于千 高雪芬

[摘 要]文章選取中國同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》教材與美國培生教育出版集團(tuán)出版的Varberg等人編寫的《微積分》進(jìn)行比較研究。比較兩種教材的內(nèi)容編排、結(jié)構(gòu)特征與習(xí)題難度，利用綜合難度模型，分別從探究、背景、運(yùn)算、推理、知識含量五個難度因素進(jìn)行兩本教材習(xí)題綜合難度的量化分析比較，得出各個維度的難度差異，為我國微積分教材編寫提供借鑒。

[關(guān)鍵詞]微積分；教材比較；難度模型；習(xí)題

[中圖分類號] G40-059.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）03-0007-04

微積分（高等數(shù)學(xué)）是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是理工科各專業(yè)和經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)學(xué)生的必修課，微積分課程的教學(xué)質(zhì)量直接關(guān)系到一所大學(xué)學(xué)生的培養(yǎng)質(zhì)量，而微積分的教學(xué)質(zhì)量與微積分教材密切相關(guān)。

近年來，各國對微積分教材與教學(xué)改革均比較重視。Torner等人[1]研究了歐洲國家的微積分課程，發(fā)現(xiàn)微積分課程內(nèi)容逐漸減少，并且更多地以非形式化的語言呈現(xiàn)。在歐洲大多數(shù)國家，數(shù)字化工具的使用已經(jīng)開始融入微積分教學(xué)。然而在另一些國家，微積分課程依然采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，側(cè)重于運(yùn)算方面的知識。Sofronas等人[2]研究了“近似思想”是否應(yīng)該作為微積分的核心概念，Briana等人[3]強(qiáng)調(diào)了微積分教材中多重表征協(xié)調(diào)使用的重要性。

隨著國際化辦學(xué)的發(fā)展，越來越多的國內(nèi)學(xué)者開始關(guān)注中美微積分教材的比較研究。相對來說，美國微積分教材起點(diǎn)低、入門快，淡化了技巧，強(qiáng)化了原理，但是加速度大，騰飛快，跨度大[4]；在概念引入方式上美國教材一方面揭示了新概念的思想實(shí)質(zhì)，另一方面通過豐富的信息量給學(xué)生留下了進(jìn)一步思考的空間[5]。

作為在美國大學(xué)中使用較廣泛的微積分教材，Varberg等人編寫的Pearson Education Inc.出版的《微積分》（第九版）[6]具有重視應(yīng)用，便于自學(xué)，強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)，這一點(diǎn)與我國許多現(xiàn)行的理工科微積分教材比較類似，它在美國是一本風(fēng)格獨(dú)特的教材。然而，目前國內(nèi)還鮮有這本教材的研究，所以本文選取中國應(yīng)用廣泛的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》[7]與之進(jìn)行比較，并以微分學(xué)為例，研究二者在內(nèi)容編排、習(xí)題難度等方面的異同。

一、知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)比較

從整體結(jié)構(gòu)來看，兩本教材的章節(jié)大致是對應(yīng)的?！陡叩葦?shù)學(xué)》微分學(xué)主要由“導(dǎo)數(shù)與微分”、“微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”及“多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用”三章構(gòu)成；而《微積分》中微分學(xué)主要由“導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”、“超越函數(shù)”以及“多元函數(shù)的微分”四章構(gòu)成。兩本教材都涉及從一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用到二元及多元函數(shù)的應(yīng)用情況，但在具體的知識單元內(nèi)部卻有諸多不同。本文選取微分部分內(nèi)容較為典型的三個知識單元進(jìn)行知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)的比較分析。

（一）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

這一部分的不同在于，《高等數(shù)學(xué)》第2章中給出了初等函數(shù)的全部求導(dǎo)公式，而《微積分》在第2章中只研究了冪函數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于其他初等函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及相關(guān)運(yùn)算是在第6章超越函數(shù)進(jìn)行介紹?！段⒎e分》這種教學(xué)內(nèi)容的安排有利于學(xué)習(xí)者更容易地接受導(dǎo)數(shù)的概念和相關(guān)計(jì)算方法，并快速入門。

（二）微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

《高等數(shù)學(xué)》第3章第1節(jié)微分中值定理部分，按照羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的順序，詳細(xì)闡述了三個中值定理，層層遞進(jìn)、由易到難，然后基于三個中值定理來介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

而《微積分》第3章中先學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值等導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，之后才是微分中值定理，并且只講授了拉格朗日中值定理，同時用拉格朗日定理補(bǔ)證了單調(diào)性定理。而直到第8章第1節(jié)在證明未定式0/0型時才引入柯西中值定理。書中提到“洛必達(dá)法則的證明是柯西對微分中值定理的延伸……”，也就是說，在需要柯西中值定理的時候，它巧妙地出現(xiàn)了。

由此可以看出，《高等數(shù)學(xué)》更加注重?cái)?shù)學(xué)知識的體系完整性，更加偏向于按照數(shù)學(xué)知識的邏輯性來編排教材。而作為對照，《微積分》則更加注重按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和認(rèn)知方式，循序漸進(jìn)地安排教學(xué)內(nèi)容，螺旋式地編排教材。

（三）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與極限部分

在多元函數(shù)部分，《高等數(shù)學(xué)》的編排先由多元函數(shù)的極限、連續(xù)再到偏導(dǎo)數(shù)的定義，而《微積分》則先講授多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，然后才是函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在和連續(xù)的概念。教材編者認(rèn)為偏導(dǎo)數(shù)是一個相對簡單的概念，只需研究在某一鄰域內(nèi)的兩個方向，而極限和連續(xù)概念則需考慮所有方向，所以對于學(xué)生來說，極限和連續(xù)的概念更難。這一點(diǎn)也體現(xiàn)了美國數(shù)學(xué)教材編寫中由易到難、從特殊到一般的原則。

二、習(xí)題綜合難度比較

本文采用綜合難度模型[8]，分別根據(jù)探究、背景、運(yùn)算、推理、知識含量五個難度因素的不同水平對兩本微積分教材微分導(dǎo)數(shù)章節(jié)部分的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，然后利用下列公式計(jì)算教材樣本題組的加權(quán)平均值：

di=（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3…）

其中，di（i=1，2，3，4，5）表示在第i個難度因素上的加權(quán)平均值；dij表示第i個難度因素的第j個水平權(quán)重（即依水平分別取1，2，3，4）；nij則表示選取的樣本題組中第i個難度因素的第j個水平的習(xí)題數(shù)；n是選取的樣本題組的總數(shù)，且對于任意的i，有nij=n。

本文選取了兩本教材中第2章導(dǎo)數(shù)的全部習(xí)題作為樣本進(jìn)行研究，統(tǒng)計(jì)《高等數(shù)學(xué)》與《微積分》第2章共2000多道習(xí)題在每個難度因素上的分值，據(jù)此分析兩本教材在五個難度因素上的綜合難度。

（一）探究因素

整體上，兩本教材的習(xí)題理解水平上的題目最多，其次是識記，之后是應(yīng)用與探究，這是其共同點(diǎn)。而《高等數(shù)學(xué)》除了在理解水平上的題目多過《微積分》外，其余三個水平的題目百分比均少于美國教材，尤其是在應(yīng)用和探究水平上。這說明《微積分》在不同水平上的題目更加均衡，更加重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、解決實(shí)際問題以及探究學(xué)習(xí)的能力。而且《微積分》教材在應(yīng)用和探究水平上的習(xí)題絕對數(shù)量較大，為教學(xué)提供了豐富的題型案例。

（二）背景因素

兩本教材都是無背景的習(xí)題較多，純數(shù)學(xué)語言描述的題目占大多數(shù)，但是，兩本教材在背景因素的個人生活水平上具有較大差異，《微積分》在這個水平上的題目百分比更高，說明《微積分》更加重視習(xí)題與學(xué)生生活經(jīng)歷的聯(lián)系，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

（三）運(yùn)算因素

兩本教材的題目百分比都按照無運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算、簡單符號運(yùn)算的順序遞增，但是，到復(fù)雜符號運(yùn)算部分，《微積分》卻陡降，說明美國教材中的習(xí)題大部分止步于簡單符號運(yùn)算，而相對來說，《高等數(shù)學(xué)》的復(fù)雜符號運(yùn)算水平的習(xí)題百分比高出《微積分》較多，說明中國習(xí)題運(yùn)算難度更高，對學(xué)生運(yùn)算能力要求更高，需要學(xué)生對公式、法則熟練掌握并靈活運(yùn)用。同時，《微積分》有更多包含數(shù)值運(yùn)算的題目，還有很多估算和近似計(jì)算題目，這說明《微積分》更加鼓勵和培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”[6]。而這一點(diǎn)在《高等數(shù)學(xué)》教材中體現(xiàn)得較少。

（四）推理因素

兩本教材習(xí)題在推理程度上差異不大。兩本教材中考察推理能力的習(xí)題數(shù)目（包括簡單推理水平和復(fù)雜推理水平）所占總題數(shù)的百分比較少。證明題是考察學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的主要題型，需要學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理，甚至需要一定的數(shù)學(xué)思想方法才能求解。數(shù)據(jù)表明《微積分》導(dǎo)數(shù)這一章所含有的證明題數(shù)目比《高等數(shù)學(xué)》更多，更加注重考察學(xué)生推理能力，而《高等數(shù)學(xué)》第2章的習(xí)題多集中于計(jì)算題，證明題較少。

（五）知識含量因素

從圖中可以看出一個很有趣的現(xiàn)象：《高等數(shù)學(xué)》知識點(diǎn)數(shù)目和相應(yīng)的百分比是遞增的，也就是說，知識含量多的題目占比多；而《微積分》則是遞減的，并且更加平緩。這說明《微積分》兼顧微積分的入門與提高，為新手提供了大量題型豐富的習(xí)題來鞏固基礎(chǔ)，同時也設(shè)置了綜合性較強(qiáng)的習(xí)題供學(xué)生進(jìn)一步提高，這種習(xí)題設(shè)置方式會使微積分學(xué)習(xí)新手更容易地入門、更快地上手，《高等數(shù)學(xué)》的大部分習(xí)題則需要學(xué)習(xí)者有相對較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

（六）綜合難度的比較

上文對各因素進(jìn)行了逐一比較，接下來根據(jù)各因素的加權(quán)平均值畫出雷達(dá)圖，來比較習(xí)題的綜合難度。可以看出，二者都比較注重運(yùn)算能力，但《高等數(shù)學(xué)》教材中習(xí)題的運(yùn)算難度和知識含量遠(yuǎn)高于《微積分》；而在探究、背景和推理方面，《微積分》的百分比都略高于《高等數(shù)學(xué)》。

三、結(jié)論與啟示

（一） 《高等數(shù)學(xué)》更重視知識的邏輯性與系統(tǒng)性，而《微積分》更注重考慮學(xué)生的接受程度

在具體知識單元的編排順序上中美兩國教材差異較大。如中國教材將三個中值定理按照邏輯順序安排在同一節(jié)中，按照先理論后實(shí)踐的順序編排，而美國教材中卻將兩個中值定理分別放在第3章和第8章遙相呼應(yīng)，因?yàn)槊绹滩闹兄兄刀ɡ聿皇亲鳛橐粋€完整的節(jié)來呈現(xiàn)的，而是分別作為單調(diào)性定理和洛必達(dá)法則的兩個理論依據(jù)出現(xiàn)的。類似的還有導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、多元函數(shù)連續(xù)性的定義等，都與中國教材的編排順序存在較大差異。

（二）《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題運(yùn)算程度和知識含量較高，而《微積分》在探究、背景、推理方面的百分比較高

《高等數(shù)學(xué)》在運(yùn)算和知識含量因素方面要高于《微積分》習(xí)題?！段⒎e分》需要數(shù)學(xué)運(yùn)算的習(xí)題絕對數(shù)量較大，但是公式的復(fù)雜度和運(yùn)用的靈活性不及《高等數(shù)學(xué)》。《微積分》的習(xí)題知識含量少的題目更多，而《高等數(shù)學(xué)》的習(xí)題知識含量高的占比更大。

但是《高等數(shù)學(xué)》在探究、背景、推理三個因素上水平低于《微積分》?！陡叩葦?shù)學(xué)》無背景的純數(shù)學(xué)問題占絕大多數(shù)，而《微積分》和實(shí)際生活有聯(lián)系的習(xí)題比重比《高等數(shù)學(xué)》大。特別是，《微積分》的習(xí)題比較注重和個人生活的聯(lián)系。兩本教材都沒有設(shè)置太多證明題或推理題，相比較來說，《微積分》的證明題和推理題占比更大。

（三）中國教材可以適當(dāng)增加習(xí)題量，尤其是應(yīng)用、探究問題

總體來說，美國教材的習(xí)題量遠(yuǎn)大于中國教材的習(xí)題量，《微積分》中有更多的應(yīng)用、探究問題。而且，美國教材除了課后習(xí)題、章節(jié)總復(fù)習(xí)外，在每一章的開始，還有預(yù)習(xí)題目，這些題目來自于先修的章節(jié)或者是部分先修課程，如來源于高中的代數(shù)，或者是前面幾章所學(xué)的內(nèi)容。這樣，學(xué)生在學(xué)新知識的時候，自然可以將其與以前所學(xué)知識建立起聯(lián)結(jié)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：鐘 嵐]