盧風(fēng)平

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)復(fù)習(xí)課占了很大的比重，本文從復(fù)習(xí)目標(biāo)主線的確定、教學(xué)環(huán)節(jié)的規(guī)劃、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的預(yù)估分析，談?wù)剰?fù)習(xí)課備課中如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計(jì)；復(fù)習(xí)課；備課；等比數(shù)列

備課應(yīng)重視教學(xué)設(shè)計(jì)的研究，要多角度分析教學(xué)內(nèi)容，確定教學(xué)目標(biāo)的主線；合理規(guī)劃每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，做好素材研究；教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)需進(jìn)行適宜的預(yù)估分析. 對(duì)于直接面對(duì)高考的高三數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該重視備課的教學(xué)設(shè)計(jì)研究.在備課之初我們要思考一些問題：這節(jié)課的復(fù)習(xí)價(jià)值到底是什么？通過這節(jié)復(fù)習(xí)課知識(shí)上應(yīng)該達(dá)到什么要求，方法上需要掌握哪些？預(yù)期學(xué)生的能力應(yīng)該達(dá)到什么樣的高度？顯性表現(xiàn)為測(cè)驗(yàn)（或考試）能否達(dá)到預(yù)期的分?jǐn)?shù)？也就是說，備課之前的預(yù)備工作就是要厘清本節(jié)復(fù)習(xí)課中需要識(shí)記的知識(shí)點(diǎn)有哪些，需要理解后記憶的知識(shí)點(diǎn)有哪些，需要掌握的方法有哪些，哪些知識(shí)是與其他知識(shí)有聯(lián)系的共性知識(shí)，哪些方法是需要提升為核心技能的方法，這些共性知識(shí)和核心方法是否有必要升華為數(shù)學(xué)思想，等等. 這些都是教師在復(fù)習(xí)課備課前要著重思考的問題.本文以蘇州市高三一輪復(fù)習(xí)課“等比數(shù)列”為例，談?wù)剰?fù)習(xí)課備課中應(yīng)該如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

[?] 內(nèi)容形成塊，方法形成鏈，確定復(fù)習(xí)目標(biāo)的主線

1. 復(fù)習(xí)對(duì)象的整體分析

從大學(xué)數(shù)學(xué)的角度來看，分析類數(shù)學(xué)的核心是函數(shù)，而函數(shù)幾乎占據(jù)了高中數(shù)學(xué)的半壁江山. 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是定義在正整數(shù)集或其子集上的離散函數(shù). 正如等差數(shù)列是一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）在數(shù)列的應(yīng)用一樣，等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)及其推廣在數(shù)列中的應(yīng)用.因此，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系中，應(yīng)該始終以指數(shù)函數(shù)的視角來審視等比數(shù)列的屬性.比如，等比數(shù)列中的項(xiàng)是怎樣隨著下標(biāo)的變化而變化的，它的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系是怎樣的，這些關(guān)系與通項(xiàng)之間有著怎樣的關(guān)聯(lián)，與前n項(xiàng)和Sn又是怎樣取得聯(lián)系的. 以上這些關(guān)系都指向等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)（也即通項(xiàng)公式中的下標(biāo)），不論是通項(xiàng)公式還是前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，因此函數(shù)視角是復(fù)習(xí)等比數(shù)列的一條主線.

數(shù)列研究的對(duì)象是數(shù)，因此復(fù)習(xí)等比數(shù)列必然要研究與等比數(shù)列有關(guān)的運(yùn)算，因此，復(fù)習(xí)內(nèi)容的另一條主線是等比數(shù)列中的運(yùn)算，重溫探尋和建構(gòu)合理的運(yùn)算規(guī)則，總結(jié)等比數(shù)列的各項(xiàng)性質(zhì)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的. 適當(dāng)?shù)貙⑦\(yùn)算規(guī)則推廣，使之能解決比等比數(shù)列更為廣闊的問題. 比如，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是通過“累乘”法求得，原因是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，將這n-1個(gè)式子左右分別相乘就得到了通項(xiàng)公式，那么比較自然的聯(lián)想是將這個(gè)常數(shù)變成一個(gè)函數(shù)，因此形如“=f（n）（n≥2，n∈N*）”的遞推式的通項(xiàng)公式的求解也可以用“累乘”法. 再比如，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是通過“錯(cuò)位相消法”來求得的，它的原理是將Sn式子的兩邊同時(shí)乘上公比，從而達(dá)到數(shù)列的前一項(xiàng)變成后一項(xiàng)，將變形式子向后挪一位，使變形式子的第1項(xiàng)到第n-1項(xiàng)與原來式子的第二項(xiàng)到第n項(xiàng)完全相同，兩式相減就全部抵消了. 由此推廣到如果中間的n-1項(xiàng)不完全抵消，剩留的項(xiàng)也有一定的規(guī)律，這樣的規(guī)律能直接（或通過變形）求和，因此“錯(cuò)位相消法”可以推廣到一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘的“等差比數(shù)列”求和. 因此“累乘法”和“錯(cuò)位相消法”是本節(jié)課的方法核心.

2. 運(yùn)算角度的算理分析

高考數(shù)學(xué)離不開算，數(shù)列也一樣，對(duì)運(yùn)算的要求比較高，這就引發(fā)了等比數(shù)列中諸多與運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì). 復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)立足于讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到要能速算、巧算，減小運(yùn)算量必須認(rèn)真研究運(yùn)算問題，必須尋求合適的規(guī)則加以轉(zhuǎn)化，因此，應(yīng)用合適的算法是復(fù)習(xí)等比數(shù)列的基本出發(fā)點(diǎn). 它包括不同項(xiàng)的求和或求積問題如何快速運(yùn)算，如何將它們通過性質(zhì)或者變形快速而又準(zhǔn)確地算出所要求的結(jié)果，就需要“轉(zhuǎn)化和化歸”理論給予支撐. 因此，對(duì)于等比數(shù)列的運(yùn)算而言要做到“看問題，想變形，用條件，配性質(zhì)，得結(jié)論”.

例如，{an}已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Sn，已知=3，則=________. 看到這個(gè)題干和所要求的結(jié)論，應(yīng)該自然聯(lián)想應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)，而不是運(yùn)用求和公式進(jìn)行運(yùn)算，否則運(yùn)算過程將非常復(fù)雜，對(duì)數(shù)與式的處理能力要求非常高，且多花時(shí)間也不一定能得到正確結(jié)果.對(duì)于寸時(shí)寸金的高三學(xué)生來說無疑是個(gè)極大的浪費(fèi). 本例中實(shí)質(zhì)是公比不為-1的等比數(shù)列中每連續(xù)n項(xiàng)和均成等比數(shù)列，運(yùn)算的算理就是“整體思想”，將每n項(xiàng)固化為一個(gè)整體，任意一個(gè)整體中的每一項(xiàng)與第一個(gè)（或前一個(gè)）整體中的每一個(gè)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系找出來，就找到了整體間的關(guān)系，由此固化思維對(duì)于快速解答此類問題并得到正確結(jié)果有很大幫助. 另外，對(duì)于等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，則am·an=ap·aq，其實(shí)也是找整體間的關(guān)系. 由此可見，尋求整體間的關(guān)系可以作為本節(jié)復(fù)習(xí)課的現(xiàn)行組織者，是學(xué)生復(fù)習(xí)等比數(shù)列，乃至其他數(shù)列的理論基礎(chǔ)，是理解和體會(huì)“轉(zhuǎn)化和化歸”思想的良好素材.

由此可見，復(fù)習(xí)課備課時(shí)應(yīng)該注意將內(nèi)容濃縮成塊，甚至濃縮成珠，真正做到“內(nèi)容為珠，方法為線，一線串珠”. 幫助學(xué)生通過復(fù)習(xí)，在腦海中形成清清楚楚的幾條線，而不再是模模糊糊的一大片，甚至還是支離破碎的幾個(gè)點(diǎn).

[?] 規(guī)劃好每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，合理選編知識(shí)點(diǎn)、方法、例題及當(dāng)堂練習(xí)題和作業(yè)習(xí)題

1. 理好知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，選好核心方法，選定合理流程

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖是幫助學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu)、理明數(shù)學(xué)思想方法的好工具，同樣，它更是教師備課的好幫手，能提醒教師哪些知識(shí)點(diǎn)必須詳講，哪些知識(shí)點(diǎn)只需一帶而過，哪些知識(shí)點(diǎn)需要配備特定的方法解題，哪些知識(shí)點(diǎn)可以用不同的方法解題；針對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)所形成的知識(shí)塊，哪些方法處于核心地位要在課上將其凸現(xiàn)出來，哪些方法只要隱蔽其中讓學(xué)生體會(huì)即可.

等比數(shù)列是數(shù)列中的又一特殊數(shù)列，因此它的知識(shí)源頭是定義. 由定義可以引出通項(xiàng)公式，引出的方法有歸納、類比、疊乘等，但這些方法中疊乘處于核心地位，因此在復(fù)習(xí)時(shí)要將它放在突出位置，而歸納和類比不屬于核心方法，復(fù)習(xí)時(shí)可以點(diǎn)一下，甚至可以忽略.從通項(xiàng)公式可以導(dǎo)出前n項(xiàng)和公式，導(dǎo)出的方法有錯(cuò)位相消法，運(yùn)用合分比性質(zhì)，構(gòu)造方程方法等，同樣錯(cuò)位相消法處于核心地位，復(fù)習(xí)時(shí)要將其放在顯性位置，其他幾個(gè)方法同樣可以忽略.將疊乘法和錯(cuò)位相消法放在核心地位的另一個(gè)原因是它們可以應(yīng)用到與等比數(shù)列有關(guān)的其他知識(shí)中.

從高考角度上講，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式處于中心地位的知識(shí)是通項(xiàng)公式. 由通項(xiàng)公式可以導(dǎo)出簡(jiǎn)化計(jì)算的變形公式an=am·qn，可以推導(dǎo)出下標(biāo)的和相等、項(xiàng)的積相等，等距離地抽取一個(gè)子數(shù)列仍成等比數(shù)列，每n項(xiàng)和也成等比數(shù)列，等距離地抽取一些項(xiàng)的和也成等比數(shù)列等性質(zhì)，使涉及等比數(shù)列項(xiàng)的計(jì)算變得快捷準(zhǔn)確. 如果將通項(xiàng)公式看成一個(gè)中心主城的話，那么定義和前n項(xiàng)和公式兩個(gè)副中心，連接它們?nèi)咧g關(guān)系的知識(shí)可以看成它們的衛(wèi)星小城鎮(zhèn)，方法就可以看作是這些城市與城市之間，城市與衛(wèi)星鎮(zhèn)之間的道路，這樣一張知識(shí)方法網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖就完成了.

課的流程是指課從哪里開始，走向哪里，最后又在哪里結(jié)束. 針對(duì)等比數(shù)列這節(jié)復(fù)習(xí)課，課的起始應(yīng)該是等比數(shù)列的定義；然后再是通項(xiàng)公式，在通項(xiàng)公式處應(yīng)有較長(zhǎng)時(shí)間的停留，將與之相關(guān)聯(lián)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)與方法都復(fù)習(xí)一遍，并且配備一定量的例題和課堂練習(xí)題以及課后作業(yè)；接下來再走向前n項(xiàng)和公式，此處也要配備一定量的例習(xí)題，量可以較通項(xiàng)公式少一些；最后是將這些內(nèi)容方法再進(jìn)行綜合，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這些知識(shí)，掌握這些方法，并達(dá)到靈活運(yùn)用的程度，此處需要配備一個(gè)有較大難度的例題和有一定思維量的類似習(xí)題. 這樣復(fù)習(xí)大概需要兩節(jié)課的時(shí)間.

2. 活動(dòng)組織的設(shè)計(jì)要突出表征能力的訓(xùn)練

在課堂上，復(fù)習(xí)時(shí)有可能遇到如下尷尬：教師設(shè)計(jì)了精彩的問題，學(xué)生一片茫然，教師雖有問題鋪墊，但學(xué)生還是一頭霧水，啟而不發(fā)，最終以教師告知（直接或變相）而結(jié)束. 這種教與學(xué)在思維上的“錯(cuò)位”和“別扭”在復(fù)習(xí)課中更為普遍，究其原因是教師設(shè)計(jì)的問題剛好落在學(xué)生思維或記憶的盲區(qū)，沒有找到學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，選取的先行組織者無法激起學(xué)生的記憶，激活學(xué)生的思維，從而對(duì)知識(shí)的生成，方法的形成不能起到很好的“組織”作用. 這可能是新課上的不扎實(shí)，但更有可能是學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的遺忘，遺忘的最大原因是學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法沒有合理的表征，因此在復(fù)習(xí)課時(shí)更要將這種表征顯性化，要形象直觀，能圖形化的盡量圖形化，以幫助學(xué)生理解和記憶，不能將其變成只可意會(huì)不可言傳的默然知識(shí)而讓學(xué)生死記硬背.

等比數(shù)列中代數(shù)的對(duì)稱表征和整體表征比較普遍，現(xiàn)舉一例，以示說明.

例如，在公比q不為-1的等比數(shù)列{an}中，成等比數(shù)列學(xué)生幾乎都知道，說明這部分內(nèi)容的文字表征學(xué)生還可以，但問其公比是多少，學(xué)生不知所以. 很少有人能填出qn，即使填出來的也是猜的. 說明這部分的表征學(xué)生有一定困難.

如此的每n項(xiàng)的和合并成一項(xiàng)，看成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的比都是qn，所以這個(gè)新數(shù)列的公比就是qn. 其實(shí)這n項(xiàng)連同加號(hào)可以看成一幅圖，圖的內(nèi)容是上下兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同、結(jié)構(gòu)相似、非常對(duì)稱的“大項(xiàng)”，由此圖形的對(duì)稱表征就形成了，這有利于學(xué)生從整體角度認(rèn)識(shí)這一方法. 若將其總結(jié)成符號(hào)表征那就更有利于學(xué)生理解和記憶，配以文字表征，那么記憶將會(huì)更牢固. 當(dāng)然要注意，最好先“圖形對(duì)稱”表征，再“符號(hào)表征”，最后“文字表征”，否則可能會(huì)出現(xiàn)不解其意的死記硬背，表現(xiàn)為將題目稍加變形學(xué)生就束手無策. 這也就是常說的理科內(nèi)容文科學(xué)習(xí)方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)極為不利.

[?] 對(duì)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)也要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)念A(yù)估分析

備課時(shí)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)往往更多地關(guān)注活動(dòng)過程的設(shè)計(jì)，即先進(jìn)行什么程序，緊接著再干什么工作，最后的掃尾工作應(yīng)該怎么干. 很少有教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)進(jìn)行預(yù)估分析. 事實(shí)上，預(yù)估是對(duì)活動(dòng)環(huán)節(jié)的預(yù)案和備注. 在預(yù)估設(shè)計(jì)中盡可能地站在學(xué)生角度進(jìn)行思考和分析問題，預(yù)估他們會(huì)做出怎樣的舉動(dòng)，是否會(huì)有卡殼情形，會(huì)卡在哪里. 因此，以學(xué)生的實(shí)際學(xué)情為基礎(chǔ)、切合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的預(yù)估才具有可操作性. 通過預(yù)估的設(shè)計(jì)能更有效地組織活動(dòng)，使課堂教學(xué)更流暢，知識(shí)方法傳授更到位.

以本節(jié)課來看，了解學(xué)生的學(xué)情才是進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)估的基礎(chǔ)，因此高三復(fù)習(xí)可以將導(dǎo)學(xué)案先發(fā)給學(xué)生預(yù)習(xí)，并將學(xué)生預(yù)習(xí)的作業(yè)收起來批改，將學(xué)生預(yù)習(xí)作業(yè)中出現(xiàn)的問題歸類整理，有條件的將這些問題展示，在展示過程中尋找問題所在，并滲透知識(shí)點(diǎn)和方法的復(fù)習(xí). 本節(jié)課有四個(gè)主要考向，證明等比數(shù)列和求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 對(duì)于前兩個(gè)考向的問題學(xué)生預(yù)習(xí)下來知識(shí)運(yùn)用和方法選擇方面的問題基本沒有，就是書寫格式問題. 筆者準(zhǔn)備將學(xué)生的種種貌似規(guī)范，實(shí)質(zhì)不完整的書寫整理成照片通過投影儀放給學(xué)生看，其間指出學(xué)生的思維不嚴(yán)密之處，并同時(shí)指明所運(yùn)用的知識(shí)和方法.比如證明等比數(shù)列，所用知識(shí)就是等比數(shù)列的定義，所用方法是定義法、等比中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式判斷法和前n項(xiàng)和公式判斷法. 但后兩種方法在解答題中最好也要運(yùn)用定義證明，所以引出這兩種方法可能會(huì)引起學(xué)生思維混亂，反而達(dá)不到預(yù)期的復(fù)習(xí)效果，所以思考再三，決定舍棄后兩種方法. 對(duì)于求通項(xiàng)公式，除了格式外，學(xué)生另一個(gè)主要的問題是選擇比較煩瑣的計(jì)算方法，因此活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)要引出比較簡(jiǎn)單的運(yùn)用整體思想解題，這樣可以使學(xué)生能快速找到解題的突破口，節(jié)約寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間，做到低耗高效. 筆者準(zhǔn)備實(shí)施這段活動(dòng)的兩個(gè)方案：方案一，從煩瑣解題展示出發(fā)，然后引導(dǎo)學(xué)生指出其煩瑣之處，最后通過性質(zhì)引出簡(jiǎn)便計(jì)算方法，再用一個(gè)類似的練習(xí)題進(jìn)行當(dāng)堂鞏固；方案二，從學(xué)生中找出簡(jiǎn)便解法（只有一個(gè)學(xué)生用簡(jiǎn)便方法做）展示給其他學(xué)生看，讓其他學(xué)生總結(jié)其方法的優(yōu)點(diǎn)，總結(jié)成文，接下來同方案一. 兩個(gè)方案各有優(yōu)劣，學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的掌握在一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)有太大區(qū)別. 考慮到課堂時(shí)間的金貴，而且高三的課堂主要面對(duì)高考，所以選擇第二種方案較好. 其他兩個(gè)考向不再贅述. 通過預(yù)估分析以后的課堂實(shí)施就比較順利地完成了各項(xiàng)活動(dòng)，取得了較為滿意的效果.

在教學(xué)過程中，根據(jù)預(yù)先活動(dòng)預(yù)估設(shè)計(jì)，可實(shí)施對(duì)教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)（根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)）進(jìn)行不斷的調(diào)控和變換教學(xué)活動(dòng)組織的方式，使課堂更流暢、更順利. 當(dāng)然，課前不可能將活動(dòng)的所有情形都預(yù)估到，但是只有課前充分地預(yù)估，才可能出現(xiàn)課上自然而然地生成.

總之，備課要充分研究復(fù)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，不斷提高教學(xué)設(shè)計(jì)中每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義復(fù)習(xí)，夯實(shí)自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升自身的數(shù)學(xué)能力提供保障.