頓悟，是一種靈感。直覺(jué)思維依賴于數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)類比、數(shù)學(xué)聯(lián)想等非邏輯、非推理性的數(shù)學(xué)直感。比如教學(xué)“9加幾”（蘇教版數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)），教師可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：盒子里面有9個(gè)蘋果，盒子外面有4個(gè)蘋果，一共有幾個(gè)蘋果？有孩子能夠不假思索地認(rèn)為，將盒子外面移動(dòng)1個(gè)蘋果到盒子里面，盒子里面湊成10個(gè)。同樣，教學(xué)“8加幾”，學(xué)生能根據(jù)直覺(jué)思維，看到8個(gè)，要移動(dòng)2個(gè)；同樣的，看到7個(gè)，要移動(dòng)3個(gè)，等等。這種直覺(jué)思維蘊(yùn)含著湊十法的數(shù)學(xué)思想底子，是學(xué)生基于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，受到情境啟發(fā)而自然誕生的一種數(shù)學(xué)直感。

3. 自主反思

如果說(shuō)內(nèi)在動(dòng)機(jī)著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前期狀態(tài)，直覺(jué)思維著眼于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中期狀態(tài)，那么自主反思就是著眼于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的后期狀態(tài)。這是一種對(duì)過(guò)往實(shí)踐或者心理活動(dòng)的省察，是一種“自知的智力”，有時(shí)候往往能夠促進(jìn)學(xué)生的靈感生發(fā)，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。比如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的《認(rèn)識(shí)面積》，學(xué)生的反思就可以催生學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。如“不能直接比較兩個(gè)圖形的大小，怎么辦？”“不同的圖形，怎樣才能讓測(cè)量出來(lái)的面積具有可比性？”“怎樣建立標(biāo)準(zhǔn)的面積單位？”等等。正是在不斷地自主反思、自主追問(wèn)中，揭示出誕生面積單位、統(tǒng)一面積單位、標(biāo)準(zhǔn)化面積單位的必要性。這樣的自主反思，催生著學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。在自主反思中，學(xué)生才真正地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)，成為一名真正的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)者。

發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)是學(xué)生在生命成長(zhǎng)過(guò)程中逐步發(fā)展起來(lái)并作用于學(xué)生成長(zhǎng)過(guò)程的重要素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要凝練發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，開(kāi)放發(fā)現(xiàn)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生深入地發(fā)現(xiàn)。“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”要以學(xué)生為中心，精心設(shè)計(jì)學(xué)程，讓數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生思維生長(zhǎng)的樂(lè)園和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的場(chǎng)所，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)。

二、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)：發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)的培育路徑

學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)并不是與生俱來(lái)的，而是在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中生成的。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)，需要讓學(xué)生帶著經(jīng)驗(yàn)、思維和想象進(jìn)入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。學(xué)生在好奇心和求知欲的驅(qū)動(dòng)下，能夠進(jìn)行自主發(fā)現(xiàn)、探究，并且獲得數(shù)學(xué)化的思想方法。學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)必須遵循學(xué)生發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的心理規(guī)律，有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地進(jìn)行。

1. 搭建發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的平臺(tái)

實(shí)施“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”，需要教師搭建學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的平臺(tái)。為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，教師應(yīng)該把脈學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的心理起點(diǎn)；應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，點(diǎn)亮學(xué)生發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)眼光；應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的沃土。比如教學(xué)《長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)》（蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)），教師可以設(shè)置任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。任務(wù)一：切一切。（友情提醒：先沿著豎直方向切一刀，你發(fā)現(xiàn)了什么？再換個(gè)方向切一刀，你又發(fā)現(xiàn)了什么？然后再換個(gè)方向切一刀，你還發(fā)現(xiàn)了什么？）任務(wù)二：看一看，摸一摸，你發(fā)現(xiàn)了什么？任務(wù)三：搭一搭。你一共用了多少根小棒？這些小棒的長(zhǎng)度有怎樣的特點(diǎn)？通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，給學(xué)生搭建了一個(gè)在自主發(fā)現(xiàn)的時(shí)空。在這個(gè)時(shí)空下，學(xué)生自然建構(gòu)出“面”“棱”“頂點(diǎn)”的概念，建構(gòu)出“面”“棱”“頂點(diǎn)”的特征，等等。在這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中，有爭(zhēng)辯、有質(zhì)疑、有挑戰(zhàn)等，這些都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)現(xiàn)的重要組成部分，是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)生成、發(fā)展的根基。

2. 遵循發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的規(guī)律

學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不是直接接受數(shù)學(xué)的結(jié)果，而是必須經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程離不開(kāi)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的心理規(guī)律，也離不開(kāi)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般流程。因此，在學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師要從學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的一般步驟，設(shè)計(jì)出靈動(dòng)、自然、深入的發(fā)現(xiàn)路徑，開(kāi)啟、引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。比如教學(xué)《簡(jiǎn)易方程》（蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)），教師可以通過(guò)天平的平衡與不平衡狀態(tài)，天平托盤里有無(wú)物品，得到多個(gè)式子：x+50>100，x+50=150，50+50=100，50+100>120等。由于數(shù)學(xué)材料的結(jié)構(gòu)性，能夠催生學(xué)生對(duì)這些式子進(jìn)行分類，有的按照有無(wú)未知數(shù)進(jìn)行分類，有的按照是否是等式進(jìn)行分類，如此，形成四類式子：沒(méi)有未知數(shù)的等式；含有未知數(shù)的等式；沒(méi)有未知數(shù)的不等式；含有未知數(shù)的不等式。由此自然揭示方程的本質(zhì)——“含有未知數(shù)的等式”。學(xué)生經(jīng)歷了“觀察—分類—?dú)w納”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，能夠感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

3. 拓展發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的可能

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的目的是運(yùn)用，同時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)用也能產(chǎn)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、創(chuàng)造性地遷移已有的數(shù)學(xué)思考、探究方法，尤其是要突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維定式，不斷拓展學(xué)生數(shù)學(xué)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的可能。只有拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的可能，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中舉一反三、觸類旁通。比如教學(xué)《解決問(wèn)題的策略一一列舉》（蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)），有這樣的一道習(xí)題：同學(xué)們玩套圈游戲，套中紅瓶得8分，套中藍(lán)瓶得5分，套中黃瓶得2分。小龍?zhí)字袃纱?，可能得多少分？（列舉出所有可能的答案）筆者在教學(xué)中，對(duì)之進(jìn)行合理變式，層層深入。

問(wèn)題1：小龍投中一次，可能得多少分？

問(wèn)題2：小龍投了一次，可能得多少分？

問(wèn)題3：小龍投中兩次，可能得多少分？

問(wèn)題4：小龍投了兩次，可能得多少分？

由此，不僅喚醒了學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生理解了“一一列舉”“有序列舉”“分類列舉”的策略，而且讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“投中”與“投了”的區(qū)別。在問(wèn)題鏈的導(dǎo)引下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步走向深刻、靈活。數(shù)學(xué)的變式運(yùn)用，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維含量。

諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者謝爾登·格拉肖在回答“培養(yǎng)一個(gè)杰出的科學(xué)人才的關(guān)鍵是什么”這個(gè)問(wèn)題時(shí)說(shuō)：“我認(rèn)為關(guān)鍵在于讓年輕人停止當(dāng)學(xué)生，使他們開(kāi)始成為物理學(xué)研究者?！卑l(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，一方面沿著數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的生發(fā)歷程，另一方面按照學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律展開(kāi)教學(xué)，努力讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)處于發(fā)現(xiàn)狀態(tài)。教師要搭建學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的平臺(tái)，遵循發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的規(guī)律，拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的可能，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高峰體驗(yàn)。