趙文才 劉洪霞 包云霞

[摘 要]APOS理論為數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)。以“梯度”為教學(xué)案例，可以探索以問題驅(qū)動的混合式教學(xué)模式改革，鼓勵學(xué)生從實際問題出發(fā)，充分利用優(yōu)質(zhì)課程資源自主探究學(xué)習(xí)。通過活動、過程、對象、圖式等階段的逐層構(gòu)建，可以幫助學(xué)生完成對梯度概念的完整認知。

[關(guān)鍵詞]APOS理論；混合式教學(xué)模式；問題驅(qū)動；教學(xué)案例；梯度

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）03-0061-04

○、引言

20世紀90年代，美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Dubinsky）在研究數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中提出了APOS理論。APOS理論認為，高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生分層主動建構(gòu)的過程。首先，通過“活動”（actions）讓學(xué)生親身體驗和感受問題的直觀背景、概念間的關(guān)系。其次，通過“過程”（processes）讓學(xué)生對活動階段進行反思，經(jīng)過描述、內(nèi)化和抽象，得出概念所特有的性質(zhì)。再次，通過“對象”（objects）讓學(xué)生認識概念的本質(zhì)，并賦予形式化的定義和符號，使其成為一個具體的對象并以此為對象進行新的活動。最后是“圖式”（schemas）階段，通過長期的學(xué)習(xí)和完善，讓學(xué)生建立起與其他概念、圖形和規(guī)則的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程中，學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)發(fā)揮了重要作用。

“梯度”是多元函數(shù)微分學(xué)的重要概念，是刻畫多元函數(shù)變化率的重要工具，在解決許多實際問題中具有廣泛應(yīng)用。在學(xué)習(xí)“梯度”概念之前，學(xué)生已掌握了導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)以及向量的數(shù)量積等知識。如何幫助學(xué)生順利實現(xiàn)已有知識結(jié)構(gòu)到新知識的遷移，從而掌握梯度概念的本質(zhì)以及與方向?qū)?shù)的關(guān)系，是本節(jié)課要解決的主要問題。

一、教學(xué)目標

課程教學(xué)包括知識目標、能力目標、情感目標等三個方面。

1.知識目標：理解和掌握梯度概念與計算方法；掌握梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系；理解梯度的幾何意義。

2.能力目標：培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及理論聯(lián)系實際的能力。

3.情感目標：引導(dǎo)學(xué)生主動從現(xiàn)實生活中提煉數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的價值與應(yīng)用，形成主動學(xué)習(xí)的態(tài)度，提高學(xué)習(xí)積極性。

二、教學(xué)策略

1.采用線上線下相融合的混合式教學(xué)模式。課前線上學(xué)習(xí)、小組討論，課上教師講解、同學(xué)匯報，師生討論、深化提高。

2.采用以問題為驅(qū)動的教學(xué)策略。從警犬尋找毒品、螞蟻逃生等實際問題引入，圍繞下列問題漸次展開。第一，什么是梯度？如何進行計算？第二，梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系如何？第三，梯度的幾何表示。

3.課堂教學(xué)突出重點。由方向?qū)?shù)的計算公式推導(dǎo)出方向?qū)?shù)是兩個向量的數(shù)量積，從中引出梯度概念。進一步利用數(shù)量積的定義，討論梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系，使學(xué)生掌握梯度就是一個向量的本質(zhì)內(nèi)涵，沿梯度方向，函數(shù)增長最快。

4.采用實例教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。利用生活中的警犬尋毒、螞蟻逃生來引入梯度，讓學(xué)生理解梯度的含義，引導(dǎo)學(xué)生主動思考和應(yīng)用梯度概念。

三、教學(xué)過程

（一）活動（actions）階段——概念引入

新概念的引入應(yīng)充分考慮學(xué)生的身心發(fā)展和認知基礎(chǔ)，體現(xiàn)直觀性與可接受性原則。建構(gòu)主義理論認為，此時學(xué)生尚處于概念直覺的“活動”階段。教學(xué)中一般應(yīng)從具體問題或數(shù)學(xué)自身矛盾出發(fā)，通過具體實例讓學(xué)生體驗、感受新概念的具體背景，激發(fā)求知欲和創(chuàng)造力，主動去構(gòu)建新知識。警犬尋找毒品、螞蟻逃生等均為現(xiàn)實生活中的真實問題，作為梯度引入的具體背景，學(xué)生易于接受，探索問題背后蘊含的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生興趣盎然。

師生共同分析：根據(jù)動物本能，警犬一定沿著氣味濃度增加最快的方向搜尋毒品，而螞蟻一定沿著溫度下降最快的方向逃離石板。如何描述函數(shù)變化最快的方向？這就是梯度，從而引出本節(jié)教學(xué)內(nèi)容。

板書本節(jié)課的主要問題（后續(xù)教學(xué)緊緊圍繞這三個問題展開）：

第一，什么是梯度？

第二，梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系如何？

第三，梯度的幾何表示與應(yīng)用。

（二）過程（processes）階段——內(nèi)涵闡釋

學(xué)生通過對實際問題的思考，也就是通過對活動階段進行反思、內(nèi)化、壓縮等一系列思維過程，初步抽象出新概念的內(nèi)涵和性質(zhì)，歸納出概念的基本定義。采用線上線下相融合的混合式教學(xué)模式，鼓勵學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，對梯度概念進行充分預(yù)習(xí)，形成初步印象。通過小組討論，發(fā)現(xiàn)問題。教師利用課堂進行引導(dǎo)、深化和提高。在這一過程中充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

任何新知識的產(chǎn)生，都有其內(nèi)在發(fā)展變化的規(guī)律，新舊知識之間一定存在千絲萬縷的聯(lián)系，絕不是“無源之水、無本之木”，更不是“天上掉下個林妹妹”。教師的作用就是幫助學(xué)生建立新舊知識的橋梁，順利實現(xiàn)從原有知識到新知識的遷移，完成對新知識的構(gòu)建。為了幫助學(xué)生實現(xiàn)“梯度”概念的構(gòu)建，就需要建立與已有知識的聯(lián)系。經(jīng)過“活動”階段，學(xué)生已經(jīng)形成直觀印象，“梯度”應(yīng)該是函數(shù)增長最快的方向。進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：哪些概念可以描述函數(shù)變化的快慢？我們知道，偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標軸方向的變化率，而方向?qū)?shù)則表示沿給定方向的變化率。若函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）可微，則函數(shù)在該點沿任意方向=（cos？琢，cos？茁）的方向?qū)?shù)存在，且有

=fx（x0，y0）cos？琢+fy（x0，y0）cos？茁.

引導(dǎo)學(xué)生觀察方向?qū)?shù)的計算公式，不難發(fā)現(xiàn)，如果引入矢量

fx（x0，y0）=fx（x0，y0）+fy（x0，y0），

則有fx（x0，y0）· =fx（x0，y0）cos？茲.

進一步啟發(fā)學(xué)生思考：哪一個方向函數(shù)變化最快？也就是方向?qū)?shù)最大？答案是顯而易見的，“梯度”概念的引出，也就水到渠成了。

由于同學(xué)們課前進行了網(wǎng)上學(xué)習(xí)，有同學(xué)主動要求匯報。學(xué)生在黑板上給出了梯度概念并結(jié)合下列題目進行求解。

例1 已知f（x，y）=xy，計算f（1，-1）.

教師：該同學(xué)講解清晰，課前進行了認真準備。例1討論的是二元函數(shù)的情況，對三元函數(shù)，又該如何定義梯度呢？

有學(xué)生回答：三個偏導(dǎo)數(shù)為坐標構(gòu)成的向量。也就是說，對于三元函數(shù)u=f（x，y，z），該函數(shù)在點P0（x0，y0，z0）的梯度為

教師總結(jié)：梯度就是以偏導(dǎo)數(shù)為坐標構(gòu)成的向量，幫助學(xué)生完成“梯度”概念本質(zhì)內(nèi)涵的把握，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的初步遷移，完成對“梯度”概念的初步建構(gòu)。

（三）對象（objects）階段——梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系

通過前面的直覺、抽象，逐步認識了概念的本質(zhì)，并賦予了形式化的定義和符號，使其成為一個獨立的精致化的“對象”。經(jīng)過“對象”階段之后，新概念呈現(xiàn)出一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，便于整體進行把握和使用。

下面將梯度上升為一個獨立的“對象”來研究，討論與方向?qū)?shù)的關(guān)系。本部分內(nèi)容由學(xué)生根據(jù)線上學(xué)習(xí)情況匯報，梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系完全取決于夾角，經(jīng)學(xué)習(xí)小組其他同學(xué)完善，得到下表：

顯然，該組同學(xué)課前進行了深入學(xué)習(xí)和探討，自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新意識較強。為了進一步鞏固梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系，由另一小組匯報教材下列例題的求解方法。

例2 已知函數(shù)f（x，y）=與P（1，1）點， 計算：（1） f（x，y）在P處增加最快的方向及沿該方向的方向?qū)?shù)；（2）f（x，y）在P點減少最快的方向及沿該方向的方向?qū)?shù)；（3）f（x，y）在P處的變化率為零的方向。

小組推舉一人進行課堂匯報，因課前進行了線上學(xué)習(xí)和組內(nèi)討論，學(xué)生能夠很好地給出題目的解答過程。該函數(shù)為旋轉(zhuǎn)拋物面，教師進一步從幾何直觀加以解釋和拓展，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何利用幾何直觀表示出梯度向量？從而為下一階段的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（四）圖式階段（schemas）階段——梯度的幾何表示與應(yīng)用

在經(jīng)過活動、過程、對象等三個階段之后，學(xué)生通過建構(gòu)、反思形成認知圖式。認知圖式要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動來完善。初級的圖式包含定義、符號以及反映概念的特例、抽象過程等內(nèi)容。經(jīng)過后續(xù)學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系， 在頭腦中形成綜合的心理圖式。在梯度概念的教學(xué)過程中， 通過揭示與向量、內(nèi)積、方向?qū)?shù)等概念之間的關(guān)系，加深對梯度概念的理解和把握， 從而形成心理圖式和數(shù)學(xué)意識。通過梯度的具體應(yīng)用，提高分析解決實際問題的能力。

為了能建立“梯度”概念的完整圖式，先來看梯度的幾何意義。由例2不難發(fā)現(xiàn)，梯度方向恰好是曲線的=c一個法向量，從而引出等高線（也稱等值線）的概念。推廣到一般情況，得出梯度的幾何表示。

結(jié)合圖3，教師及時提出質(zhì)疑：等高線f（x，y）=c在P點有兩個法向量，梯度應(yīng)該是哪一個法向量呢？由于梯度是函數(shù)增長最快的方向，因而一定指向較高的等值線。及時幫助學(xué)生辨析，去掉歧義，實現(xiàn)概念的準確建構(gòu)。

教師：請同學(xué)們思考，對于三元函數(shù)，如何用幾何直觀表示梯度？

學(xué)生： 等值面的法向量。

教師： 法向量的方向有兩個，應(yīng)該是哪一個？教師適時加以引導(dǎo)，運用類比推理方法，完成知識的進一步拓展。經(jīng)課堂共同討論后得出結(jié)論：指向數(shù)值較大的等值面。

為了進一步深化對梯度的認識，提高運用所學(xué)知識分析解決問題的能力，下面來看梯度的具體應(yīng)用。如何求解警犬的搜索路徑？

例3 已知毒品氣味濃度在地表平面上的分布函數(shù)為

警犬從（x0，y0）處沿氣味最濃的方向搜索毒品，求警犬搜索的路線。

師生共同分析：若設(shè)搜索路線為y=y（x），則求解搜索路線的關(guān)鍵是建立路徑所滿足的微分方程。如何建立所滿足的微分方程？引導(dǎo)學(xué)生思考警犬的前進方向。由課題的引入，警犬一定沿著氣味濃度增加最快的方向，也就是梯度方向搜尋毒品。而函數(shù)f（x，y）=e- （x+2y）在任意點P（x，y）處的梯度為

f（x，y）=fx（x，y）+fy（x，y）=2e- （x+2y）（x+2y），

因此，該梯度方向就是警犬前進的速度方向，也就是曲線y=y（x）在任意點P（x，y）處的切線方向。而切線方向為

=dx，dy.

于是f（x，y）∥，由此得出，y=y（x）所滿足的微分方程為

=y（x0）=y0

這是一個變量可分離方程，不難求解得

y=x.

顯然，這是一條拋物線。由濃度函數(shù)f（x，y）=e- （x+2y）不難看出，f（0，0）=1為最大值。因此，警犬從（x0，y0）處沿拋物線到達原點，從而找到毒品的藏匿位置。

該題前后呼應(yīng)，讓學(xué)生體會知識的應(yīng)用和價值，培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識分析解決問題的能力。警犬搜索毒品這樣的現(xiàn)實問題，借助于數(shù)學(xué)，就可以得到完美的解決，進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（五）內(nèi)容總結(jié)

課堂總結(jié)復(fù)習(xí)，回顧梯度的定義， 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系以及梯度的幾何表示?！疤荻取备拍畹慕虒W(xué)過程如下：

為了幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的拓展與升華，給出下列思考題：

（1）已知石板的溫度分布函數(shù)為T=80-2x2-y2-x，求螞蟻的逃生路徑。

（2）例3研究的是平面搜索問題，若毒品藏在大山之中，警犬的搜索路徑又該如何求解呢？例如，已知毒品氣味濃度函數(shù)為

f（x，y，z）=e- （x+2y+z），

求搜索路徑？

第一題用來呼應(yīng)課題引入的另一個實際問題，這仍是一個二維平面問題，學(xué)生受到例題3的啟發(fā)，應(yīng)該容易解決。第二題推廣到三維空間，難度較大，具有挑戰(zhàn)性。學(xué)生成功解決二維搜索問題之后，已體驗到成功的快樂，一定會向三維搜索問題發(fā)起沖擊。

四、教學(xué)反思

課題教學(xué)從警犬搜索毒品、螞蟻逃生等實際問題引入，圍繞問題展開討論，最后以解決問題結(jié)束，前后呼應(yīng)得當。教學(xué)案例以APOS理論作為具體指導(dǎo)，采用了線上線下相融合的混合式教學(xué)模式，學(xué)生通過課前線上學(xué)習(xí)，課堂匯報， 充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。該教學(xué)方法得到基礎(chǔ)較好學(xué)生的廣泛贊同。但部分同學(xué)參與程度不高，線上學(xué)習(xí)不到位。該教學(xué)方法對部分基礎(chǔ)較差、學(xué)習(xí)主動性不強的學(xué)生不適合，容易造成掉隊。

[ 參 考 文 獻 ]

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[責(zé)任編輯：林志恒]