●吳銀生

(溫州市第八高級(jí)中學(xué) 浙江溫州 325000)

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對一道省賽壓軸題的本源探究與推廣*

●吳銀生

(溫州市第八高級(jí)中學(xué) 浙江溫州 325000)

2016年浙江省數(shù)學(xué)競賽一試最后一題數(shù)列題，得分率非常低，問題的根源在于對于此題的本源難以揭示.文章從“整體代換”與“唯一分解”2個(gè)角度揭示問題的本源，并進(jìn)行拓展與延伸.

數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法；整體代換；唯一分解

1 問題提出

題目 給定數(shù)列{xn}，證明存在唯一分解xn=yn-zn，其中數(shù)列{yn}非負(fù)，{zn}單調(diào)不減，并且yn(zn-zn-1)=0,z0=0.

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽一試試題)

本題的得分率非常低，無論教師還是學(xué)生都感到無從下手，甚至看標(biāo)準(zhǔn)答案都有點(diǎn)“云里霧里”.究其根源在哪里？是對本題的本源難以揭示.

2 揭示本源

2.1 本源問題1

2.1.1 問題闡述

將zn-zn-1看成一個(gè)整體，然后利用代換的思想進(jìn)行解決.

于是有序?qū)?/p>

分析 只需證明對任意的正整數(shù)n，滿足

的(yn,zn)存在且唯一.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)，y1(z1-z0)=y1z1=0,從而

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題等價(jià)于

若xk+1+zk≥0，則

于是

若xk+1+zk<0，則

于是

命題成立.

因此，對于任意的自然數(shù)n，命題均成立，原問題得證.

2.1.2 追溯考題

“整體代換”的思想在解決一些習(xí)題中常常能發(fā)揮別樣的精彩.

例1 已知f(x)=ax2+bx，滿足1≤f(-1)≤2且2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

解 由已知可得f(1)=a+b，f(-1)=a-b,則

于是

f(-2)=f(1)+3f(-1).

又f(-1)∈[1,2]，f(1)∈[2,4]，故f(2)∈[5,10].

解 同例1，可以用f(0),f(1),f(-1)來表示a,b,c.因?yàn)閒(-1)=a-b+c,f(1)=a+b+c,f(0)=c,所以

c=f(0),

f(0)(1-x2).

2.2 本源問題2

2.2.1 問題闡述

分析 當(dāng)n=1時(shí)，y1z1=0，則

從而x1的正負(fù)決定分解方式且唯一.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，xk=yk-zk分解唯一.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，令yk+1=ayk,zk+1=bzk,由yk+1(zk+1-zk)=0，即

ayk(bzk-zk)=0,

從而a=0或b=1.又?jǐn)?shù)列{yn}非負(fù)，{zn}單調(diào)不減，且z0=0，則

yn≥0,zn≥0,

從而

于是

xk+1=ayk-bzk，

即

zk+xk+1=ayk-(b-1)zk.

令b-1=c，則

zk+xk+1=ayk-czk，

其中zk+xk+1,yk,zk是已知的，由n=1時(shí)的結(jié)論可知分解唯一.

2.2.2 拓展與推廣

推廣1 給定數(shù)列{xn}，存在唯一分解xn=yn-zn，其中數(shù)列{yn}單調(diào)不減，{zn}單調(diào)不減，且

(yn-yn-1)(zn-zn-1)=0,y0=z0=0.

證明 當(dāng)n=1時(shí)，y1z1=0,則

從而x1的正負(fù)決定分解方式且唯一.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，xk=yk-zk分解唯一，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，令yk+1=myk,zk+1=nzk,又(yk+1-yk)(zk+1-zk)=0,即

(m-1)yk(b-1)zk=0,

從而m=1或n=1.又?jǐn)?shù)列{yn}單調(diào)不減，{zn}單調(diào)不減,y0=z0=0,則y0≥0，z0≥0，從而

于是

xk+1=myk-nzk,

即

xk+1+zk-yk=(a-1)yk-(b-1)zk.

設(shè)a=m-1,b=n-1,則xk+1+zk-yk=ayk-bzk,其中xk+1+zk-yk，yk，zk已知，由上面的結(jié)論可知分解唯一.

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k=0時(shí)，推廣2顯然不成立；當(dāng)k為負(fù)整數(shù)時(shí)，也不成立，于是筆者猜想：

分析 當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，與文首給出的原題證法一致，猜想成立.當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，不妨先證明k=2的情況:

即zk+1=zk，于是

又xk+1,zk是已知的，因此yk+1確定，分解唯一.

在證明方法中，都沒有考慮xn=0的情況.由此推廣，當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，與k=2證法一致，猜想成立.

?2016-05-19；

2016-06-27

吳銀生(1984-)，男，浙江溫州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)11-45-03