李成喜，張建潤，杜曉飛，呂劍喬

（東南大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 211189）

風(fēng)冷冰箱的噪聲振動水平是該類產(chǎn)品體現(xiàn)市場競爭力的一項重要性能指標(biāo)，測試發(fā)現(xiàn)風(fēng)冷冰箱的噪聲與振動很大程度上來源于壓縮機。所以壓縮機隔振系統(tǒng)的性能優(yōu)劣將直接影響冰箱的用戶體驗度和市場占有率，性能優(yōu)良的隔振系統(tǒng)是風(fēng)冷冰箱實現(xiàn)低噪聲工作的一項基本保證。

正確確定減振元件的安裝位置、安裝角度及三向剛度，合理匹配隔振系統(tǒng)才能最大限度發(fā)揮它的隔振性能。目前國內(nèi)外在隔振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化方面存在許多較為成熟的設(shè)計理論及研究方法。在優(yōu)化目標(biāo)方面主要有合理配置系統(tǒng)的固有頻率，提高系統(tǒng)各自由度的振動解耦程度[1]，使支撐動反力最小化[2]，使低頻殘余振動最小化[3]，使廣義力傳遞率最小化[4]及考慮與頻率相關(guān)的剛度和損耗因子[5]等。在優(yōu)化算法方面，大多采用廣義簡約梯度法、序列二次規(guī)劃法、復(fù)合形法和懲罰函數(shù)法等[6]傳統(tǒng)優(yōu)化算法對隔振系統(tǒng)的隔振性能加以優(yōu)化，但對于復(fù)雜的非線性問題計算往往無法收斂[7]。同時，也有學(xué)者嘗試將遺傳算法、模擬退火算法、6σ準(zhǔn)則以及不同算法間組合等[8]現(xiàn)代智能算法應(yīng)用到隔振優(yōu)化上，取得了一定成果，但是依然存在收斂效率低、容易趨向局部最優(yōu)的缺點。

由于壓縮機隔振系統(tǒng)能量解耦的數(shù)學(xué)模型與彈性支撐參數(shù)間的函數(shù)規(guī)律復(fù)雜，而混沌粒子群算法能在保證全局最優(yōu)搜索能力條件下加快收斂，尤其對于復(fù)雜工程問題表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力[9]。因此文中針對傳統(tǒng)優(yōu)化算法在搜索尋優(yōu)時由于依賴梯度信息容易導(dǎo)致收斂于局部最優(yōu)的缺點，首次采用基于罰函數(shù)約束的混沌粒子群算法進行隔振參數(shù)尋優(yōu)，提出以6自由度最大程度解耦為優(yōu)化目標(biāo)，以4點支撐的各向主軸剛度為優(yōu)化變量，以固有頻率合理配置、支撐剛度、壓縮機位移等為約束條件的頻率離散優(yōu)化方法。同時，將混沌粒子群算法優(yōu)化結(jié)果與2次序列規(guī)劃法和遺傳算法進行綜合分析比較，并借助動力學(xué)仿真分析驗證所提優(yōu)化方法的隔振效果。

1 冰箱壓縮機隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型

風(fēng)冷式冰箱的壓縮機及其隔振系統(tǒng)包含組件較多，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。考慮到該隔振系統(tǒng)的剛度比冰箱箱體及壓縮機剛度小得多，且橡膠支撐間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橡膠支撐本身尺寸，因此可以假設(shè)壓縮機及冰箱箱體為剛體，四個橡膠支撐分別為三個相互垂直的黏性彈簧。將壓縮機隔振系統(tǒng)簡化為一個6自由度模型，如圖1所示。其中G0-XYZ為定坐標(biāo)系，G-XYZ為動坐標(biāo)系，原點G0位于壓縮機質(zhì)心位置，X軸平行于壓縮機曲軸軸線并指向冰箱前面，Z軸垂直地面向下，Y軸根據(jù)右手螺旋法則可以確定。靜平衡狀態(tài)時，動、定坐標(biāo)系相互重合。壓縮機的廣義坐標(biāo)定義為壓縮機質(zhì)心沿定坐標(biāo)系X、Y、Z軸的平移x、y、z以及繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角θx、θy、θz，其最終可以表示為

圖1 壓縮機隔振系統(tǒng)6自由度模型

根據(jù)拉格朗日定理和虛功原理進行推導(dǎo)，得到該壓縮機系統(tǒng)振動的動力方程如下式所示

式中：Q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量；T為系統(tǒng)動能；U為系統(tǒng)的勢能；D為系統(tǒng)的耗散能；F為系統(tǒng)所受廣義激勵力。將該隔振系統(tǒng)的動能、勢能和耗散能代入上式，得到隔振系統(tǒng)的振動微分方程

由于橡膠支撐阻尼很小且主要對振動起衰減作用和抑制共振峰值，而對隔振系統(tǒng)的固有特性幾乎沒有影響，因此計算該隔振系統(tǒng)固有頻率時其阻尼影響可以忽略，可得隔振系統(tǒng)在無阻尼條件下的自由振動微分方程[10]

其中：[M]為隔振系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[K]是隔振系統(tǒng)的剛度矩陣。

2 6自由度系統(tǒng)隔振設(shè)計的能量解耦法

一般情況下，剛體隔振系統(tǒng)在6個自由度上的6個固有振型在振動時是相互耦合的，任意方向上的振動激勵都會引起系統(tǒng)的振動耦合，使得隔振系統(tǒng)振幅增大，共振頻率帶范圍擴大，從而使得系統(tǒng)產(chǎn)生共振的幾率增加。

從能量守恒定律出發(fā)，系統(tǒng)沿著某個廣義坐標(biāo)振動的動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，但二者的和保持不變。因此系統(tǒng)沿某一廣義坐標(biāo)方向上的能量可用系統(tǒng)最大動能表示,也可用最大勢能表示，文中采用最大動能來表示

其中：ωi為系統(tǒng)的第i階固有頻率；{Φi}為第i階固有振型向量；mkl為質(zhì)量矩陣[M]的k行l(wèi)列元素；(φi)和k(φi)分l別為固有振型{Φi}的第k和l個元素。由此可得，系統(tǒng)第i階固有頻率對應(yīng)的第k個廣義坐標(biāo)分配到的能量所占系統(tǒng)能量的百分比為

3 混沌粒子群算法的實現(xiàn)

粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)是Kennedy和Eberhart在1995年提出的群智能優(yōu)化算法，該算法對Hepper的模擬鳥群模型加以修正，模擬鳥類覓食行為，使粒子能夠飛向解空間，并能在最優(yōu)解處降落。同遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）等群優(yōu)化算法相比，粒子群算法以群體迭代和搜索空間內(nèi)的粒子初始化為基礎(chǔ)，但沒有GA算法中的交叉和變異操作，而是基于種群中粒子的群體社會行為進行優(yōu)化，通過調(diào)節(jié)解空間中每個粒子的位置、飛行速度使其朝向自身歷史最佳位置及整個種群的最優(yōu)粒子位置，實現(xiàn)全局尋優(yōu)[9，11]。

假設(shè)在一個S維的目標(biāo)搜索空間中，有m個粒子組成的群體，其中可將第i個粒子表示為一個S維向量，任意一個粒子即是一個潛在的解。將x→i代入適應(yīng)度函數(shù)，根據(jù)計算得到適應(yīng)度衡量解的優(yōu)劣。第i個粒子的的飛行速度表示為向量記第i個粒子最后搜索所得到的最佳位置為整個種群尋到的最佳位置為

任一種群粒子的位置更新具體見式（6）和式（7）。

式中：i=[1,m],s=[1,S]；非負(fù)常數(shù)c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2相互獨立，服從[0,1]上的均勻分布。vis∈[-vmax,vmax]，vmax為最大限制速度；ω為調(diào)整尋優(yōu)快慢的慣性權(quán)重，文中采用線性形式

式中：t和Tmax為迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，ωmax和ωmin分別為最大和最小慣性權(quán)重。

可以看出，該算法原理簡單，容易實現(xiàn)，無需梯度信息，所需參數(shù)少，具有較好魯棒性和收斂性，因此在組合優(yōu)化、人工智能、工程機械等復(fù)雜領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣[11]。而混沌粒子群算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO）則是該算法的一種參數(shù)改進形式。

3.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

（1）目標(biāo)函數(shù)

隔振系統(tǒng)的能量解耦優(yōu)化是一個有約束的最優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)是最大程度提高6個方向的解耦率。為了降低問題復(fù)雜性，此處采用加權(quán)因子法將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)可用式（9）表示。

式中：wi為第i階模態(tài)能量的加權(quán)因子，Tpi為第i階固有模態(tài)主要振動方向能量百分比。由于垂直方向Z和繞曲軸轉(zhuǎn)動方向RX為主要方向，故其加權(quán)因子取1.0，其余方向取0.5。

（2）設(shè)計變量

隔振系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和彈性支撐的個數(shù)、位置、剛度及安裝角度有關(guān)?？紤]到設(shè)計和生產(chǎn)成本，以四個隔振元件的各向主軸剛度為設(shè)計變量，而且由于隔振元件為軸對稱結(jié)構(gòu)，故設(shè)計變量為x=[ku1,kw1,ku2,kw2,ku3,kw3,ku4,kw4]。

（3）約束設(shè)計

固有頻率合理配置：風(fēng)冷式冰箱壓縮機隔振系統(tǒng)的固有頻率必須小于壓縮機激勵頻率的倍，同時考慮壓縮機啟動瞬間的變頻效應(yīng)，固有頻率不得小于一定頻率，文中取為5 Hz。另外，為了減小共振幾率及共振區(qū)間，各個方向上的固有頻率差不得小于1 Hz。

支撐剛度：根據(jù)隔振原理，支撐剛度應(yīng)設(shè)計得越小越好，但是剛度太小會使惡劣工況下壓縮機位移增大，影響支撐疲勞壽命。從限位作用看，支撐剛度則越大越好，但是隔振效果較差。根據(jù)經(jīng)驗和橡膠材料特性，頻率及剛度約束如下所示。

3.2 混沌粒子群算法的應(yīng)用設(shè)計

在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，粒子向自身歷史最佳位置和鄰域或群體歷史最佳位置聚集，會形成粒子種群的快速趨同效應(yīng)，容易陷入局部最優(yōu)，且后期收斂較慢，精度不高，即出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。針對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的以上缺點，學(xué)者提出了許多改進的粒子群算法。為了平衡粒子群算法的全局和局部尋優(yōu)能力，文中最終采用混沌粒子群優(yōu)化算法。該算法采用混沌搜索，能夠在優(yōu)化早期鼓勵粒子在整個搜索空間移動，而在優(yōu)化后期提高逼近最優(yōu)解的收斂速度。

CPSO算法優(yōu)點在于將粒子群算法與混沌搜索結(jié)合起來，混沌搜索原理如下：

(1)按照式（11）將優(yōu)化變量xn,i映射到混沌空間[0,1]上，得到混沌序列初值cn,i

其中i為優(yōu)化變量空間維數(shù)為優(yōu)化變量取值空間。

(2)根據(jù)logistic映射方程將混沌序列初值cn,i轉(zhuǎn)成混沌序列新值cn+1,i；

(3)按照式（12）將新混沌序列cn+1,i反向映射到原始空間內(nèi)，得到新優(yōu)化變量xn+1,i

(4)計算得到新優(yōu)化變量xn+1,i的目標(biāo)值；若符合混沌搜索的最大次數(shù)，則取較優(yōu)解為結(jié)果，否則回到步驟(2)繼續(xù)。

CPSO算法應(yīng)用到減振優(yōu)化設(shè)計中的另一難點在于約束的處理，即解的可行性，因為約束的處理好壞對優(yōu)化收斂性影響較大。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為F(x)，B為滿足約束條件的可行解空間，則目標(biāo)函數(shù)最小化的數(shù)學(xué)模型為

式中：gi(x)≤0為不等式約束條件，等價等式約束則將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題

其中F(x,r)為罰函數(shù)；rp(x)則為罰項；r為罰因子，是從小到大趨于無窮的數(shù)列，即r0＜r1＜r2＜…→∞。

其中c為遞增系數(shù)，一般可取5～10，文中最終取8。

因此文中基于罰函數(shù)采用CPSO算法綜合考慮固有頻率及剛度約束，所構(gòu)建罰函數(shù)對可行解不做處理，對非可行解施加懲罰，從而將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。考慮到CPSO算法的搜索性能對算法參數(shù)依賴較大，故算法參數(shù)設(shè)置經(jīng)多次調(diào)試以后確定，如表1所示。

表1 混沌粒子群算法相關(guān)參數(shù)

CPSO算法首先根據(jù)表1參數(shù)設(shè)定初始化種群并計算各粒子目標(biāo)函數(shù)值和適應(yīng)度值，從中更新個體極值和群體極值，然后計算粒子間平均距離和適應(yīng)度方差判斷是否早熟，如果早熟，則將混沌搜索到的最優(yōu)點隨機取代一個粒子，且用式（6）、式（7）更新粒子；否則直接利用式（6）、式（7）更新粒子。如此循環(huán)往復(fù)下去，直到滿足程序終止條件。具體優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 混沌粒子群算法優(yōu)化流程圖

4 壓縮機隔振系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

4.1 壓縮機系統(tǒng)參數(shù)

風(fēng)冷式冰箱壓縮機質(zhì)量為8.80 kg，表2給出了壓縮機的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積參數(shù)；橡膠支撐點相對冰箱整機坐標(biāo)系的位置及角度參數(shù)可由UG三維模型獲得，如表3所示。

表2 壓縮機的轉(zhuǎn)動慣量及慣性積（/kg·m2）

表3 橡膠支撐位置及角度參數(shù)

4.2 傳統(tǒng)設(shè)計隔振效果分析

表4為采用傳統(tǒng)設(shè)計方法獲得的壓縮機隔振系統(tǒng)參數(shù)，表5為運用MATLAB程序根據(jù)傳統(tǒng)設(shè)計方法計算得到的固有頻率及能量解耦率。從固有頻率的計算結(jié)果來看，最低和最高固有頻率分別為9.97 Hz和44.91 Hz，而壓縮機正常工作轉(zhuǎn)速為2 100 r/min，顯然超出壓縮機激勵頻率的倍，也就是24.75 Hz；而且第4和第5階固有頻率間距較小，會使共振頻率范圍擴大，從而容易導(dǎo)致共振。從解耦率來看，Z和RX兩個方向上振動耦合嚴(yán)重，能量解耦率不到70%，同時Y和RY方向上解耦率不足80%，也有待提高。因此為了實現(xiàn)固有頻率的合理配置和解耦率的提高，需重新優(yōu)化設(shè)計橡膠支撐的剛度。

表4 根據(jù)傳統(tǒng)設(shè)計方法獲得的支撐各向剛度

表5 根據(jù)傳統(tǒng)設(shè)計方法獲得的固有頻率與能量分布

4.3 傳統(tǒng)設(shè)計隔振效果分析

CPSO優(yōu)化后的橡膠支撐最優(yōu)剛度見表6，固有頻率以及能量分布優(yōu)化結(jié)果如表7所示。

從表4和表6可以看出，根據(jù)傳統(tǒng)設(shè)計方法得到的壓縮機橡膠支撐明顯偏硬，與前期壓縮機隔振測試的頻域分析（低頻沒有隔振效果，中高頻存在一定隔振效果）所反映出的結(jié)論是一致的。同時，對比表5和表7可以看出，Z向解耦率從66.85%提高到99.71%，RX方向解耦率則從59.74%提高到90.94%，其余自由度方向上的解耦率也都得到較大程度提高。各自由度上的固有頻率間距均大于1Hz，主要方向Z和RX方向的頻率間距為2.47 Hz，大于1.5 Hz。整個固有頻率所在范圍沒有超出頻率上下限，且遠(yuǎn)離壓縮機激勵頻率35 Hz。因此，所建CPSO優(yōu)化模型能夠明顯提高壓縮機系統(tǒng)的隔振性能。

4.4 CPSO與其它算法比較

為了深入研究混沌粒子群優(yōu)化算法可行性，采用傳統(tǒng)的基于梯度信息的序列2次規(guī)劃法（Sequence Quadratic Programming，SQP）以及人工智能中目前較為成熟的GA算法優(yōu)化該冰箱壓縮機隔振系統(tǒng)，優(yōu)化后所得系統(tǒng)固有頻率和能量分布與根據(jù)CPSO方法所得結(jié)果的比較可見圖3和表8。

表6 經(jīng)混沌粒子群算法優(yōu)化后的支撐剛度參數(shù)

表7 經(jīng)混沌粒子群算法優(yōu)化后的固有頻率與能量分布

表8 不同優(yōu)化算法得到的隔振系統(tǒng)固有頻率比較

圖3 不同算法優(yōu)化后的能量分布比較

從圖3和表8中對于傳統(tǒng)設(shè)計、SQP優(yōu)化、GA優(yōu)化和CPSO優(yōu)化所得系統(tǒng)的固有頻率和能量解耦情況的比較，可以看出：

（1）經(jīng)CPSO優(yōu)化后的隔振系統(tǒng)，6個自由度方向上的振動解耦情況均優(yōu)于SQP的優(yōu)化結(jié)果，尤其是在對壓縮機隔振效果影響最大的垂直振動方向（Z向）和繞X軸轉(zhuǎn)動方向（RX向）上的能量解耦率，比SQP優(yōu)化值更高。原因在于SQP主要是按照梯度信息尋優(yōu)，容易陷入局部最優(yōu)解中，而且優(yōu)化結(jié)果強烈依賴于初始值的選取。但是CPSO算法由于采用混沌搜索機制和線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)能跳出局部最優(yōu)解，獲得所需的優(yōu)化結(jié)果。

（2）由圖可知，在X、RY和RZ自由度上，CPSO優(yōu)化結(jié)果與GA算法優(yōu)化所得解耦程度基本一致，差別很小。但是在其余自由度上，尤其是對隔振效果影響最大的Z和RX兩個方向上，CPSO優(yōu)化所得振動解耦程度均高于GA優(yōu)化結(jié)果。原因在于雖然GA算法的理論研究和工程應(yīng)用相對成熟，但是由于其自身的固有缺點，GA算法依然存在陷入局部最優(yōu)解的可能。以上優(yōu)化算法分析比較結(jié)果也是本文采用混沌粒子群優(yōu)化算法的主要原因所在。

5 隔振優(yōu)化結(jié)果的仿真分析與驗證

由于將壓縮機和冰箱箱體視為純剛體，壓縮機結(jié)構(gòu)特性僅取決于其質(zhì)量、質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量及慣性積，而與壓縮機外形和尺寸無關(guān)。冰箱箱體等同大地，四點橡膠支撐采用線性襯套結(jié)構(gòu)模擬，同時忽略其阻尼和扭轉(zhuǎn)剛度。

圖4為基于ADAMS/Vibration模塊建立的風(fēng)冷冰箱壓縮機隔振系統(tǒng)的多體動力學(xué)模型。在壓縮機質(zhì)心施加標(biāo)準(zhǔn)工況激勵，并在四個橡膠支撐點建立輸出，獲取支撐點垂向（Z向）動反力。優(yōu)化前后隔振系統(tǒng)四個橡膠支撐Z向動反力合響應(yīng)的時間歷程及壓縮機質(zhì)心在垂直方向的振動位移如圖5和圖6所示。

圖4 6自由度壓縮機隔振系統(tǒng)ADAMS動力學(xué)模型

由圖5可知，CPSO優(yōu)化前后隔振系統(tǒng)四個橡膠支撐Z方向的響應(yīng)合力均值分別為86.247 0 N和86.243 2 N，與壓縮機重力基本相等，從而驗證所建壓縮機隔振系統(tǒng)6自由度模型的正確性。由計算可知，橡膠支撐處響應(yīng)合力在穩(wěn)態(tài)下其幅值從優(yōu)化前的1.386 9 N降低到優(yōu)化后的1.016 0 N，降幅為26.74%；其標(biāo)準(zhǔn)差從優(yōu)化前的0.953 0變?yōu)閮?yōu)化后的0.709 4，降幅為25.56%，而且優(yōu)化后的支撐動反力更快趨于平穩(wěn)狀態(tài)。

圖5 優(yōu)化前后橡膠支撐處響應(yīng)合力的比較

圖6 優(yōu)化前后壓縮機質(zhì)心的Z向位移比較

考慮到零件間的干涉及壓縮機兩端硬質(zhì)橡膠管的振動效應(yīng)，并參考壓縮機相關(guān)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，文中壓縮機最大位移最好不要超出1 mm。從圖6可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)CPSO優(yōu)化后的壓縮機質(zhì)心相對優(yōu)化前（傳統(tǒng)設(shè)計方法）雖然在主要垂直方向（Z向）最大位移從0.39 mm增加到0.88 mm，但是依然滿足小于1 mm的要求，而且在其余方向上的最大位移也均小于1 mm，也就是符合位移約束。因此以上仿真分析結(jié)果再次驗證了CPSO優(yōu)化方法可以明顯提高壓縮機系統(tǒng)的隔振效果。

6 結(jié)語

針對傳統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法（SQP）容易陷入局部最優(yōu)和迭代發(fā)散的缺點，提出以隔振系統(tǒng)的六自由度最大程度解耦為優(yōu)化目標(biāo)、以四點支撐的各向剛度為設(shè)計參數(shù)、系統(tǒng)頻率離散分配的優(yōu)化方法，首次采用基于罰函數(shù)約束的混沌粒子群算法進行隔振系統(tǒng)的參數(shù)尋優(yōu)。該優(yōu)化方法克服了傳統(tǒng)算法SQP的固有缺陷，優(yōu)化所得系統(tǒng)固有頻率配置相對SQP優(yōu)化方法和GA優(yōu)化方法更加合理，整體解耦程度更高，結(jié)果更趨向于全局最優(yōu)解。多體動力學(xué)仿真也驗證了所提混沌粒子群優(yōu)化方法應(yīng)用于隔振設(shè)計的合理性和有效性。