周紅

[摘 要] 教學過程中發(fā)現(xiàn)學生的疑難點、疑惑處，并經(jīng)過必要的關聯(lián)同類、變式拓展之后，輔以教學追問，讓學生加深對這類疑難點的理解，能達到解一題、會一類、通一片的教學效果.

[關鍵詞] 最值問題；問題意識；關聯(lián)同類；變式拓展

鄭毓信教授在新作《問題意識與數(shù)學教師的專業(yè)成長》一文中指出：問題引領對于數(shù)學教學的特殊重要性，強調由具體內(nèi)容提煉出核心問題，通過適當?shù)奶釂枌W生的注意力由具體知識引向隱藏于其背面的數(shù)學思想方法，從而逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考. 在一次“圓”的單元測驗中，筆者所教班級有兩道最值問題的得分率很低，學生無從下手，于是筆者結合學生已有的認知，給學生梳理了一節(jié)有關圓中最值問題的習題課，試圖通過這節(jié)最值問題教學，讓學生學會思考，想得更深，想得更合理，也悟得更透，從而經(jīng)歷這類難題的思路突破過程，發(fā)展他們的數(shù)學核心素養(yǎng).

“最值問題”習題課的教學流程

1. 教學環(huán)節(jié)一：建立數(shù)學模型（圓外一點到圓上各點的最短距離）

模型 如圖1，P是⊙O外一點，直線PO分別交⊙O于點A和點B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離，即d-r，其中d為OP的長，r為⊙O的半徑，簡稱一點一圓模型.

筆者在此基礎上讓學生嘗試練習.

習題1 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是弧CD上一個動點，連接AP，則AP的最小值是______.

設計意圖 讓學生對模型有初步認識，能從復雜條件和圖形中找出已知點和圓，進而借助一點一圓模型求最值.

上述模型已知動點的軌跡，即動點在一個圓上運動，但如果題中沒有明確動點的運動軌跡，要求最值，又該如何分析、建模呢？

2. 教學環(huán)節(jié)二：探究動點的運動軌跡

習題2 如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值.

習題3 如圖4，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上運動，連接AE和DF交于點P，點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，若AD=4，試求出線段CP的最小值.

設計意圖 這兩道題都是求一定點與一動點所連線段的最值問題，難點是探究出動點的運動軌跡. 習題2由翻折可得A′M=AM是定值，此時要讓學生聯(lián)想到圓的定義，即到一定點的距離等于定長的所有點的集合是圓；習題3結合正方形的性質和全等知識能得到動點P在運動過程中，與定點A，D所連線段的夾角是直角，根據(jù)直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上運動，可探究出動點的運動軌跡也是圓. 上述兩道題意在讓學生根據(jù)已知條件和已有知識模型，先探究出運動軌跡，然后利用一點一圓模型解決問題.

經(jīng)過上述鋪墊，接下來可以放手讓學生解決試卷中的一道填空題.

習題4 如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF. 連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H. 若正方形的邊長為2，則線段DH的長的最小值是______.

數(shù)學學習要的就是變通，體現(xiàn)出來的就是數(shù)學中的轉化思想或化歸思想，即利用知識的聯(lián)系，把不熟悉的轉化為熟悉的，把復雜的轉化為簡單的. 上述試題都是一定點一動點問題，如果遇到兩個動點，又該如何解決呢？

3. 教學環(huán)節(jié)三：兩動點問題的轉化

習題5 如圖6，⊙O是以原點為圓心、2為半徑的圓，點P是直線y= -x+8上一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為______.

設計意圖 利用切線的性質構造直角三角形，借助勾股定理表示出所求線段PQ的長，從而把線段PQ的最值轉化為線段OP的最值，即可以通過計算把兩動點問題轉化為一定一動問題，進而利用垂線段最短解決.

習題6 如圖7，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點P和點Q，求線段PQ的最小值.

所求線段PQ是圓的直徑，這是個動圓，要解決此題，一定要緊扣動圓滿足的兩個條件：①過點C；②與邊AB相切. 假設圓心為O，圓O與邊AB相切于點D，連接OC，OD，則PQ=OC+OD，所以當O，C，D三點共線時直徑PQ取得最小值.

設計意圖 讓學生分析出運動過程中的定量關系，把不熟悉的問題轉化成熟悉的三點共線求最小值問題，使學生逐漸形成轉化意識.

習題7 如圖8，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點M和點N，則線段MN的長的最小值是______.

設計意圖 此題是前面兩道題的綜合，首先根據(jù)已知條件可探究出弦MN的長是半徑的倍，再根據(jù)動圓滿足的條件求出半徑的最小值，從而求解.

習題8 如圖9，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上.

（1）證明：CE是⊙O的切線；

（2）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當AB=8時，求CD+OD的最小值.

設計意圖 學生有了轉化意識，思考這一題時，就會聯(lián)想到這是線段和的最值問題，通?；瘹w為三點共線來解決，難點是CD的轉化，但結合題中的30°，不難想到解決方法.

教后反思

1. 關聯(lián)同類，讓學生對最值問題進行類比學習

教學中難點、難題的突破，需要適當拉長過程，延長學習時間，以暴露難點或難題的思維過程. 基于這樣的認識，我們將學生學習過程中出現(xiàn)的關于圓的最值問題難題進行梳理、歸類，將同類最值問題關聯(lián)起來，逐次呈現(xiàn)，讓學生對最值問題進行類比學習，達到了較好的教學效果.

2. 變式生長，讓學生經(jīng)歷最值問題由淺及深的拓展過程

在具體呈現(xiàn)該課時，要注意從簡單出發(fā)，讓學生經(jīng)歷最值問題由淺及深的理解過程，感受難題也是由簡單的模型包裝而來，且在不斷的變式、生長、拓展過程中，隱藏了原先較為基礎的一些模型或經(jīng)典圖形和性質，成為一道較難的問題. 學生如果善于轉化，能將復雜問題中的繁多線條適當抽離、剝離出基本圖形，就可以實現(xiàn)問題的有效轉化.

3. 預設追問，師生在對話互動中追求最值問題的深刻理解

由于最值問題是初中階段較難的一類問題，這時在教學過程中需要預設恰當?shù)匿亯|與跟進追問，使學生在教師的點撥或追問下自主發(fā)現(xiàn)思路，以達到對最值問題的深刻理解. 這也涉及所謂的教學藝術話題，因為一般教師會奉送真理，而好的教師會啟發(fā)真理，讓學生意識到自主發(fā)現(xiàn)思路后的那種愉悅與自信超越解題本身，于是學習的趣味也就應運而生. 想來，春風化雨、潤物無聲，也是我們的共同追求吧.