夏玉英

摘 要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考問(wèn)題，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使抽象問(wèn)題具體化，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合既是一種重要的思想方法，又是解決問(wèn)題的有效手段。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù)；線段圖；示意圖；列提綱；數(shù)量關(guān)系；解決問(wèn)題；學(xué)生思維

數(shù)形結(jié)合是借助圖形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、示意圖、列表等一系列的“形”作為手段，以“數(shù)”為目的，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考問(wèn)題，使得抽象思維和形象思維相結(jié)合。通過(guò)“以形助數(shù)“或“以數(shù)解形”，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化、直觀化、生動(dòng)化、形象化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。它既是一種重要的思想方法，又是解決問(wèn)題的有效手段。

新課程改革以來(lái)，借助圖形等輔助手段來(lái)解決問(wèn)題逐漸淡出了小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，但以解決問(wèn)題為載體的教學(xué)，對(duì)于部分審題能力、理解能力不佳的學(xué)生來(lái)說(shuō)，十分有難度，所以嘗試將數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)思想方法融入新教材教學(xué)中，仍然具有十分重要的作用，數(shù)形結(jié)合仍是教師常用的重要的教學(xué)方法之一，也是學(xué)生解題非常有效的方法之一。

小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問(wèn)題”部分既是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。隨著年級(jí)的升高，有不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的文字?jǐn)⑹鲈絹?lái)越抽象，數(shù)量關(guān)系也隨之變得更加復(fù)雜。如果教師一味地從題目字面意思去分析題意，用語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)量關(guān)系，學(xué)生即使理解了，也只局限于會(huì)解決某個(gè)問(wèn)題而難以理解和掌握。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能把所有的問(wèn)題都講全、教完，只能教學(xué)其中的一部分，怎樣以少量問(wèn)題為例，教會(huì)學(xué)生解決大量問(wèn)題的本領(lǐng)，達(dá)到事半功倍的效果呢？這時(shí)，如果利用數(shù)形結(jié)合思想將題目中蘊(yùn)含的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式表達(dá)出來(lái)，就能有效解決很多問(wèn)題，啟迪學(xué)生的思維。下面筆者就結(jié)合中年級(jí)的解決問(wèn)題具體談?wù)勅绾巍耙孕沃鷶?shù)”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，尋找解題途徑，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提升解題能力。

一、借助示意圖，降低難度，幫助學(xué)生提高審題能力

示意圖是最原始的畫(huà)圖策略，是以形助數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法中最基本的一種，具有使問(wèn)題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，如果教師能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)想形，能畫(huà)圖的盡量畫(huà)圖，把相對(duì)抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成示意圖，借助圖形，更有利于學(xué)生的審題，使數(shù)量關(guān)系明朗化。

例如，四（上）連除實(shí)際問(wèn)題例4：2個(gè)書(shū)架一共放了224本書(shū)，每個(gè)書(shū)架有4層，平均每個(gè)書(shū)架每層放多少本書(shū)？教學(xué)時(shí)，筆者根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)畫(huà)示意圖（如圖1），結(jié)合一一對(duì)應(yīng)思想，突出了數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生分別從三個(gè)方向觀察示意圖，從而得出三種不同的解題方法：①整體看，可以先求出一共有幾層，再求問(wèn)題；②縱向看，先求出一個(gè)書(shū)架4層放幾本書(shū)，再求問(wèn)題；以上是教材中呈現(xiàn)的兩種常規(guī)的解題思路，結(jié)合示意圖學(xué)生很容易想到：③橫向看，可以先求出2個(gè)書(shū)架1層放幾本書(shū)，再求問(wèn)題。

又如四（上）的練習(xí)題：將5升水倒入一個(gè)圓柱形容器中，水深4厘米，如果要使水深達(dá)到16厘米，那么需要再倒多少升水？從實(shí)際的作業(yè)反饋可知，大部分學(xué)生在解決問(wèn)題的時(shí)候往往延續(xù)低年級(jí)的做法，憑借直覺(jué)思維，直接列式計(jì)算：16÷4×5=20升，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)示意圖（如圖2），細(xì)心審題分析，很容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤所在：要使水深達(dá)到16厘米，必須要有20升水，但原來(lái)已經(jīng)有5升水，所以只需在原有的基礎(chǔ)上再倒20-5=15升水即可。

再如四年級(jí)小數(shù)報(bào)上習(xí)題：小芳與四位同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，四位同學(xué)的成績(jī)分別是66分、92分、83分、79分，小芳的成績(jī)比五人的平均成績(jī)高8分，小芳的成績(jī)是多少分？學(xué)生根據(jù)四位同學(xué)的成績(jī)求出平均分：（66+92+83+79）÷4=80分，接下來(lái)無(wú)所適從，不知從哪里做起。此時(shí)如果畫(huà)出示意圖（如圖3），便能一下明了數(shù)量之間的關(guān)系：小芳高出的8分就是四人成績(jī)提高的總分，從而便可求出每人比原來(lái)提高了8÷4=2分，則五人的平均分就是80+2=82分，于是從圖示就可得出：小芳的分?jǐn)?shù)就等于五人的平均分加上高出的8分。

再如題：24名同學(xué)平均分一堆圖書(shū)，后來(lái)又加了6名同學(xué)，大家重新分這些書(shū)，每人平均比原來(lái)少2本，這批圖書(shū)共多少本？由于中年級(jí)學(xué)生思維的局限性，他們只限于借助相差關(guān)系、部總關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系或份總關(guān)系等最基本的數(shù)量關(guān)系，從條件或是問(wèn)題想起。對(duì)于該類題型，大多數(shù)學(xué)生束手無(wú)策，無(wú)從入手，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖（如圖4）審清題意：現(xiàn)在每人平均比原來(lái)少的2本書(shū)只是給了后來(lái)增加的6名同學(xué)，所以原來(lái)的24人一共少了24×2=48本書(shū)，這也是后來(lái)的6名同學(xué)的圖書(shū)本數(shù)，題意到此審清，后面的思路基本流暢。

以上筆者列舉的幾個(gè)不同層次的題型都可以借助畫(huà)示意圖的方法把比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形，簡(jiǎn)明形象地找到等量關(guān)系，降低了難度，明確了解決問(wèn)題的思路，逐步提高了學(xué)生的審題能力。特別是到了高年級(jí)，學(xué)習(xí)用假設(shè)法解決雞兔同籠等類似的問(wèn)題時(shí)，如果借助圖形的直觀與趣味，更能讓學(xué)生從中體會(huì)到借助示意圖能更加清楚的審清題意，從情感上來(lái)講，也可以使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)不再感到枯燥乏味，不再成為學(xué)生最害怕教師最頭疼的類型。

二、依托線段圖，助力等量，幫助學(xué)生提高分析能力

小學(xué)階段，如果說(shuō)示意圖還只是半具體半抽象的圖形的話，那么線段圖就一定屬于抽象圖了，它是解決問(wèn)題教學(xué)中最常見(jiàn)、應(yīng)用最廣泛的一種行之有效的輔助手段，是中年級(jí)實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)不可缺少的一部分。通過(guò)畫(huà)線段圖可以摒棄與解題無(wú)關(guān)的具體情節(jié)信息，直接指向條件與條件、條件與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系，把具體的問(wèn)題抽象化，從而幫助學(xué)生順利由形象思維向抽象思維過(guò)渡，有效促進(jìn)問(wèn)題的解決，啟迪學(xué)生思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。特別是在中年級(jí)，適時(shí)應(yīng)用畫(huà)線段圖的方法，更能起到事半功倍的作用。

蘇教版教材在三年級(jí)解決問(wèn)題的策略單元中已經(jīng)開(kāi)始呈現(xiàn)線段圖，只不過(guò)教材只要求學(xué)生經(jīng)歷用線段圖表示條件和問(wèn)題的過(guò)程，再讓他們將原有的線段圖補(bǔ)充完整。這時(shí)候筆者就開(kāi)始有意識(shí)地、循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生去畫(huà)線段圖，等學(xué)生已經(jīng)有了一定的畫(huà)線段圖的基礎(chǔ)后，再學(xué)習(xí)到“四年級(jí)下冊(cè)解決問(wèn)題的策略例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有郵票多少枚？”時(shí)，學(xué)生基本都能根據(jù)題意畫(huà)出線段圖（如圖5），教師只需引導(dǎo)學(xué)生觀察線段圖并分析發(fā)現(xiàn)：用斬尾法去掉12枚，和小寧同樣多后再平均分；或者用補(bǔ)少法加上12枚，和小春同樣多后再平均分。這兩種方式都能分別求出這兩個(gè)量，特別是用移多補(bǔ)少法再還原的方法更凸顯了畫(huà)線段圖的優(yōu)越性，為教材第53頁(yè)第10題“張寧和王曉星一共有畫(huà)片86張。王曉星給張寧8張后，兩人畫(huà)片的張數(shù)同樣多，兩人原來(lái)各有畫(huà)片多少?gòu)?？”提供了解題的可能。

當(dāng)然，對(duì)于畫(huà)線段圖的訓(xùn)練，貴在堅(jiān)持，任何技能都需要量的積累，經(jīng)歷量變到質(zhì)變的過(guò)程。要以習(xí)題為載體，目標(biāo)定位是形成技能，而不是多解題。

又如題：小軍看一本故事書(shū)，每天看24頁(yè)，看了5天后再看8頁(yè)就正好是這本書(shū)的一半，這本書(shū)有多少頁(yè)？這是四年級(jí)上冊(cè)的練習(xí)題，這個(gè)學(xué)段的解決問(wèn)題的題型較三年級(jí)要復(fù)雜很多，且由于學(xué)生本身年齡階段的特點(diǎn)，思維的長(zhǎng)度還不夠，大多數(shù)學(xué)生列式計(jì)算至24×5=120頁(yè)，120+8=128頁(yè)就沒(méi)有下文了。這個(gè)時(shí)候，教師從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)作圖，把原題中文字?jǐn)⑹龅臄?shù)量簡(jiǎn)潔明了化，利用線段圖中各量的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖6），學(xué)生一下就明白128頁(yè)只是計(jì)算了整本書(shū)的一半，要再乘2才是問(wèn)題的答案。教師在解決問(wèn)題的過(guò)程中這樣有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造線段圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中以形助數(shù)，自覺(jué)運(yùn)用線段圖，獲得畫(huà)線段圖的基本方法和技能，能為將來(lái)高年級(jí)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題做好鋪墊。

除了以上提到的這些問(wèn)題，用畫(huà)線段圖的方法還能解決以后的和倍、差倍、盈虧等問(wèn)題，將復(fù)雜的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為線段圖進(jìn)行分析，以形助數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，能更有效地將題中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來(lái)，降低了解題難度，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。

三、羅列出提綱，明朗關(guān)系，幫助學(xué)生提高抓對(duì)應(yīng)量的能力

如果說(shuō)示意圖和線段圖是以圖形的形式呈現(xiàn)各個(gè)數(shù)量的話，那么列提綱則更能直接指向數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把信息進(jìn)行簡(jiǎn)約化處理，去粗取精，使學(xué)生的思維更趨于抽象化，為高年級(jí)學(xué)習(xí)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題做好前期的鋪墊。教師應(yīng)使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)工具，養(yǎng)成思考的習(xí)慣，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

如題：一輛卡車，4次運(yùn)面粉130袋，照這樣計(jì)算，再運(yùn)8次，一共可以運(yùn)多少袋？對(duì)以上信息進(jìn)行整理（如圖7）后，中年級(jí)的學(xué)生一般是左右觀察，根據(jù)以上兩個(gè)條件求出每一次運(yùn)送的袋數(shù)，而對(duì)于130÷4，四年級(jí)的學(xué)生只會(huì)有余數(shù)的除法，不會(huì)用分?jǐn)?shù)表示，所以這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上信息進(jìn)行觀察并得出：8次是4次的2倍，所以8次運(yùn)的袋數(shù)也是130的2倍，問(wèn)題迎刃而解，為后面高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題找量率對(duì)應(yīng)關(guān)系做好鋪墊。

如：一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行了20千米，這時(shí)距離中間還有，這條路全程多少千米？求解這類題的關(guān)鍵是找單位“1”，然后找到量和量所對(duì)應(yīng)的分率，但學(xué)生在理解稍復(fù)雜的題目時(shí)有困難，不清楚距離中間還有六分之一是指誰(shuí)是誰(shuí)的六分之一，即單位“1”是誰(shuí)，所以很多學(xué)生通常列算式：20÷（1-）。怎樣讓學(xué)生更明白題意，找到量率的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？其實(shí)在理解題意的基礎(chǔ)上完全可以通過(guò)列提綱的辦法把問(wèn)題從提綱中反映出來(lái)。通過(guò)左右觀察分析數(shù)量關(guān)系，把具體數(shù)量與分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系正確地表示出來(lái)（如圖8），求出單位“1”（即路程的一半），解決問(wèn)題也就完成了一半，這樣遠(yuǎn)比單純地看題分析解題思路要容易得多。

四、合理化示圖，簡(jiǎn)化思維，提高學(xué)生靈活解題的能力

畫(huà)圖的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)圖描述和分析問(wèn)題的過(guò)程，感受圖形直觀在描述和分析問(wèn)題過(guò)程中的作用，發(fā)展幾何直觀能力，幫助學(xué)生分析和理解題目中的數(shù)量關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路。如果學(xué)生看了題目就能理解題意，可能不需要畫(huà)圖，但當(dāng)題中數(shù)量關(guān)系相對(duì)復(fù)雜時(shí)，采用合理的示圖方式能便于學(xué)生理解和分析問(wèn)題。如教材四（上）思考題：用一個(gè)杯子向空水壺里倒水，如果倒入3杯水，連壺重740克，如果倒入五杯水，連壺重980克，每杯水重多少克？在實(shí)際教學(xué)中，筆者只畫(huà)了如圖9所示的示意圖，對(duì)于一些理解能力較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，找到題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系并非難事，但對(duì)于一小部分理解能力較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍不能馬上找出題中的等量關(guān)系。后來(lái)筆者把示意圖重新進(jìn)行了調(diào)整（如圖10），從圖示中很容易看出980-740=240克，這個(gè)相差的量就是2杯水的重量，找出題中的關(guān)鍵點(diǎn)后，后面的問(wèn)題就能迎刃而解了。

運(yùn)用畫(huà)線段圖的手段確實(shí)能簡(jiǎn)明扼要地反映題中的數(shù)量關(guān)系，使思維更加清晰，不過(guò)在教學(xué)過(guò)程中，教師也要根據(jù)題中不同的數(shù)量關(guān)系靈活采用不同形式的畫(huà)法。例如四下教材第54頁(yè)第11題：甲、乙兩地相距495千米，一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行了3小時(shí)，剩下的路程比已經(jīng)行的多45千米，這輛汽車的平均速度是多少千米/時(shí)？教材是按事情發(fā)展的順序用一條線段表示了已行的和剩下的兩部分（圖11左），畫(huà)這樣的線段圖對(duì)于部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍然很難找到解題的思路，如果改為右圖，用兩條線段分別表示已行的和剩下的，強(qiáng)調(diào)比較的方式，學(xué)生可以直觀地看到“已行的”增加一部分或“還剩的”減少一部分就能使兩個(gè)數(shù)量變得相等，進(jìn)而更容易獲得解題方法。

又如四（上）數(shù)學(xué)報(bào)習(xí)題：（年齡問(wèn)題）老師對(duì)小亮說(shuō)：“我像你那么大時(shí)，你才1歲。”小亮說(shuō)：“我長(zhǎng)到您這么大時(shí)，您已經(jīng)43歲了。”你知道小亮和老師現(xiàn)在各是多少歲嗎？此類較復(fù)雜的年齡問(wèn)題，如果采用多線式線段圖（如圖12）來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，解題仍有一定困難，這就需要教師靈活采用符合學(xué)生理解水平的線段圖，把本題改為單線式線段圖（如圖13）幫助學(xué)生分析。通過(guò)線段圖，我們清晰地看到43歲與1歲之間整整有三個(gè)年齡差，即用（43-1）÷（4-1）=12歲就能求出兩人的一個(gè)年齡差，那么現(xiàn)在小亮的年齡就是1+12=13歲，現(xiàn)在老師的年齡就是13+12=25歲。

再如四下（如圖14）：下面的長(zhǎng)方形被分成兩部分，已知陰影部分的面積比空白部分的面積大20平方厘米，求陰影部分的面積是多少平方厘米。題中的示意圖不能清楚地表示出這兩個(gè)量之間的相差關(guān)系，但如果轉(zhuǎn)化成線段圖，學(xué)生很容易就能找到解題的共性，拓展思維，使問(wèn)題得以順利解決。

應(yīng)該說(shuō)，這樣的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生領(lǐng)悟畫(huà)圖對(duì)分析和解決問(wèn)題的價(jià)值是有很好的促進(jìn)作用的。再如：小林用壓歲錢的一半買了一個(gè)語(yǔ)言復(fù)讀機(jī)，又用余下的錢的一半多2元買了幾本課外書(shū)，這時(shí)還剩下148元，小林一共有多少壓歲錢？此類題型可以通過(guò)畫(huà)圖理清題意后再用列提綱的方法來(lái)表示壓歲錢的變化過(guò)程（如圖15），即由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，再?gòu)男无D(zhuǎn)化成數(shù)。數(shù)與形的結(jié)合，明確顯示出已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系，激活了學(xué)生的解題思路，這是以形助數(shù)運(yùn)用的極致，實(shí)現(xiàn)了形象思維與抽象思維的互補(bǔ)。如果針對(duì)該類題型采用列提綱法，則對(duì)以后高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題起到不可估量的作用。

從以上幾個(gè)例子可以得出，我們?cè)谥心昙?jí)的教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生合理畫(huà)圖，能讓學(xué)生充分感受到合理示圖利于理清關(guān)系，靈活解決問(wèn)題，提升能力。

五、拾補(bǔ)

上面筆者就中年級(jí)出現(xiàn)的題型借助畫(huà)線段圖、示意圖或列提綱的方法，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，把抽象的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化位具體形象的圖形，化難為易、化繁為簡(jiǎn)，快速解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展了學(xué)生的思維。數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的思想方法，更是中年級(jí)解決實(shí)際問(wèn)題的有效手段與方法，雖然此思想在教材中并未明確指出，但對(duì)學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和知識(shí)的應(yīng)用有深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)然，除了以形助數(shù)，到了高年級(jí)還可以由數(shù)思形，如對(duì)之類的計(jì)算也完全可以用畫(huà)正方形的辦法來(lái)解決，真正做到數(shù)形轉(zhuǎn)化。特別是在新課程改革背景下，教師更應(yīng)將此思想貫穿其中，正如美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩所說(shuō)：如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法。