吳世光　姜淳

摘 要：在簡單二元組熱子晶體中周期的摻入第三種介質(zhì)形成周期摻雜熱子晶體，利用轉移矩陣法和布洛赫定理推導出該結構的色散關系式。在各組分厚度不變的情況下與簡單二元組結構對比，周期摻雜熱子晶體的第一禁帶的起始頻率、截止頻率、帶寬都顯著減??；當摻雜熱子晶體雜質(zhì)層厚度增加，第一禁帶的起始頻率緩慢減小，而第一禁帶的截止頻率和帶寬快速增加；隨著晶格常數(shù)的增加，周期摻雜熱子晶體的第一禁帶的起始頻率、截止頻率、帶寬都逐漸減小。這對熱能控制、熱能傳輸有著一定的指導意義。

關鍵詞：熱子晶體；周期摻雜；轉移矩陣；帶隙

中圖分類號：O734 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）21-0032-03

Abstract： The third kind of medium is periodically doped into the simple binary system to form periodic doped thermocrystals. The dispersion relation of the structure is derived by using the transfer matrix method and Bloch theorem. Compared with the simple binary structure， the starting frequency， the cut-off frequency and the bandwidth of the first band gap of the periodic doped thermosonic crystals decrease significantly with the same thickness of each component， and the thickness of the impurity layer increases with the increase of the doping thermosonic crystal thickness. The initial frequency of the first band gap decreases slowly， while the cut-off frequency and bandwidth of the first band gap increase rapidly. With the increase of lattice constant， the initial frequency， cut-off frequency and bandwidth of the first band gap of periodic doped thermosubcrystals decrease gradually. This has a certain guiding significance for heat energy control and heat energy transmission.

Keywords： thermal crystal； periodic doping； transfer matrix； band gap

引言

聲子晶體的概念[1]是M. S. Kushwsha在1993 年提出的。在聲子晶體中，彈性常數(shù)和密度不同的材料按結構周期性復合在一起。彈性波在聲子晶體中傳播時會與聲子晶體的周期結構發(fā)生相互作用，會產(chǎn)生帶隙現(xiàn)象。在聲子晶體中引入缺陷體后禁帶中會形成缺陷模，與缺陷模頻率共振的彈性波可以通過聲子晶體。由于利用聲子晶體的帶隙可以十分方便地控制彈性波的傳播，因此聲子晶體在現(xiàn)代科學技術上有著十分廣泛的應用。

聲波和熱波都可以被描述為通過原子晶格傳輸?shù)膹椥圆?，類比于聲子晶體，Martin Maldovan在2013年又提出了熱子晶體的概念[2]，通過改變材料參數(shù)以及讓晶格常數(shù)為納米級情況下可以制作出熱子晶體。由于彈性波和熱波都是彈性波，彈性波和熱波可以使用相同數(shù)值計算方法。然而，它們之間的一個區(qū)別在于，大多數(shù)彈性波在低頻（千赫）下振蕩，而大多數(shù)熱振動在高頻率（太赫茲）下振蕩。目前研究彈性波的理論方法很多，主要有轉移矩陣法[3-5]、平面波展開法[5，6]、有限元法[7]和多重散射法。本文首先在簡單二元組熱子晶體結構AB中周期的摻入第三種介質(zhì)形成ABCAB摻雜三元組周期結構，然后利用轉移矩陣發(fā)和布洛赫原理推導出該摻雜結構的色散關系式，并與簡單二元組熱子晶體結構的仿真進行對比，并且同時改變了雜質(zhì)層厚度和晶格常數(shù)，研究雜質(zhì)層厚度和晶格常數(shù)對第一禁帶的影響。

1 模型與計算原理

1.1 簡單二元組結構模型

圖1是一維熱子晶體的一個周期結構示意圖，兩種不同彈性常數(shù)和密度的材料A和材料B在x方向上排列形成一維周期二元組結構，a1和a2分別表示材料A和材料B在一個周期中的厚度，a=a1+a2為晶格常數(shù)。

1.2 周期摻雜三元組結構模型

當在二元組結構中周期的摻入第三種材料C，形成周期摻雜的熱子晶體的一個周期，其結構如圖2，將“ABCAB”稱為一個超周期，相應的將“AB”稱為一個內(nèi)周期，每個超周期內(nèi)包含兩個內(nèi)周期，其中a為晶格常數(shù)，a1、a2、a3、a4、a5 為各組元的厚度。

2 結果與分析

2.1與二元組結構的對比

兩種結構的晶格常數(shù)a分別2 nm和5 nm，簡單二組元熱子晶體結構為圖1，其中A和B的厚度為1 nm，周期摻雜熱子晶體結構如圖2，各個組元厚度也為1 nm，選取的材料如表1：

根據(jù)式（1）可以仿真得到簡單二組元結構的能帶圖3，根據(jù)式（12）可以仿真得到周期摻雜三元組結構的能帶圖4。從圖3中可以看到簡單二元組結構的第一禁帶的起始頻率為513.3GHz，截止頻率為1185.5GHz，帶隙寬度為672.2GHz；從圖4中可以得到周期摻雜三組元結構的第一禁帶的起始頻率為184.1GHz，截止頻率為364.1GHz，帶隙寬度為180.0GHz；與簡單二組元結構相比，在各個材料厚度不變的情況下，周期摻雜三組元結構能夠大大降低第一禁帶的起始和截止頻率以及第一禁帶的帶寬，這對降低熱子晶體帶寬以及熱能傳輸研究有重大的意義。

2.2 周期摻雜介質(zhì)厚度對第一禁帶的影響

為了研究介質(zhì)C的厚度對第一禁帶的影響，將介質(zhì)C的厚度從1nm以0.5nm的間隔增加到3nm，材料A和B的厚度相同，根據(jù)周期摻雜三元組結構的色散關系，利用Matlab仿真可以得到第一禁帶隨介質(zhì)C厚度變化的曲線圖5。從圖5中我們可以得到隨著摻雜材料銅厚度的增加，周期摻雜三元組結構的第一禁帶的起始頻率緩慢的減小，而第一禁帶的截止頻率和帶寬卻隨著介質(zhì)C厚度的增加加速增大。

3 結束語

在簡單二元組結構中周期的摻雜介質(zhì)C形成周期摻雜三元組結構，基于傳輸矩陣法和布洛赫原理從理論上推導出該結構的色散關系式，仿真發(fā)現(xiàn)該結構的熱子晶體相比簡單二元組熱子晶體，有更低的第一禁帶起始頻率和截止頻率，利用此性質(zhì)可以應用于低頻傳輸熱能；當改變周期摻雜介質(zhì)銅的厚度時，第一禁帶的起始頻率緩慢的減少，第一禁帶的截止頻率和帶寬隨著厚度增加而快速增加；當逐漸增加晶格常數(shù)a時，第一禁帶的起始頻率、截止頻率、帶寬都逐漸減??；周期摻雜三元組熱子晶體的這些性質(zhì)對熱傳輸、熱能發(fā)電、熱功能器件有著一定的參考意義。

參考文獻：

[1]M. S. Kushwaha， P. Halevi， G. Martí， et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. International Journal of Modern Physics B， 1993，10（09）：977-1094.

[2]Maldovan M. Narrow low-frequency spectrum and heat management by thermocrystals[J]. Physical Review Letters， 2013，110（2）：025902.

[3]朱敏，方云團，沈廷根.一維聲子晶體缺陷態(tài)的研究[J].人工晶體學報，2005，34（3）：536-541.

[4]Cao Y， Hou Z， Liu Y. Convergence problem of plane-wave expansion method for phononic crystals[J]. Physics Letters A， 2004，327（2）：247-253.

[5]郁殿龍.基于聲子晶體理論的梁板類周期結構振動帶隙特性研究[D].國防科學技術大學，2006.

[6]溫激鴻.聲子晶體振動帶隙及減振特性研究[D].國防科學技術大學，2005.

[7]郁殿龍，劉耀宗，邱靜，等.一維聲子晶體振動特性與仿真[J].振動與沖擊，2005，24（2）：92-94.

[8]Cai L W， Jr J H W. Large-scale multiple scattering problems[J]. Ultrasonics， 1999，37（7）：453-462.

[9]Liu Z， Chan C T， Sheng P， et al. Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects： Theory and experiment[J]. Physical Review B， 2000，62（4）：2446-2457.