姜超君，向 陽(yáng)，張 波，郭 寧，何 鵬

（1.武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430063；2.船舶動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)用技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430063）

聲子晶體是指兩種或兩種以上彈性材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)功能材料，傳入其中的彈性波由于和周期結(jié)構(gòu)相互作用，在一定頻率范圍內(nèi)將無(wú)法透過(guò)并繼續(xù)傳播，此特定頻段即彈性波帶隙[1]。目前針對(duì)聲子晶體帶隙的計(jì)算已有傳遞矩陣法、平面波展開(kāi)法、有限元法[2]等較為成熟的方法。而在帶隙特性方面，溫激鴻等[3]通過(guò)分析得出，二維二組元聲子晶體的帶隙特性主要與散射體、基體的密度和彈性模量及散射體的填充率有關(guān)。但相關(guān)參數(shù)對(duì)帶隙的影響機(jī)理十分復(fù)雜，以各項(xiàng)參數(shù)作為單一變量難以全面分析帶隙特性。故在單一參數(shù)分析的基礎(chǔ)上，趙浩江等[4]研究發(fā)現(xiàn)散射體和基體的彈性模量比與密度比對(duì)聲子晶體薄板的帶隙有極大影響。張昭等[5]的研究則表明，當(dāng)散射體與基體彈性模量比處于不同數(shù)量級(jí)時(shí)，材料彈性模量對(duì)帶隙的影響會(huì)有很大差別。本文不僅研究散射體周長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)角等單一參數(shù)對(duì)帶隙的影響，而且研究在彈性模量比、密度比與填充率等多參量影響下的帶隙特性，為接下來(lái)進(jìn)行帶隙減振設(shè)計(jì)提供更為全面的理論依據(jù)。

相比帶隙特性分析，目前關(guān)于聲子晶體應(yīng)用的研究成果較少。在已公開(kāi)報(bào)道的文獻(xiàn)中，Sorokin等[6]將充液管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)成沿軸向陣列分布的幾何周期結(jié)構(gòu)，在“波阻帶”頻率范圍內(nèi)有效抑制了振動(dòng)能量，但阻抑頻段較窄，綜合減振效果并不理想；魏振東等[7]基于帶隙理論設(shè)計(jì)了艦船液壓管路支承隔振器，在中高頻段內(nèi)獲得了良好的軸向減振性能，但低頻減振效果一般。陳圣兵等[8]設(shè)計(jì)了新型局域共振模型，可通過(guò)改變分流電路參數(shù)進(jìn)行帶隙的主動(dòng)調(diào)控，但調(diào)控范圍集中于中高頻，且目前仍未能運(yùn)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)中。本文提出將聲子晶體薄板作為黏彈性?shī)A層的應(yīng)用方案，首先以典型船用離心泵為研究對(duì)象，根據(jù)其激勵(lì)特性，設(shè)計(jì)以鉛為散射體、硅橡膠為基體的聲子晶體薄板，并將其插入離心泵基座以下的內(nèi)底板中。通過(guò)對(duì)離心泵所在的艙段結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了利用聲子晶體薄板的帶隙特性，可有效阻抑振動(dòng)的傳遞，降低艙段結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。本文所提方案不只局限于船用離心泵，對(duì)其他動(dòng)力設(shè)備的減振設(shè)計(jì)同樣有借鑒意義。

1 帶隙計(jì)算理論和算例分析

1.1 有限元方法基本理論

有限元法可計(jì)算各種形狀聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，且收斂性好，故已成為研究帶隙的重要方法。通過(guò)對(duì)單個(gè)晶胞進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)有限元理論，在XY方向上單個(gè)晶胞內(nèi)特征方程的離散形式為

其中：K和M分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;v是整體位移幅度列陣。聲子晶體中傳播的彈性波為Bloch波[9]，將Bloch定理應(yīng)用于每個(gè)單元，則原胞中任一點(diǎn)所在單元的節(jié)點(diǎn)位移為

其中：k是波矢，k=(kx,ky)，kx與ky分別為x、y方向上的波數(shù)；i為單元結(jié)點(diǎn)數(shù)，按網(wǎng)格劃分類型取值為位移幅度向量，具有和聲子晶體相同的平移周期性，分別為結(jié)點(diǎn)i在x、y方向上的位移幅度分量；ω為圓頻率，t為時(shí)間。將式（2）作為邊界條件，求解式（1）中每個(gè)波矢所對(duì)應(yīng)的特征值，即可得到聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。

1.2 帶隙計(jì)算

以正方形晶胞為研究對(duì)象，晶格常數(shù)a=0.01 m，散射體邊長(zhǎng)l=0.004 m。散射體材料為鉛，基體材料為硅橡膠，材料參數(shù)如表1所示。

表1 基體/散射體材料參數(shù)

僅考慮二維平面內(nèi)的振動(dòng)，采用有限元法進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算。計(jì)算所得能帶結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 能帶結(jié)構(gòu)圖

可見(jiàn)在396.65 Hz～487.9 Hz頻段內(nèi)不存在任何頻率與波矢對(duì)應(yīng)，故該頻段是彈性波無(wú)法傳遞的帶隙區(qū)域。

在COMSOL中建立上述晶胞組成的周期結(jié)構(gòu)模型，于結(jié)構(gòu)左側(cè)施加沿x軸方向的邊界載荷并進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算，如圖2所示。

圖2 各激勵(lì)頻率下的振動(dòng)響應(yīng)

當(dāng)激勵(lì)頻率落在計(jì)算帶隙外，振動(dòng)可順利通過(guò)周期結(jié)構(gòu)，而一旦激勵(lì)頻率落入帶隙，振動(dòng)被阻抑于結(jié)構(gòu)一側(cè)。這說(shuō)明聲子晶體結(jié)構(gòu)在帶隙內(nèi)擁有優(yōu)異的阻振性能。

2 帶隙特性分析

2.1 散射體周長(zhǎng)與旋轉(zhuǎn)角度對(duì)第一完全帶隙的影響

沿用上節(jié)晶胞，保持其他參數(shù)不變，使正多邊形散射體邊數(shù)n增加。可見(jiàn)當(dāng)填充率不變時(shí)，散射體邊數(shù)n越大，周長(zhǎng)越小。計(jì)算得到第一完全帶隙隨散射體周長(zhǎng)的變化曲線如圖3所示?？梢?jiàn)當(dāng)散射體周長(zhǎng)減小，帶隙起始頻率逐漸下降并趨于穩(wěn)定，截止頻率總體呈下降趨勢(shì)，可當(dāng)散射體邊數(shù)由4增加為5時(shí)，截止頻率上升，帶隙寬度呈現(xiàn)出同樣的變化趨勢(shì)。這似乎與文獻(xiàn)[5]中帶隙寬度隨著正多邊形散射體邊數(shù)增加而增加的結(jié)論相悖。

圖3 散射體周長(zhǎng)對(duì)帶隙的影響

現(xiàn)對(duì)散射體為正方形的晶胞進(jìn)行分析，其他參數(shù)不變，計(jì)算了散射體相對(duì)基體轉(zhuǎn)過(guò)不同角度時(shí)晶體的帶隙，結(jié)果如圖4所示。

圖4 散射體旋轉(zhuǎn)角度對(duì)帶隙的影響

可見(jiàn)起始、截止頻率均隨旋轉(zhuǎn)角增大而增加，而截止頻率增幅更大，因此帶寬增加。以散射體旋轉(zhuǎn)角為45度時(shí)的帶寬為前述討論的結(jié)果，則與文獻(xiàn)[5]的結(jié)論相符?？梢?jiàn)帶隙特性不僅和散射體周長(zhǎng)有關(guān)，還與其旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，一方面散射體周長(zhǎng)增加，增加了散射體與周圍介質(zhì)的接觸面積，使相鄰晶胞間反射波的同相疊加效應(yīng)增強(qiáng)，帶隙增加；另一方面對(duì)于某些形狀的散射體，增加其旋轉(zhuǎn)角可減小相鄰晶胞中散射體的間距，加強(qiáng)結(jié)構(gòu)中的反射現(xiàn)象，增加了帶隙。

2.2 散射體填充率對(duì)第一完全帶隙的影響

設(shè)散射體（A材料）密度ρA=8 000 kg/m3，彈性模量EA=200 GPa，泊松比μA=0.34；基體（B材料）密度ρB=1 000 kg/m3，彈 性 模 量EB=2 GPa，泊 松 比μB=0.45。晶胞形狀為正方形，晶格常數(shù)a=15.5 mm，散射體為圓形，半徑為r，晶胞填充率f=πr2/a2，故可通過(guò)改變散射體半徑來(lái)調(diào)整填充率。其他參數(shù)不變，提高散射體的彈性模量EA使EA/EB處于不同數(shù)量級(jí)，并計(jì)算各數(shù)量級(jí)下第一完全帶隙隨填充率（散射體半徑）的變化，計(jì)算結(jié)果如表2所示，圖5為相應(yīng)帶隙寬度的變化曲線。

圖5 EA/EB不同時(shí)填充率對(duì)帶隙寬度的影響

可見(jiàn)當(dāng)EA/EB=10時(shí)，填充率增加，起始頻率先降低后增加，截止頻率先增加后降低，帶隙寬度則呈現(xiàn)出先增加后減少的變化趨勢(shì)；而當(dāng)EA/EB=100和EA/EB=1 000時(shí)，填充率增加，帶隙起始頻率和截止頻率均增加，帶隙寬度逐漸增加。當(dāng)填充率一定時(shí)，EA/EB的數(shù)量級(jí)越大，帶隙寬度越大，而對(duì)于EA/EB=100和EA/EB=1 000，二者帶隙寬度的變化曲線基本重合，說(shuō)明當(dāng)EA/EB較大時(shí)，通過(guò)增加彈性模量差別來(lái)擴(kuò)大帶寬的方法將收效甚微。對(duì)于填充率，一方面填充率增大，散射面積增加，拓寬了帶隙寬度，可當(dāng)填充率增大到一定程度時(shí)，相鄰散射體間的相互作用增強(qiáng)，導(dǎo)致帶隙寬度變小，而較大的彈性模量差別能減弱這種相互作用。故采用較大彈性模量差別和較高填充率的晶胞，有利于拓寬帶隙。

表2 EA/EB不同時(shí)填充率對(duì)帶隙的影響/kHz

現(xiàn)保持其他參數(shù)不變，提高散射體的密度ρA使ρA/ρB處于不同數(shù)量級(jí)。計(jì)算各個(gè)數(shù)量級(jí)下，第一完全帶隙隨填充率的變化，計(jì)算結(jié)果如表3所示。圖6為相應(yīng)帶隙寬度的變化曲線。

圖6 ρA/ρB不同時(shí)填充率對(duì)帶隙的影響

可見(jiàn)當(dāng)散射體與基體密度比處于不同數(shù)量級(jí)時(shí)，隨著數(shù)量級(jí)的增大，帶隙起始、截止頻率都降低，帶隙往低頻移動(dòng)。ρA/ρB=10時(shí)，當(dāng)填充率增加，帶隙起始頻率和截止頻率增加，帶隙寬度增大；ρA/ρB=100 和ρA/ρB=1 000 時(shí)，當(dāng)填充率增加，帶隙起始頻率逐漸降低，當(dāng)填充率達(dá)到一定值后又開(kāi)始增加，而截止頻率則先升高，當(dāng)填充率達(dá)到一定值后開(kāi)始降低，帶隙寬度呈現(xiàn)出與截止頻率相同的變化趨勢(shì)，且密度比的數(shù)量級(jí)越大，帶隙寬度開(kāi)始減小時(shí)所對(duì)應(yīng)的填充率越小。所以采用高填充率和低密度比有利于增加帶寬，但密度比減小會(huì)使帶隙向高頻移動(dòng)，不利于聲子晶體在低頻減振中的應(yīng)用。

3 聲子晶體薄板的減振應(yīng)用研究

離心泵是現(xiàn)代艦船的主要輔機(jī)設(shè)備，其工作時(shí)產(chǎn)生的低頻振動(dòng)由基座傳至內(nèi)底板，最后到達(dá)外殼，是水下輻射噪聲的來(lái)源之一，故控制離心泵低頻振動(dòng)對(duì)提高艦船隱身性有重要意義。本文以IS100-65-315單級(jí)單吸臥式離心泵為研究對(duì)象，為分析其激勵(lì)特性，搭建試驗(yàn)測(cè)量臺(tái)架測(cè)取離心泵在額定流量（50 m3/h）下的機(jī)腳振動(dòng)加速度，測(cè)量臺(tái)架和測(cè)點(diǎn)位置如圖7所示。

提取最后兩個(gè)葉輪旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的振動(dòng)數(shù)據(jù)并進(jìn)行傅里葉變換，得到0～400 Hz范圍內(nèi)離心泵機(jī)腳加速度頻譜圖，圖8為1號(hào)、3號(hào)、5號(hào)測(cè)點(diǎn)處提取到的加速度頻譜。可見(jiàn)離心泵三個(gè)機(jī)腳的激勵(lì)在25 Hz、150 Hz及290 Hz附近出現(xiàn)峰值，且290 Hz處激勵(lì)最大，故本文對(duì)該頻率處的振動(dòng)進(jìn)行控制。近年來(lái)針對(duì)低頻減振已發(fā)展出許多新型的局域共振結(jié)構(gòu)，如MeiJ[10]根據(jù)局域共振機(jī)理設(shè)計(jì)的聲學(xué)超材料可在100 Hz～1 000 Hz頻段內(nèi)利用可調(diào)控的帶隙進(jìn)行減振降噪。但目前許多新型局域共振結(jié)構(gòu)存在著工藝復(fù)雜、帶隙范圍窄等問(wèn)題，尚未能應(yīng)用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)。而本文所研究的離心泵，其機(jī)腳振級(jí)峰值出現(xiàn)在特定頻段且較為集中，采用結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的傳統(tǒng)局域共振結(jié)構(gòu)便能達(dá)到控制峰值頻率點(diǎn)處振動(dòng)的目的，并可降低應(yīng)用成本。因此結(jié)合前文帶隙分析，本文以鉛為散射體、硅橡膠為基體設(shè)計(jì)聲子晶體減振薄板，基體與散射體均為正方形，晶格常數(shù)為60 mm，散射體邊長(zhǎng)為45 mm，相對(duì)基體無(wú)旋轉(zhuǎn)。通過(guò)計(jì)算知其帶隙頻率為266.79 Hz～533.2 Hz，能夠?qū)﹄x心泵290 Hz頻率附近的振動(dòng)進(jìn)行有效控制。

表3 ρA/ρB不同時(shí)填充率對(duì)帶隙的影響/kHz

圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)量示意圖

圖8 離心泵機(jī)腳振動(dòng)加速度頻譜圖

將上述晶胞組成的聲子晶體薄板作為黏彈性?shī)A層應(yīng)用于艙段結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行減振效果的數(shù)值驗(yàn)證計(jì)算。本文以文獻(xiàn)[11]中的艙段結(jié)構(gòu)為驗(yàn)證模型并沿母線方向進(jìn)行了一定的縮減?？s減后的艙段結(jié)構(gòu)尺寸如下：長(zhǎng)為2.6 m；外殼直徑為2.4 m，厚為0.006 m；內(nèi)殼直徑為2 m，厚為0.010 m；實(shí)肋板厚為0.008 m，肋距為0.65 m；內(nèi)底板厚為0.005 m；立板、肘板厚為1.2 mm；基座面板厚為0.008 m。結(jié)構(gòu)材料均為鋼材。聲子晶體薄板由晶胞按5×20的形式排列而成，插入艙段內(nèi)底板。為綜合考察結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)特性，在內(nèi)底板和艙段外殼上選取了20個(gè)測(cè)點(diǎn)。圖9所示為艙段結(jié)構(gòu)及測(cè)點(diǎn)布置的示意圖。

將測(cè)得的離心泵機(jī)腳激勵(lì)垂直施加于基座面板上，在20 Hz～400 Hz頻段內(nèi)對(duì)整個(gè)艙段進(jìn)行諧響應(yīng)計(jì)算。對(duì)于內(nèi)底板上8個(gè)測(cè)點(diǎn)以及外殼上12個(gè)測(cè)點(diǎn)處的位移響應(yīng)值，按下式計(jì)算平均振動(dòng)響應(yīng)位移級(jí)。

其中Lai為各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)位移級(jí)，減振前后內(nèi)底板與外殼平均振動(dòng)位移級(jí)頻響曲線如圖10所示。

可見(jiàn)將硅橡膠插入內(nèi)底板后，在所分析頻段內(nèi)，艙段內(nèi)底板與外殼的平均位移響應(yīng)均有不同程度的下降。據(jù)文獻(xiàn)[11]之結(jié)論，黏彈性?shī)A層材料的彈性模量越小，阻振效果越好，故擁有較小彈性模量的硅橡膠是理想的黏彈性?shī)A層材料。而在硅橡膠中插入鉛條組成擁有帶隙特性的帶隙夾層后，內(nèi)底板和外殼的位移響應(yīng)分別從285 Hz和280 Hz開(kāi)始有進(jìn)一步的衰減。且在290 Hz頻率處，原艙段內(nèi)底板和外殼的響應(yīng)位移級(jí)分別為66.08 dB和38.18 dB，插入帶隙夾層后則分別降為51.16 dB和16.26 dB，說(shuō)明在內(nèi)底板中插入帶隙夾層，艙段結(jié)構(gòu)在290 Hz這一激勵(lì)峰值頻率處的振動(dòng)得到了有效控制。

但此處帶隙開(kāi)始作用的頻率和前文計(jì)算得到的起始頻率（266.79 Hz）有一定偏差，這是因?yàn)檫M(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，已對(duì)單個(gè)晶胞依據(jù)Bloch定理施加了周期性條件，故能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型相當(dāng)于無(wú)限結(jié)構(gòu)，而進(jìn)行響應(yīng)驗(yàn)證時(shí)的聲子晶體薄板是有限結(jié)構(gòu)，且寬度方向的晶胞個(gè)數(shù)較少（5個(gè)），結(jié)構(gòu)易產(chǎn)生表面局域現(xiàn)象，使得帶隙范圍內(nèi)出現(xiàn)衰減較小的透射波。這反映在頻響曲線上，就會(huì)出現(xiàn)減振作用頻率和計(jì)算帶隙頻率不一致的情況。

圖9 艙段結(jié)構(gòu)與測(cè)點(diǎn)布置示意圖

圖10 減振前后結(jié)構(gòu)位移級(jí)頻響曲線

此外，在帶隙作用范圍(圖中灰色區(qū)域)內(nèi)，艙段外殼振動(dòng)位移響應(yīng)的衰減程度不及內(nèi)底板。這是因?yàn)閹秺A層雖阻抑了內(nèi)底板中的振動(dòng)傳遞，但振動(dòng)仍可沿著立板與腹板傳至外殼，引起外殼振動(dòng)。且在帶隙范圍以外，艙段外殼的振動(dòng)位移響應(yīng)的衰減較少，所以僅在內(nèi)底板中插入帶隙夾層是不夠的，還應(yīng)配合使用其他減振措施，如施加阻振質(zhì)量、隔振器等，對(duì)帶隙以外的振動(dòng)響應(yīng)加以控制，從而獲得更為理想的減振效果。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)二維二組元聲子晶體帶隙特性進(jìn)行了分析，接著針對(duì)典型船用離心泵的激勵(lì)特性，設(shè)計(jì)了以聲子晶體薄板作為黏彈性?shī)A層的減振方案，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察了該方案的減振效果。主要結(jié)論如下：

（1）第一帶隙寬度隨著散射體周長(zhǎng)的增加而增加；對(duì)于正方形散射體，其帶隙還受散射體旋轉(zhuǎn)角的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角增加，第一帶隙增加；

（2）散射體與基體彈性模量比處于不同數(shù)量級(jí)時(shí)，填充率對(duì)帶隙特性的影響會(huì)有很大差別。當(dāng)填充率增加，第一帶隙寬度先增加，可當(dāng)填充率增加到一定程度，相鄰晶胞間的相互作用會(huì)加強(qiáng)，反而使得帶隙寬度減小。當(dāng)彈性模量比較大時(shí)，這種相互作用的影響會(huì)減弱，使帶隙寬度隨填充率的增加而繼續(xù)增加；

（3）采用較低數(shù)量級(jí)的密度比可增加第一帶隙寬度，但密度比減小會(huì)使帶隙向高頻移動(dòng)，不利于其在低頻減振中的應(yīng)用；

（4）將聲子晶體薄板作為黏彈性?shī)A層插入內(nèi)底板，在帶隙作用范圍內(nèi)可有效阻抑振動(dòng)傳遞，降低艙段內(nèi)底板和外殼的振動(dòng)響應(yīng)。但為了控制帶隙以外的振動(dòng)響應(yīng)，仍應(yīng)配合使用其他減振措施，方可獲得更為理想的減振效果。