張靈+劉逸晴+徐章韜

【摘 要】 HPM是中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)話題，在深入學(xué)科的信息技術(shù)的支持下，充分挖掘數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，以更加生動(dòng)、直觀的方式展現(xiàn)歷史，從歷史中尋找智慧，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的開展.本文借助“割圓術(shù)”與“曲邊梯形的面積”的教學(xué)在信息技術(shù)下的融合，體會(huì)歷史文化與現(xiàn)代技術(shù)的交織在數(shù)學(xué)課堂中所產(chǎn)生的重要教學(xué)價(jià)值，感悟主題研究的重要意義.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)史；信息技術(shù)；數(shù)學(xué)教育；“割圓術(shù)”；曲邊梯形的面積

1 引言

近年來數(shù)學(xué)史具有的重要教育價(jià)值受到人們廣泛認(rèn)同，我國(guó)頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，無論義務(wù)教育階段還是普通高中階段，都有與數(shù)學(xué)史相關(guān)的論述，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》第 4 部分“課程實(shí)施建議”，每一個(gè)學(xué)段的“教材編寫建議”都有“介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)”這一條目.而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》認(rèn)為“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢(shì)，……，應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”[1].《數(shù)學(xué)課程課標(biāo)》中對(duì)數(shù)學(xué)史的重視是許多專家學(xué)者們努力的結(jié)果，這些論述表明了教育取向的數(shù)學(xué)史已從幕后走向臺(tái)前.

在《數(shù)學(xué)課程課標(biāo)》的支持下，如何在實(shí)際教學(xué)中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值是需要考慮和研究的問題.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中難免會(huì)遇到這樣的情況，有一些歷史素材很有教育意義，但是因?yàn)槿狈夹g(shù)支持，卻遺憾地不能應(yīng)用于課堂，或不能更直觀地展示出來，這就使得這部分?jǐn)?shù)學(xué)史的教育價(jià)值被淹沒了[2].例如，歷史上，多位數(shù)學(xué)家利用剪拼法證明了勾股定理，但若缺乏信息技術(shù)的支持，依賴于“黑板+粉筆”的模式將不能動(dòng)態(tài)直觀地展現(xiàn)剪拼法所突出的“剪”和“拼”的過程，也無法突出多種剪拼法之間的區(qū)別與聯(lián)系.

因此，借助信息技術(shù)的支持可以使數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的過程更加生動(dòng)化、直觀化，以充分挖掘其教育意義.歷史文化與現(xiàn)代技術(shù)跨越時(shí)空交織在一起，歷史文化使思想更深邃，信息技術(shù)使思想更完美.本文以“曲邊梯形的面積”教學(xué)為例，探討在信息技術(shù)的支持下，如何充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值.

2 前期分析

在講授“曲邊梯形的面積”這一小節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過劉徽“割圓術(shù)”的內(nèi)容，“割圓術(shù)”中蘊(yùn)含的思想方法與求解“曲邊梯形的面積”所需的思想方法具有異曲同工之妙.

劉徽是中國(guó)古代一位偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)注》中所提出的“割圓術(shù)”，巧妙地求解出了圓的面積，并開創(chuàng)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上圓周率研究的新篇章[3].“割圓術(shù)”的核心思想：“以直代曲，無限逼近”，先對(duì)圓進(jìn)行分割，得到若干扇形，隨后選擇用三角形代替扇形，體現(xiàn)了“以直代曲”.劉徽指出“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣”，當(dāng)分割次數(shù)增加至無限多時(shí)，由三角形所組成的多邊形便與圓完全相和了，這時(shí)三角形的面積和等于圓的面積，通過計(jì)算便能得到圓的面積的精確值.

“割圓術(shù)”中所采用的“以直代曲，無限逼近”的思想、“化整為零、積零成整”的過程以及“分割、近似代替、求和、取極限”的步驟完全適用于求解曲邊梯形的面積.在“曲邊梯形的面積”教學(xué)中，可從歷史中尋找智慧，利用劉徽“割圓術(shù)”來啟發(fā)學(xué)生思維，讓課堂增添歷史文化的氣氛.

如今信息技術(shù)已逐漸走進(jìn)課堂，從宏觀上，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的整合帶來教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的變革；從微觀上，信息技術(shù)的融入，能夠變抽象為具體，化枯燥為生動(dòng)，突破“黑板+粉筆”靜止的二維世界.在信息技術(shù)的支持下，數(shù)學(xué)史能以更為生動(dòng)具體的形象活躍于數(shù)學(xué)課堂中.張景中院士指出普適的信息技術(shù)不適合直接用于教學(xué)，教育信息化活動(dòng)應(yīng)能為學(xué)科教學(xué)服務(wù)，“信息技術(shù)只有深入學(xué)科才能真正發(fā)揮作用”[4].數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的工具軟件有超級(jí)畫板、幾何畫板、Mathematica等.教師應(yīng)能熟練應(yīng)用這些數(shù)學(xué)教學(xué)中的常用信息技術(shù)軟件，并根據(jù)具體課程內(nèi)容和數(shù)學(xué)史料的融入方式選擇合適的信息技術(shù).利用幾何畫板軟件可將“割圓術(shù)”的過程動(dòng)態(tài)化，并通過數(shù)形結(jié)合展示“以直代曲、無限逼近”的思想內(nèi)涵.

3 具體實(shí)現(xiàn)

3.1 借助幾何畫板回顧劉徽“割圓術(shù)”的過程

在幾何畫板中，根據(jù)圓的半徑，將圓平均分割成若干塊，如圖1.通過觀察扇形的形狀，可以得出三角形與扇形的形狀最為貼合，選用三角形近似代替扇形，這時(shí)存在兩種情況：不足近似和過剩近似，如圖2.隨后增加分割次數(shù)，在幾何畫板中可觀察到，隨著分割次數(shù)增加，不足近似和過剩近似所形成的正多邊形的面積越來越接近圓的面積，當(dāng)分割次數(shù)無限次時(shí)，便完全重合，如圖3，便可求得圓的面積的精確值.回顧了“割圓術(shù)”的過程，可在課堂中總結(jié)出求解圓面積的四大步驟.

圖3評(píng)注 在幾何畫板的支持下，將“割圓術(shù)”的過程動(dòng)態(tài)化，可以直觀感知到“割圓術(shù)”中所展現(xiàn)的逼近過程和蘊(yùn)含的極限思想.一方面，利用現(xiàn)代技術(shù)揭示了中國(guó)數(shù)學(xué)史中的光輝思想，另一方面，通過借鑒歷史，啟發(fā)學(xué)生思考如何求解曲邊梯形的面積.

3.2 借助幾何畫板探索“曲邊梯形的面積”求解方案

第一步：分割.首先考慮如何對(duì)曲邊梯形進(jìn)行分割的問題，在“割圓術(shù)”中，劉徽以圓心為出發(fā)點(diǎn)，以圓邊為終點(diǎn)，將圓按角度平均分割成n個(gè)扇形.在特殊曲邊梯形中，考慮以某一直邊為出發(fā)點(diǎn)，以曲邊為終點(diǎn)，將特殊曲邊梯形分割成n個(gè)寬度相等的小曲邊梯形，在《幾何畫板》中做出圖4.

第二步，近似代替.第一步將大曲邊梯形分割成了幾個(gè)小曲邊梯形，類比“割圓術(shù)”中“以直代曲”的近似代替方案，在特殊曲邊梯形中，考慮以矩形代替小曲邊梯形，這時(shí)，同樣存在不足近似和過剩近似兩種近似代替方案，如圖5.

第三步，求和.結(jié)合畫板中的圖5，分別對(duì)兩種方案進(jìn)行求和：

不足近似：

Sn=1nfi-1n=131-1n1-12n，

過剩近似：Sn=1nfin=161+1n2+1n.

第四步：取極限.在幾何畫板中將分割次數(shù)增加，可觀察到隨著分割次數(shù)的增加，兩種方案所形成圖形的面積都越來越接近曲邊梯形的面積，當(dāng)分割次數(shù)無限大時(shí)，不足近似和過剩近似所形成圖形與曲邊梯形相合，如圖6.通過取極限，可以得到曲邊梯形面積的精確值.

對(duì)第三步中兩種方案求得的公式進(jìn)行取極限：

不足近似：

S=Sn=limn→∞131-1n1-12n=13，

過剩近似：

S=Sn=limn→∞161+1n2+1n=13.

得到特殊曲邊梯形的面積為13.

評(píng)注 類比劉徽“割圓術(shù)”，并借助幾何畫板從“形”上得到了求解特殊曲邊梯形面積的過程，再通過計(jì)算，從“數(shù)”上得到了特殊曲邊梯形面積的精確值，數(shù)形結(jié)合讓過程和結(jié)果更讓人信服.求解曲邊梯形面積的過程，既蘊(yùn)含了從歷史中汲取的智慧，又借助了現(xiàn)代技術(shù)的支持，將今后要學(xué)習(xí)的定積分中所包含的思想提前展現(xiàn)的淋漓盡致.

4 感悟

通過對(duì)“曲邊梯形的面積”教學(xué)的分析，可以感受到，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)史的結(jié)合，不僅能讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)歷史文化的熏陶，而且充分挖掘了數(shù)學(xué)史中包含的深邃思想和方法，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).信息技術(shù)改變了課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，并能深入到課程內(nèi)容中[2]，在信息技術(shù)的支持下，數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史得以重現(xiàn)，讓知識(shí)有源可尋，有理可依.在教學(xué)中，通過信息技術(shù)和數(shù)學(xué)史的融合，可讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)課本知識(shí)不只是孤立的已經(jīng)建好高樓大廈，而是具有自身發(fā)展過程的、經(jīng)過了歷史篩選的人類思想的結(jié)晶.從感官上，借助信息技術(shù)，數(shù)學(xué)史知識(shí)中包含的“數(shù)學(xué)美”能夠得以充分展現(xiàn)，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)并不是公式和數(shù)字的堆砌，“數(shù)學(xué)是可以欣賞的” [2]，并且學(xué)生還能夠通過親自操作信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)家的思考中，感受數(shù)學(xué)思想的精妙之處.

信息技術(shù)進(jìn)入課堂已是必然趨勢(shì)，數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的融合讓信息技術(shù)不只是工具，還成為了歷史文化和思想的載體.重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)歷史的功能讓信息技術(shù)多了一份價(jià)值.如何發(fā)揮現(xiàn)有材料和工具的最大價(jià)值來促進(jìn)教學(xué)是數(shù)學(xué)教師需要考慮的問題，信息技術(shù)和數(shù)學(xué)史的融合就是一個(gè)很好的選擇，既能夠充分挖掘數(shù)學(xué)史的教育意義，又可以增添信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，在歷史文化氣氛和現(xiàn)代文明的交織下，思想更加鮮活，知識(shí)更加飽滿，課堂內(nèi)容更加豐富，學(xué)生的感受也更深刻了.

HPM與信息技術(shù)的融合是一個(gè)新的研究方向，如何借助信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)和數(shù)學(xué)歷史知識(shí)的文化底蘊(yùn)來促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，需要今后更多地探討和研究.

參考文獻(xiàn)

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[2] 徐章韜.超級(jí)畫板的教育價(jià)值及其教學(xué)應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

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[3] 張景中，彭翕成.深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（5）.