徐文文

摘 要：表達(dá)素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的重要組成部分，是數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的外顯標(biāo)識(shí)。數(shù)學(xué)表達(dá)的實(shí)踐樣態(tài)有直觀動(dòng)作、具體形象和抽象符號(hào)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，動(dòng)作、形象和符號(hào)，是形成學(xué)生表達(dá)素養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)路徑。數(shù)學(xué)表達(dá)能夠增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)技能，內(nèi)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想，改善學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生態(tài)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)；表達(dá)素養(yǎng)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”，是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵是十分豐富的，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是如何展現(xiàn)的？其核心素養(yǎng)的外化表現(xiàn)是什么？筆者認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)力是一個(gè)重要的表征。數(shù)學(xué)表達(dá)能夠增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，內(nèi)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生態(tài)。

一、數(shù)學(xué)表達(dá)：核心素養(yǎng)外顯的樣態(tài)標(biāo)識(shí)

語言是思維的外顯形式和載體，它是簡(jiǎn)化、壓縮了的數(shù)學(xué)思維。借助語言，學(xué)生不僅能夠進(jìn)行表達(dá)，而且能夠進(jìn)行交往。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的表達(dá)是豐富的，比如學(xué)生可以借助動(dòng)作進(jìn)行表達(dá)，可以借助圖形進(jìn)行表達(dá)，可以借助符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)表達(dá)，跟進(jìn)學(xué)生表達(dá)。通過表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的發(fā)展。

1. 直觀動(dòng)作樣態(tài)的表達(dá)

在數(shù)學(xué)表達(dá)中，學(xué)生的直觀動(dòng)作表達(dá)是常見的，尤其是低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更是如此。所謂“直觀動(dòng)作”，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中用一定的身體動(dòng)作（包括比畫、演示、操作等）來表達(dá)并傳遞某種信息。直觀動(dòng)作樣態(tài)的表達(dá)具有直觀性、互感性、釋義性和情趣性。通過直觀動(dòng)作樣態(tài)的表達(dá)，學(xué)生能將數(shù)學(xué)知識(shí)中最隱蔽、深刻的內(nèi)涵彰顯、敞亮出來。比如學(xué)習(xí)“認(rèn)知周長(zhǎng)”時(shí)，學(xué)生對(duì)“邊線”的比畫；學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”時(shí)，學(xué)生對(duì)“平面大小”的比畫；學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)，學(xué)生對(duì)“厘米”長(zhǎng)度表象的比畫；行程問題中，學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)方式、時(shí)間等的表演等。直觀動(dòng)作樣態(tài)的表達(dá)能構(gòu)筑立體化、多元化、情趣化的對(duì)話空間，促使學(xué)生數(shù)學(xué)理解走向深入、深刻。

2﹒ 具體形象樣態(tài)的表達(dá)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其思維由具體形象向抽象邏輯過渡，離不開形象的支撐。所謂“具體形象”，主要就是借助具體圖形（包括實(shí)物圖、示意圖、線段圖、集合圖等）進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過圖形樣態(tài)的表達(dá)，學(xué)生能將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，將自我的思維可視化。比如“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”中“單位‘1的量和單位‘1，比較量和分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，就必須借助直觀的線段圖才能讓學(xué)生獲得理解。再比如“乘法分配律”，可以借助長(zhǎng)方形的面積圖來進(jìn)行詮釋。通過形象樣態(tài)的表達(dá)，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題、看不見的思維過程及方法清晰地呈現(xiàn)出來。

3﹒ 邏輯符號(hào)樣態(tài)的表達(dá)

數(shù)學(xué)家第爾曼曾說過：“數(shù)學(xué)是語言的語言，通過數(shù)學(xué)，自然界在論述；通過數(shù)學(xué)，世界的創(chuàng)造者在表達(dá)；通過數(shù)學(xué)，世界的保護(hù)者在講演?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生借助數(shù)學(xué)邏輯樣態(tài)的符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，能夠發(fā)展學(xué)生的符號(hào)化思維能力。數(shù)學(xué)符號(hào)具有抽象性、概括性、簡(jiǎn)約性、包攝性等特質(zhì)。比如“間隔排列”問題，當(dāng)學(xué)生在擺學(xué)具、畫圖之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括，用抽象的符號(hào)表征中間物體和兩端物體之間的關(guān)系；又比如概括正反比例關(guān)系式xy=k（一定）和y÷x=k（一定），用數(shù)對(duì)（x，y）確定位置等。這些邏輯符號(hào)樣態(tài)的表達(dá)，能夠催生學(xué)生的符號(hào)想象，激發(fā)學(xué)生的符號(hào)思維，進(jìn)而豐厚學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。

二、數(shù)學(xué)表達(dá)：核心素養(yǎng)培育的路徑觀照

學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸漸、序列化的系統(tǒng)過程。在學(xué)生運(yùn)用語言對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行表達(dá)的過程中，教師要加強(qiáng)指導(dǎo)。提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的過程，也就是培育學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的過程。聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，從而通過數(shù)學(xué)表達(dá)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”發(fā)展落地生根、開花結(jié)果。

1. 動(dòng)作表達(dá)：在直觀中發(fā)展核心素養(yǎng)

動(dòng)作表達(dá)，主要是學(xué)生借助操作、實(shí)驗(yàn)、手勢(shì)等對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行表征。動(dòng)作表達(dá)，一方面能讓學(xué)生內(nèi)隱的思維外化出來；另一方面，有助于增進(jìn)同伴的理解。通過動(dòng)作表達(dá)，積累學(xué)生感性經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生直觀想象力。在這個(gè)過程中，教師要注重融通學(xué)生的思維和想象，打通學(xué)生感性與理性的通道。

例如：教學(xué)《千克和克》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)），部分學(xué)生對(duì)千克這樣的一個(gè)質(zhì)量概念的認(rèn)知容易受到體積概念、密度概念的影響，如他們總是認(rèn)為1千克鐵比1千克棉花重?；诖耍P者在教學(xué)中讓學(xué)生從家中帶來了鐵和棉花，用天平進(jìn)行直觀演示，讓學(xué)生直觀感知相同質(zhì)量的棉花和鐵，體積不一樣，但天平能夠保持平衡。這樣的教學(xué)，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。再如：教學(xué)《相遇問題》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)），學(xué)生用兩只手，手心對(duì)手心，表示相向而行；用手背對(duì)手背，表示相背而行。而無論是相向而行還是相背而行，其數(shù)學(xué)本質(zhì)都屬于“相遇問題”。又如：教學(xué)《年、月、日》，對(duì)于平年和閏年的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生借助拳頭，凸起的地方是大月，凹下的地方是小月，這樣有助于學(xué)生記憶。動(dòng)作表達(dá)，讓學(xué)生在直觀中理解數(shù)學(xué)，積累學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)。

作為一種無聲的語言，直觀化的動(dòng)作豐富而靈動(dòng)、微妙而富有趣味，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單。有時(shí)候，學(xué)生的動(dòng)作猶如一個(gè)信息發(fā)射塔，能夠讓知識(shí)的內(nèi)涵、意蘊(yùn)在悄然間得以心領(lǐng)神會(huì)。借助動(dòng)作，能夠?yàn)閷W(xué)生打開一扇理解數(shù)學(xué)的窗戶，讓數(shù)學(xué)課堂的有聲語言和無聲語言相得益彰。

2﹒ 圖形表達(dá)：在形象中發(fā)展核心素養(yǎng)

圖形表達(dá)是一種感性化的表達(dá)，具有形象性、易理解性特質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的圖形主要包括“示意圖”“流程圖”“統(tǒng)計(jì)圖”“網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖”或“思維導(dǎo)圖”等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以根據(jù)實(shí)際情況，選取合適的圖形，用以進(jìn)行形象化的表達(dá)。實(shí)踐證明，圖形表達(dá)能夠化抽象為直觀。將抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題（包括算理、推理、題意、意義等）直觀、形象地畫出來，能助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激活學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造。

例如：教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)），教師可以借助長(zhǎng)方形圖，引導(dǎo)學(xué)生理解算理。如×，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先把一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”，平均分成5份，表示這樣的3份，涂色表示出來；然后將這3份作為一個(gè)整體，看作單位“1”，換個(gè)方向平均分成5份，表示其中的2份，涂上雙陰影。這樣，就相當(dāng)于將整個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”，平均分成25份，表示這樣的6份。借助這樣的長(zhǎng)方形圖，學(xué)生能夠深刻地理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”。這樣的可視化教學(xué)，讓抽象的算理變得形象，讓枯燥的法則變得生動(dòng)。學(xué)生不僅理解了數(shù)學(xué)知識(shí)，更增進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的親近感，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得事半功倍。

數(shù)學(xué)家拉格朗日說：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美?！笨梢暬瘓D形是教師了解學(xué)生思維水平、方向和動(dòng)態(tài)，表征抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的最好的載體。通過形象化的圖形，數(shù)學(xué)的抽象知識(shí)看得見、摸得著，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠獲得可視化支撐。

3﹒ 符號(hào)表達(dá)：在抽象中發(fā)展核心素養(yǎng)

相較于直觀動(dòng)作表達(dá)和具體形象表達(dá)，數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)更具有數(shù)學(xué)的規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性。符號(hào)既是一種數(shù)學(xué)語言，也是一種數(shù)學(xué)工具，更是一種數(shù)學(xué)方法。符號(hào)的經(jīng)歷、體驗(yàn)、運(yùn)用等應(yīng)該貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。如果說，動(dòng)作是在直觀中、圖形是在形象中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，那么，符號(hào)表達(dá)就是在抽象、推理中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

例如：教學(xué)《數(shù)的奇偶數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)），對(duì)于“奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”等如何證明呢？有學(xué)生用舉例（假設(shè)）的方法來進(jìn)行判斷，但始終不能認(rèn)識(shí)到這樣運(yùn)用的數(shù)學(xué)本質(zhì)?；诖?，筆者在教學(xué)中運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知向縱深推進(jìn)。如“（2n+1）+（2n+1）=4n+2”“（2n-1）+（2n-1）=4n-2”“（2n+1）+（2n-1）=4n”，這樣的符號(hào)化運(yùn)算，形成了學(xué)生獨(dú)特而深刻的理解。有學(xué)生認(rèn)為，正是從第一個(gè)奇數(shù)中拿出1，再?gòu)牧硪粋€(gè)奇數(shù)中拿出1，將這兩個(gè)1合成2，所以和是偶數(shù)；有學(xué)生認(rèn)為，從第一個(gè)奇數(shù)中去掉1，再?gòu)牡诙€(gè)奇數(shù)中去掉1，這樣兩個(gè)奇數(shù)就變成了偶數(shù)，偶數(shù)和偶數(shù)合起來還是偶數(shù)；有學(xué)生認(rèn)為，從第一個(gè)奇數(shù)中拿出1去補(bǔ)充第二個(gè)奇數(shù)，所以兩個(gè)奇數(shù)都變成了偶數(shù)，即兩個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)……

符號(hào)是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表示、計(jì)算、推理和交流的工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生使用符號(hào)表達(dá)信息，使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理。只有這樣，才能增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)化意識(shí)和符號(hào)化能力。通過數(shù)學(xué)符號(hào)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生終身發(fā)展奠基。

數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。在學(xué)生表達(dá)素養(yǎng)生成過程中，教師要有清晰的培養(yǎng)目標(biāo)、多樣的培植策略、持續(xù)的培育指導(dǎo)。通過數(shù)學(xué)表達(dá)，幫助學(xué)生建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)技能的掌握，呈現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證等思維過程及數(shù)學(xué)問題解決的思路方案，不斷發(fā)展和提升學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。