馮大學(xué)

[摘 要] 復(fù)習(xí)課不僅僅是簡(jiǎn)單的歸納總結(jié)，不僅僅是本章知識(shí)點(diǎn)的堆砌，而應(yīng)該是總結(jié)加提升，尤其是解題能力的提升，應(yīng)該在章節(jié)教學(xué)之初就有整個(gè)章節(jié)的整體設(shè)計(jì). 章節(jié)復(fù)習(xí)課應(yīng)該是章節(jié)教學(xué)的壓軸戲.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)課；能力提升；整體設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)課教學(xué)功能初探

復(fù)習(xí)課，許多老師說(shuō)好上但又難上好，其根本原因是復(fù)習(xí)課的定位問題. 復(fù)習(xí)課應(yīng)該有兩個(gè)主要功能，一是把書讀薄，能夠歸納、總結(jié)出本章節(jié)的主要內(nèi)容和主要數(shù)學(xué)思想方法，而傳統(tǒng)的做法往往是教師歸納總結(jié)，學(xué)生顯然興趣不高. 筆者長(zhǎng)期采用“不預(yù)習(xí)下的發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法”，即在新課授課時(shí)不準(zhǔn)學(xué)生預(yù)習(xí)，課堂上更多的關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，更多的帶領(lǐng)學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在這些發(fā)現(xiàn)的過程中既訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力，又增強(qiáng)了他們的自信心. 每次課后作業(yè)，首先讓學(xué)生看書總結(jié)，為此，復(fù)習(xí)課始終堅(jiān)持讓學(xué)生自己總結(jié)，看著目錄總結(jié). 復(fù)習(xí)課的第二個(gè)功能是思想方法的總結(jié)、提升，解題能力的提升. 僅僅是回憶和歸納總結(jié)，沒有深化和提升的復(fù)習(xí)課，筆者認(rèn)為不是一節(jié)好課. 為此，在章節(jié)新課之初，就應(yīng)有整體規(guī)劃和設(shè)計(jì). 實(shí)際上，現(xiàn)在很多專家和一線教師都更注重章節(jié)或單元的整體設(shè)計(jì)，而不僅僅是單課時(shí)設(shè)計(jì)，以確保復(fù)習(xí)課讓學(xué)生的能力有進(jìn)一步的提升，真正讓復(fù)習(xí)課變成章節(jié)的壓軸戲. 2016年11月，筆者按照這種思路設(shè)計(jì)與上課，并將所上復(fù)習(xí)課錄像后上傳參加“一師一優(yōu)課，一課一名師”活動(dòng)，榮獲教育部“優(yōu)課”稱號(hào)，現(xiàn)以此課為例，對(duì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)談?wù)劸唧w想法. 由于整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容不多，筆者便先呈現(xiàn)完整的設(shè)計(jì)，再略述.

一節(jié)具體的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

這節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)內(nèi)容為“基本幾何圖形”的復(fù)習(xí).

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：通過復(fù)習(xí)，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)幾何問題之間的關(guān)系，以及有關(guān)的解題思路，提高學(xué)生的思維水平.

（2）過程與方法：通過對(duì)已學(xué)有關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)、問題解法的回憶，及進(jìn)一步深化探究，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)得到新的共同規(guī)律，從而進(jìn)一步增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力.

（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：引導(dǎo)學(xué)生在類比、猜測(cè)等數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)探索、交流、成功與提升的喜悅，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、驗(yàn)證、推理的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度.

2. 教學(xué)重點(diǎn)

復(fù)習(xí)本章主要內(nèi)容，理清它們的相互關(guān)系，并對(duì)有關(guān)方法進(jìn)行深化、總結(jié).

3. 教學(xué)難點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生通過類比，想到解決復(fù)雜幾何問題的突破口.

4. 教學(xué)過程

（1）回憶與鞏固：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照書本目錄，回憶本章所學(xué)內(nèi)容，注意重點(diǎn)問題和容易錯(cuò)的問題.

①線段、射線、直線；

②比較線段的長(zhǎng)短；

③角；

④角的比較；

⑤多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí).

整章節(jié)的內(nèi)容可簡(jiǎn)單概括為圖1.

這里有許多可以通過對(duì)比來(lái)理解、掌握的地方. 表1是我們已經(jīng)做過的兩道題，不知道同學(xué)們是否能發(fā)現(xiàn)它們類似的地方.

（2）提升？搖

從這章開始，我們會(huì)逐步接觸幾何計(jì)算和幾何推理，下面，我們來(lái)看看我們做過的一道題. 當(dāng)時(shí)還留有思考題，本學(xué)期筆者也反復(fù)強(qiáng)調(diào)要做題后的再思考，筆者希望同學(xué)們能夠通過思考有新的發(fā)現(xiàn).

試題1：一直線上有4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？

思考：（1）一直線上有5個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？

（2）一直線上有n個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條（如圖4）？

你是怎么考慮的？做法的關(guān)鍵是什么

變式1：平面上有n個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條（如圖5）？

變式2：n邊形的對(duì)角線有多少條？

變式3：平面上有n個(gè)點(diǎn)，最多可以確定多少條直線？

試題2：如圖6，這里一共有多少個(gè)角（這里的角是指小于或等于∠A1OAn的角）？

小結(jié)？搖 解決問題的關(guān)鍵是抓住問題的本質(zhì)，也就是是怎么定義的. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)教育名著《怎樣解題》（G·波利亞著）里面有一個(gè)怎樣解題表，他說(shuō)了一句經(jīng)典的語(yǔ)：當(dāng)我們遇到困難時(shí)，回到定義中去.

思考題？搖 圖7是一個(gè)由3×3組成的大正方形，則圖中共有多少個(gè)不完全重疊的長(zhǎng)方形（包括正方形）？如果是由5×4構(gòu)成的長(zhǎng)方形呢（圖8）？如果本身是m×n的長(zhǎng)方形呢？

對(duì)該節(jié)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的說(shuō)明

筆者用慣例“讓學(xué)生看著目錄回憶”的方式開始復(fù)習(xí)，具體上課時(shí)，筆者直接用PPT顯示出目錄，讓學(xué)生回憶主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)一步完善，最后用PPT展示結(jié)構(gòu)圖，這部分內(nèi)容用時(shí)10分鐘左右. 針對(duì)部分教師在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)往往喜歡“高大上”，往往談了許多正確的廢話的情況，筆者的設(shè)計(jì)不說(shuō)廢話，真正切合實(shí)際，“通過對(duì)已學(xué)有關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)、問題解法的回憶，及進(jìn)一步深化探究，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)得到新的共同規(guī)律，從而進(jìn)一步增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力”，強(qiáng)調(diào)在回憶的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究，進(jìn)一步提升. 最初，回憶的兩個(gè)題目是在新課教學(xué)時(shí)做過并詳細(xì)講評(píng)的題目，因?yàn)閯倓偨佑|幾何問題，這兩個(gè)題目又有一定的難度，所以新課時(shí)都做得不夠好，新課講評(píng)時(shí)更多的是分析如何尋求結(jié)論和條件之間的橋梁，如何恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，沒有更多的分析，但在題目設(shè)計(jì)時(shí)，筆者留下了伏筆：特別注意了字母與數(shù)字的設(shè)定，為復(fù)習(xí)課奠定了基礎(chǔ). 果然，在復(fù)習(xí)課時(shí)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了重要的東西：表面上看最關(guān)鍵的是，將試題2中的角度符號(hào)和度數(shù)符號(hào)及字母O去掉后就成了試題1，解答里面的角度和度數(shù)符號(hào)及字母O全部去掉，試題2的解答就成了試題1的解答. 這種強(qiáng)烈的暗示作用，啟發(fā)學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)重新思考本章所學(xué)內(nèi)容在方法論上的相同點(diǎn)，以及思考解決這些問題時(shí)思考方法的相同性. 通過思考，學(xué)生會(huì)在表面相同的情況下發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的類似，發(fā)現(xiàn)解決問題的思維入口，為后續(xù)解題提供幫助，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

提升部分仍需從做過的題目入手，試題1更多的是具體數(shù)，可以分類數(shù)，分類的方法也多種多樣，思考（1）仍然是小變化，和試題1的處理方法可以一樣，思考（2）如果還是按照試題1的分類方法來(lái)做，會(huì)比較困難，迫使學(xué)生重新思考解決問題的方法，最后發(fā)現(xiàn)，用定義，即線段是由兩個(gè)端點(diǎn)唯一確定的來(lái)解決最簡(jiǎn)單，從而得到解法：每個(gè)點(diǎn)可以和另外的（n-1）個(gè)點(diǎn)之一組成一條線段，共（n-1）條，每個(gè)點(diǎn)都這樣，但每條線段被計(jì)算了兩次，于是總線段有n·（n-1）條. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)本質(zhì)后，變式1、變式2和變式3就都迎刃而解了.

由于有前面知識(shí)的回憶與總結(jié)，提升部分試題2的解答也易如反掌，實(shí)際上課中也是如此. 筆者在具體上課時(shí)，發(fā)現(xiàn)最初兩個(gè)做過的題目的規(guī)律和共同點(diǎn)花了8分鐘左右，試題1到變式3結(jié)束也不到15分鐘. 可見，學(xué)生解決后續(xù)問題確實(shí)是勢(shì)如破竹. 復(fù)習(xí)課教會(huì)學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變的目的達(dá)到了.

如果復(fù)習(xí)課僅僅到提升部分試題2就結(jié)束，筆者認(rèn)為深化提高還不夠，因?yàn)檫@里的深化提高更多的還停留在類比階層，于是，筆者先設(shè)計(jì)了一個(gè)小結(jié)，在小結(jié)中把解決問題的突破口歸結(jié)為“從定義出發(fā)”，再設(shè)計(jì)了一個(gè)難度較大的思考題.

這個(gè)題目大部分學(xué)生和部分教師首先想到的可能都是數(shù)，按照一定的分類方式來(lái)數(shù)，然后求和，當(dāng)然，如果按照一定的規(guī)律數(shù)，圖7也沒有問題：面積為1的正方形有9個(gè)，面積為2的長(zhǎng)方形有6+6=12個(gè)，面積為3的長(zhǎng)方形有6個(gè)，面積為4的正方形有4個(gè)，面積為6的長(zhǎng)方形有4個(gè)，面積為9的正方形有1個(gè)，共36個(gè). 但按照這個(gè)方法，圖8就很困難了，而m×n就更沒有辦法了，因?yàn)闊o(wú)法分類. 那是不是就沒有辦法做了呢？筆者希望學(xué)生能夠直接找到問題的本質(zhì)，從而進(jìn)行計(jì)算.

其實(shí)，如果我們注意到所有的長(zhǎng)方形的形成的本質(zhì)在于都是由橫、縱兩個(gè)方向的線段組成的，正如坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)一樣，當(dāng)橫、縱坐標(biāo)唯一確定時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也相應(yīng)唯一確定了，現(xiàn)在我們需要解決的問題是，是不是只要橫、縱兩個(gè)方向的線段確定后所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形就唯一確定了，而這個(gè)問題的答案顯然是肯定的，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)不同方向的線段數(shù)了. 比如圖7，兩個(gè)方向都有不同的線段6條，于是有長(zhǎng)方形6×6=36個(gè).

這樣，圖8就有各種不完全重疊的長(zhǎng)方形150個(gè)，m×n的長(zhǎng)方形就可以有·=個(gè)不完全重疊的長(zhǎng)方形. 這里需要注意的是，m×n的長(zhǎng)方形一個(gè)方向上的最多點(diǎn)是（m+1），而不是m，邊上線段的條數(shù)應(yīng)該是，而不是.

正如筆者所預(yù)料，課堂上，部分學(xué)生5分鐘之內(nèi)就找到了理想的做法. 可見，復(fù)習(xí)課可以提升且甚至可以大幅度提升學(xué)生的能力. 所以，如果我們教學(xué)設(shè)計(jì)恰當(dāng)，復(fù)習(xí)課會(huì)讓學(xué)生能力的提升有一個(gè)質(zhì)的飛躍.

進(jìn)一步思考

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，筆者在回憶學(xué)生做過的問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行深化（提升部分的試題1是做過的），最終發(fā)現(xiàn)這些問題的解決方法基本一樣，所以筆者讓學(xué)生揭開問題的面紗，抓住數(shù)學(xué)問題最核心的本質(zhì)規(guī)律. 比如這節(jié)課的計(jì)數(shù)問題，筆者就希望學(xué)生能夠抓住問題的本質(zhì)：線段是由兩個(gè)端點(diǎn)決定的，角度是由兩條邊決定的. 由于是復(fù)習(xí)課，需要學(xué)生進(jìn)一步提升，所以筆者在線段問題上就設(shè)計(jì)了一個(gè)問題串，且解決這個(gè)問題串的本質(zhì)方法是一樣的.

最近幾年，總有關(guān)于“高效課堂”的思考，筆者認(rèn)為，這其實(shí)是關(guān)于教學(xué)價(jià)值的思考. 教學(xué)價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂，它所回答的問題就是為什么而教，也決定著教什么、如何教. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是一章的收尾，即收官之作，因此，筆者覺得在新課時(shí)就應(yīng)規(guī)劃好什么時(shí)候講什么、怎么講、講到什么程度. 我們知道，要教給學(xué)生知識(shí)，因?yàn)橹R(shí)是基礎(chǔ)，要實(shí)現(xiàn)任何目標(biāo)都離不開知識(shí). 愛因斯坦曾說(shuō)過：“當(dāng)一個(gè)人忘掉了他在學(xué)校所接受的東西，剩下來(lái)的才是教育.” 筆者認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，剩下來(lái)的應(yīng)該是思想，因?yàn)樗枷胧悄芰Φ暮诵模挥兴枷?，才能把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，而更高層次的能力是應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 毫無(wú)疑問，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是培養(yǎng)能力. 其實(shí)，對(duì)教學(xué)的定位不同，境界不同，思考的問題也就不同. 如果定位為知識(shí)，你不必考慮教什么，照本宣科就夠了，也不必思考怎么教，把知識(shí)告訴學(xué)生就可以了. 作為知識(shí)的終結(jié)，只要記住就行了；作為總結(jié)課，簡(jiǎn)單地羅列出本章知識(shí)就夠了，但這樣的復(fù)習(xí)總結(jié)課顯然對(duì)學(xué)生沒有吸引力，對(duì)于聽課教師而言也沒有新意，當(dāng)然也就沒有收獲. 該節(jié)課正是筆者申報(bào)評(píng)正高級(jí)教師的考察課，顯然必須要有突破. 雖然，僅僅定位在知識(shí)教學(xué)，是最省事的教學(xué)，但低層次的教學(xué)，當(dāng)然不是好的數(shù)學(xué)教學(xué). 如果定位在思想，你才會(huì)追問知識(shí)是怎么來(lái)的，解決問題的方法是怎么想到的，此時(shí)，你才會(huì)去探究知識(shí)的來(lái)龍去脈，才需要考慮過程，尤其是深究思考的過程，而思想恰恰蘊(yùn)含在過程之中. 如果定位在基本能力，你才會(huì)意識(shí)到，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，因?yàn)槟芰κ遣豢伞敖獭钡?，你不能把能力教給學(xué)生，能力是實(shí)踐的結(jié)果，是在自主探究、親身體驗(yàn)的經(jīng)歷中獲得的，而當(dāng)你著眼于更高層次的能力時(shí)，你就不得不思考如何讓教學(xué)過程成為“再創(chuàng)造”的過程. 所以，在教學(xué)之初，展示出兩個(gè)已經(jīng)做過的題目讓學(xué)生進(jìn)一步思考時(shí)，筆者愿意留給學(xué)生足夠多的時(shí)間用于思考，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，尤其是讓他們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象后還要進(jìn)一步體會(huì)透過現(xiàn)象所能夠發(fā)現(xiàn)的本質(zhì). 所謂磨刀不誤砍柴工，當(dāng)學(xué)生真正理解方法從而提升能力后，后續(xù)問題的解決就非?？炝?，具體上課的事實(shí)也證明了筆者所想是正確的. 筆者始終認(rèn)為，復(fù)習(xí)課的教學(xué)應(yīng)該將章節(jié)知識(shí)與能力推向本章頂峰. 希望我們的教育是真正高效的，也為學(xué)生的終身發(fā)展奠基，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)尤其重要，好的設(shè)計(jì)才能真正起到收官之作的目的，好的復(fù)習(xí)課才能稱得上是名副其實(shí)的本章節(jié)的壓軸之作.