王良珍

摘要：圖形變換問(wèn)題是研究幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著圖形位置和數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”，以及解決問(wèn)題的類(lèi)似性和延伸性。就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言可分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，就其運(yùn)動(dòng)形式而言有平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、滾動(dòng)等。這是近幾年來(lái)中考命題的熱點(diǎn)。本文從旋轉(zhuǎn)的角度讓學(xué)生養(yǎng)成在題目圖中注明解決問(wèn)題的不變性的信息的習(xí)慣，從動(dòng)手操作為解決變換問(wèn)題創(chuàng)設(shè)解題的情境等方面加以闡述解題的策略。

關(guān)鍵詞：不變性；旋轉(zhuǎn)變化；動(dòng)手操作；解題策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）03-0084

圖形的變換問(wèn)題往往集幾何、代數(shù)知識(shí)于一身，數(shù)形結(jié)合有很強(qiáng)的綜合性，能夠在運(yùn)動(dòng)中發(fā)展學(xué)生空間想象能力、綜合分析能力，是近幾年來(lái)中考命題的熱點(diǎn)。要解決此類(lèi)問(wèn)題，一定要用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的眼光觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程。一方面，要注意在圖形變換過(guò)程中各個(gè)時(shí)刻分類(lèi)畫(huà)圖，由“動(dòng)”變“靜”以“靜”制“動(dòng)”；另一方面，還要善于抓住在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一特殊位置的等量關(guān)系和變量關(guān)系，以及讓學(xué)生動(dòng)手操作，創(chuàng)設(shè)情境解決問(wèn)題。

一、從旋轉(zhuǎn)的角度在題目圖中注明不變性的信息

幾何圖形的旋轉(zhuǎn)在教材中以比較簡(jiǎn)單的形式呈現(xiàn)，但是很好地歸納了旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)（旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度）。這些本質(zhì)是教與學(xué)的依據(jù)，也是題目的主要來(lái)源。但在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中往往就題論題，沒(méi)有和一些特殊的幾何圖形相結(jié)合，也沒(méi)有讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作感受和體會(huì)旋轉(zhuǎn)變化過(guò)程中的本質(zhì)以及那些不變的量，或者是潛在相等的量。其實(shí)，很多題目只要?jiǎng)邮之?huà)畫(huà)，把一些不變的量找到并標(biāo)注出來(lái)就很容易把問(wèn)題解決。

例1. 圖1、2是兩個(gè)相似比為1∶的等腰直角三角形，將兩個(gè)三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

（1）圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F，如圖4，①求證：DE=DF。②求證：AE2+BF2=EF2；（2）在圖3中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它與斜邊和CD延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，如圖5，證明結(jié)論：AE2+BF2=EF2仍成立。

分析：習(xí)題“圖1、2是兩個(gè)相似比為1∶的等腰直角三角形，將兩個(gè)三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。（1）圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F，如圖4。

（1）①連接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，證出△CDF≌△ADE即可；

②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理證△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根據(jù)勾股定理得出CE2+CF2=EF2，代入求出即可；

（2）把△CFB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGA，如圖5連接GE，求出∠GCE∠ECF，CG=CF，根據(jù)SAS證△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根據(jù)勾股定理求出即可。

此題不管圖形怎么旋轉(zhuǎn)變化，永遠(yuǎn)找到兩個(gè)全等的三角形得到相等的邊與角，通過(guò)等量代換解決問(wèn)題。在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中很多量是不變的，只要讓學(xué)生把這些不變的量找到并標(biāo)注出來(lái)，從簡(jiǎn)單的圖形中找到解題方法，后面復(fù)雜的問(wèn)題遵從這些不變性，可以讓學(xué)生充分挖掘題中的內(nèi)涵和外延，把一些看似很難的題目變得很容易找到解題方法。且此類(lèi)問(wèn)題證明思路也是不變的，常常把已知條件往一個(gè)三角形中搬。如下面例2：

例2. 如圖，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，則DE的長(zhǎng)為（ ）

分析：作∠1=∠2，并截取CF=CD，連接BF，EF。

則△ADC≌△BCF，∴BF=AD=6，∠CBF=∠A=45°，∴∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°，

∴在直角△BEF中， ， ∴ EF=10，

∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠2+∠BCE=45°，

又∵∠1=∠2，∴∠ECF=45°，∴∠DCE=∠ECF，

又∵DC=CF，CE=CE

∴△DCE≌△FCE，

∴DE=EF=10。

二、動(dòng)手操作為解決對(duì)稱問(wèn)題創(chuàng)設(shè)解題的情境

我國(guó)著名特級(jí)數(shù)學(xué)教師馬明先生有一句很生動(dòng)的比喻：教師把知識(shí)“拋”得越快，學(xué)生忘得越快。教得多并不意味著學(xué)得也多，有時(shí)教得少反而學(xué)得多。究其原因，是學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。以“學(xué)”為中心的教學(xué)是在教師的介入下，學(xué)生自立地、合作地進(jìn)行活動(dòng)，這才是學(xué)校中“學(xué)習(xí)”的本質(zhì)。以“學(xué)”為中心的課堂，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)在其中擔(dān)當(dāng)好引導(dǎo)的角色，要為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)良好的知識(shí)生成情境，要讓學(xué)生投身到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用中，為學(xué)生的知識(shí)生成做好充分的預(yù)設(shè)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

例3. 浙教版八年級(jí)下6.2.2菱形的判定的教學(xué)

菱形的判定這一課時(shí)，筆者通過(guò)四個(gè)操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、歸納、驗(yàn)證以及應(yīng)用過(guò)程。讓學(xué)生自然生成菱形的判定及折疊中難點(diǎn)的突破。

操作1： 取一張長(zhǎng)方形紙片，按下圖的方法對(duì)折兩次，并沿圖（3）中的斜線剪開(kāi)，把剪下的①這部分展開(kāi)，平鋪在桌面上。

議一議：（1）觀察展開(kāi)的四邊形中，“剪痕”“折痕”分別是什么？它們分別有什么關(guān)系？（2）展開(kāi)的四邊形是哪一種四邊形？（3）一個(gè)四邊形或平行四邊形應(yīng)該具備什么條件，就可以判定它是菱形？

問(wèn)題1的“剪痕”正是剪下四邊形的四邊，“折痕”正是剪下四邊形的對(duì)角線，追問(wèn)它們的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生生成“四邊都相等”“對(duì)角線互相垂直平分”，這些正是菱形的特性。

問(wèn)題2中引導(dǎo)學(xué)生逆向思維猜想是什么四邊形，并利用菱形的定義說(shuō)理。

問(wèn)題3則在前面猜想的基礎(chǔ)上讓學(xué)生猜想可以作為菱形判定的條件，鼓勵(lì)學(xué)生生成各種各樣的添法如：①四邊都相等的四邊形；②四邊都相等的平行四邊形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；④對(duì)角線互相垂直平分且四邊相等的四邊形等。

教師則從矩形判定定理的發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)潔的條件出發(fā)進(jìn)行推理驗(yàn)證。筆者對(duì)課本議一議的問(wèn)題作了改進(jìn)，更加突出折疊、裁剪中的特殊性，而它們的關(guān)系也正是菱形的特性，正是判定菱形所需添加的必備條件。通過(guò)折疊、裁剪等實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證的生成過(guò)程，參與到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)中獲得成功的體驗(yàn)。通過(guò)對(duì)猜想的論證，體現(xiàn)了直觀操作與邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)邏輯推理的必要性， 突出了教學(xué)的重點(diǎn)。在學(xué)生的猜想中生成菱形的判定定理，更好地體現(xiàn)了以學(xué)為中心的思想，讓學(xué)生獲得更多的體驗(yàn)。

操作2：將等腰△ABC，沿著底邊BC向下翻折得到像△A′BC。畫(huà)完后得到四邊形ABA′C，判斷四邊形ABA′C是什么四邊形并證明。

操作3：畫(huà)一個(gè)菱形，使它的兩條對(duì)角錢(qián)的長(zhǎng)分別為2cm和4cm。并說(shuō)明其中的道理。

這里通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的操作和說(shuō)理，讓學(xué)生在操作和說(shuō)理中掌握菱形的兩種判別方法的應(yīng)用和書(shū)寫(xiě)，達(dá)到學(xué)以致用的目的，進(jìn)一步加深對(duì)兩條判定的應(yīng)用意識(shí)。同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生由菱形的判定生成畫(huà)菱形的常用方法。

操作4：將準(zhǔn)備好的矩形紙片沿對(duì)角折出一條對(duì)角線AC，再折疊矩形紙片，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，連接AF、CE。判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由。

操作4是由課本的例題改編而來(lái)，改變了題目的呈現(xiàn)形式。折疊中線段的大小和位置關(guān)系是學(xué)生分析和解題的一個(gè)難點(diǎn)，通過(guò)讓學(xué)生體驗(yàn)圖形的產(chǎn)生過(guò)程，感受AC被EF垂直平分，也可操作驗(yàn)證EF被AC垂直平分。再通過(guò)推理證明，強(qiáng)化了判定定理的應(yīng)用。

三、平移變換為解決實(shí)際問(wèn)題提供轉(zhuǎn)化的背景

教師必須清楚地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)是一種“過(guò)程教學(xué)”，它既包括了數(shù)學(xué)新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過(guò)程，也包括了教師學(xué)生的思維過(guò)程。因此，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)該從不同的方向引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，思考過(guò)程中想到哪些方法，用一種比較簡(jiǎn)單的方法去解決實(shí)際問(wèn)題；若在多種解法的情況下，應(yīng)該反思選擇哪種解法為好，這種方法好在哪里等。

例4. （八年級(jí)數(shù)學(xué)第四冊(cè)同步練）某中學(xué)為了美化校園，準(zhǔn)備在長(zhǎng)30米，寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上，修筑兩條寬度相等且互相垂直的水泥道路，如圖，余下部分作花壇，為了使花壇的總面積為551平方米，問(wèn)道路的寬為多少米？

分析：多數(shù)同學(xué)會(huì)用這樣的解法，即：

矩形的面積-道路的面積=花壇的面積，得到如下的一元二次方程，30×20-（30x+20x-x2）=551。有的學(xué)生粗心大意，沒(méi)有減去兩路交叉部分重復(fù)計(jì)算的正方形面積x2，而得出錯(cuò)誤答案30×20-（30x+20x）=551。教師問(wèn)有沒(méi)有其他不同的方法學(xué)生來(lái)列式解決問(wèn)題，經(jīng)過(guò)思考討論，學(xué)生得出：

4×每小塊花壇面積=551，即4××=551。

這個(gè)式子比前一個(gè)式子簡(jiǎn)單多了，也避免了用前面方法可能會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題。此時(shí)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察式子，發(fā)現(xiàn)：左邊4與分母上的兩個(gè)2約去后成為（30-x）與（20-x）的積，教師讓學(xué)生充分地思索30-x、20-x表示什么呢？然后啟發(fā)學(xué)生在黑板上作如右圖的平移，學(xué)生的思路豁然開(kāi)朗。

因此，教師在引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生分析問(wèn)題、探索問(wèn)題的過(guò)程中，不僅暴露了思維分析的整個(gè)過(guò)程，而且用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生靈活地解決問(wèn)題，既培養(yǎng)了學(xué)生思考分析問(wèn)題的創(chuàng)新思維，又體驗(yàn)了從一般到特殊、從靜止到運(yùn)動(dòng)的解題途徑。

由此，學(xué)生也可以輕松解決如下圖中兩種圖形求“道路的寬度”的問(wèn)題。

這樣的試題分析和操作，有利于學(xué)生真正把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)活、用活，用腦子做題；既有利于教師進(jìn)一步研究教材教法，更有利于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思維薄弱環(huán)節(jié)的學(xué)法思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

綜上所述，在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，既要全面落實(shí)“減負(fù)”工作，又要真正做到“減負(fù)不減質(zhì)”，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，立足于學(xué)生學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)法的指導(dǎo)，“改變教學(xué)方法，從教知識(shí)變?yōu)榻趟伎肌保儭敖Y(jié)果教學(xué)為過(guò)程教學(xué)”。日常教學(xué)要起到學(xué)生學(xué)習(xí)方法的示范作用，教給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，努力營(yíng)造出有利于學(xué)生思維發(fā)展的氛圍，在教學(xué)中滲透并引導(dǎo)學(xué)法幫助、指導(dǎo)學(xué)生研究并掌握學(xué)習(xí)方法。體現(xiàn)“以學(xué)為中心的理念”，在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)，教會(huì)學(xué)生反思解題過(guò)程、發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)、體會(huì)所包含的數(shù)學(xué)思想，是有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)思維能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。本文從數(shù)學(xué)圖形變換的問(wèn)題談幾點(diǎn)粗淺體會(huì)。

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（作者單位：浙江省嘉興市南湖區(qū)鳳橋鎮(zhèn)中學(xué) 314000）