龔圣龍

[摘 要] 追求自然和諧的數(shù)學(xué)課堂是每個(gè)數(shù)學(xué)教師的目標(biāo)，如何讓教學(xué)設(shè)計(jì)的每個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置都能自然銜接、絲絲入扣、層層遞進(jìn)，讓思維的發(fā)生、發(fā)散和輻射都是自然流暢地進(jìn)行著呢？

[關(guān)鍵詞] 橢圓參數(shù)方程；課堂；設(shè)計(jì)；自然

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念，在教學(xué)設(shè)計(jì)中充分考慮數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)及學(xué)生的心理特點(diǎn)，運(yùn)用多種教學(xué)方法和手段，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及他們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)有較為全面的認(rèn)識(shí)，為未來(lái)發(fā)展和進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

教材是師生雙方教與學(xué)的一個(gè)載體，新課標(biāo)要求教師用教材，而不是教教材.

那么如何重新整合、提煉、建構(gòu)教材，使教材“新鮮出爐”？如何讓教學(xué)設(shè)計(jì)的每個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置都能自然銜接、絲絲入扣、層層遞進(jìn)，讓思維的發(fā)生、發(fā)散和輻射都是自然流暢地進(jìn)行著呢？

筆者有幸上了一堂西南大學(xué)趙伶俐教授組織的國(guó)家級(jí)精品課《橢圓的參數(shù)方程》（北師版），下面筆者將結(jié)合《橢圓參數(shù)方程》這節(jié)課來(lái)談?wù)勛约簩?duì)教材處理的一些感悟.

[?] 橢圓的參數(shù)方程該如何建構(gòu)更自然？

幾套教材為代表的幾種常見(jiàn)處理模式：

人教A版：在“橢圓的參數(shù)方程”部分，教科書(shū)用類似于“圓的參數(shù)方程”中例4的代數(shù)方法，直接得出橢圓+=1（a>b>0）的一個(gè)參數(shù)方程為x=acosφ，

y=bsinφ （φ為參數(shù)），然后引導(dǎo)學(xué)生思考：“類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義，橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)φ的意義是什么？（教材27頁(yè)）

編者的意圖是想先通過(guò)純粹的代數(shù)和三角變換得到橢圓的參數(shù)方程，再用幾何的方法（如圖1所示的兩個(gè)同心圓）來(lái)尋求參數(shù)φ的幾何意義.

幾套教材各有所長(zhǎng)、各有側(cè)重（湘教版未介紹幾何意義但對(duì)三角代換講述詳細(xì)）. 筆者查詢了其他教師的一些設(shè)計(jì)，基本也都是這幾個(gè)方式，筆者自己也都嘗試過(guò)，但總是有不盡如人意的地方. 雖然學(xué)生能“聽(tīng)懂”，但很多都是似懂非懂，總是有幾個(gè)困惑：一是學(xué)生會(huì)想這個(gè)圖形（同心圓）是怎么來(lái)的；二是有學(xué)生說(shuō)我知道這個(gè)是對(duì)的，但不知道是怎么想到的；三是圖形復(fù)雜，學(xué)生對(duì)參數(shù)的選擇可能會(huì)有困難（怎么就想到將φ作為參數(shù)）；四是這個(gè)圖形的講解過(guò)程學(xué)生的主動(dòng)探究成分有多少；五是這個(gè)求解過(guò)程對(duì)學(xué)生的后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何指導(dǎo)意義；六是橢圓的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義和圓參數(shù)方程的幾何意義難道就僅僅是相似或者說(shuō)易混嗎？

經(jīng)過(guò)筆者的思考和實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)如下設(shè)計(jì)處理更為自然.

以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)橢圓參數(shù)方程的建構(gòu)，讓學(xué)生在問(wèn)題串的引導(dǎo)下深入地思考，給學(xué)生充分的交流、發(fā)言的機(jī)會(huì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的思維性及以生為本的理念. 力求課堂內(nèi)容內(nèi)涵豐富，凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì).

問(wèn)題2：圓x2+y2=a2（a>0）的參數(shù)方程是什么？既然圓可以通過(guò)上述變換得到橢圓，那你能否利用圓x2+y2=a2（a>0）的參數(shù)方程，并借助上述變換得到橢圓+=1（a>b>0）的參數(shù)方程？

問(wèn)題3：橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義是什么？

設(shè)計(jì)分析：圓學(xué)生很熟悉，由圓壓縮變?yōu)闄E圓也很直觀，這種變換也是學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓新課所經(jīng)歷過(guò)的內(nèi)容（北師版教材選修2-1的91～93頁(yè)專門(mén)介紹過(guò)均勻壓縮），學(xué)生也可以聯(lián)想三角函數(shù)的伸縮變換得出圓上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍就變?yōu)闄E圓. 代數(shù)表達(dá)式就是x′=x，

y′=y，因此問(wèn)題1學(xué)生上手很容易. 圓的參數(shù)方程學(xué)生上節(jié)課剛學(xué)習(xí)，比較熟悉，而在圓上任意取一個(gè)點(diǎn)A（acosφ，asinφ），經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換得到M（acosφ，bsinφ），學(xué)生不會(huì)覺(jué)得難，故問(wèn)題2就顯得水到渠成了.

本設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)是既保留了教材編者的設(shè)計(jì)意圖，又不至于直接拿出兩個(gè)圓，顯得突兀并且復(fù)雜，而是通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)形式讓教材上的兩個(gè)同心圓一個(gè)一個(gè)地出來(lái)，遵循從簡(jiǎn)單到難的策略一步一步展示出來(lái). 如圖3：

本設(shè)計(jì)結(jié)合動(dòng)畫(huà)展示出來(lái)后，教材立馬從“冷冰冰的面孔”變得鮮活多姿，學(xué)生不僅從代數(shù)上和直觀上確認(rèn)參數(shù)φ的幾何意義就是橢圓所對(duì)應(yīng)的大圓上一點(diǎn)和橢圓中心連線與x軸正半軸的夾角，而不是OM的旋轉(zhuǎn)角∠x(chóng)OM，有效地突破了本節(jié)課的難點(diǎn)，而且也呼應(yīng)了教材上的兩個(gè)同心圓問(wèn)題. 通過(guò)筆者的上課實(shí)踐比較，本設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更加自然，也更加有效.

[?] 橢圓規(guī)的構(gòu)造原理該怎樣理解？

人教A版、北師版、湘教版三套教材中都有橢圓規(guī)的構(gòu)造原理的探究，編者提示學(xué)生求軌跡的參數(shù)方程. 筆者以為編者的提示是合理的，但是利用參數(shù)方程只是檢驗(yàn)了該工具確實(shí)能畫(huà)出橢圓，據(jù)此認(rèn)定它是橢圓規(guī)的構(gòu)造原理似乎有點(diǎn)兒不甚合理. 還有之前筆者就有疑問(wèn)：教材中的同心圓的求解過(guò)程對(duì)學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有無(wú)指導(dǎo)意義？如果同心圓的構(gòu)造只是為了引出橢圓的參數(shù)方程，知道了參數(shù)φ的幾何意義就束之高閣未免過(guò)于可惜.

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道橢圓可以由兩個(gè)同心圓經(jīng)過(guò)伸縮變換而得到，而橢圓規(guī)也確實(shí)是畫(huà)出了橢圓，那么這兩者之間有什么聯(lián)系呢？

如圖4，過(guò)點(diǎn)O作OA平行于MN，且OA=MN. 在OA上取點(diǎn)B，使得OB=MP. 讓P，N兩點(diǎn)分別在x，y軸上運(yùn)動(dòng)，就相當(dāng)于A或者B點(diǎn)繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)M的軌跡就是一個(gè)橢圓. 于是，橢圓規(guī)的構(gòu)造原理已躍然紙上（這可能也是編者用兩個(gè)同心圓來(lái)建構(gòu)橢圓的參數(shù)方程的原因之一吧，如果教師在上課的過(guò)程中忽略了這一點(diǎn)聯(lián)系，那不僅是枉費(fèi)了編者的一番苦心，也使得學(xué)生對(duì)橢圓規(guī)的原理的理解一知半解，只知道能畫(huà)出來(lái)，不知道為什么能畫(huà)出來(lái)）. 實(shí)際上圖4中反映出來(lái)的，既有圓與橢圓之間的相互伸縮變換關(guān)系，也有橢圓的普通方程與參數(shù)方程之間的相互轉(zhuǎn)換，還有利用兩個(gè)同心圓進(jìn)行橢圓規(guī)的構(gòu)造，這一切不正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美與簡(jiǎn)潔美嗎？

設(shè)計(jì)分析：筆者覺(jué)得教材這個(gè)思考固定了學(xué)生的思維，學(xué)生的思維被引到了參照教材33頁(yè)的圓的參數(shù)方程的求法去計(jì)算. 而筆者對(duì)本問(wèn)題的設(shè)計(jì)，先給出圓的兩種參數(shù)方程作為例子（實(shí)際有很多種），讓學(xué)生自由寫(xiě)出橢圓的另一種形式. 不局限于一定要是這兩種形式，還可以是其他的，這樣學(xué)生的思維就被打開(kāi)了. 就算是想到和上面的圓的第二種相似的方程，也可以是兩種思維：一是直接從形式上類比，作一個(gè)合情推理，再來(lái)驗(yàn)證是否正確；二是參照北師版教材上的圓的第二種參數(shù)方程的計(jì)算過(guò)程，來(lái)算出橢圓的參數(shù)方程x=

[?] 引導(dǎo)學(xué)生多維度認(rèn)識(shí)橢圓的生成方式

教師在教學(xué)過(guò)程中要“瞻前顧后”，更大程度上把知識(shí)的教學(xué)伴隨在培養(yǎng)態(tài)度、能力的過(guò)程之中. 本節(jié)課橢圓的參數(shù)方程是圓錐曲線的參數(shù)方程的第一課時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)定義、方程以及與其他圓錐曲線和直線關(guān)系的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了多次從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程. 但是從參數(shù)的角度認(rèn)識(shí)橢圓還是第一次，尤其是得到橢圓圖形的過(guò)程：①平面截圓錐，當(dāng)角度合適時(shí)，截口曲線是一個(gè)橢圓；②兩個(gè)定義（以兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定點(diǎn)加一條定直線得到橢圓）；③本節(jié)課教材從兩個(gè)圓中演變出橢圓的參數(shù)方程；④本設(shè)計(jì)從一個(gè)圓通過(guò)伸縮變換（均勻壓縮）得到橢圓. 還有其他生成橢圓的方式可以讓學(xué)生了解，因此本節(jié)課是學(xué)生從多角度、多層次認(rèn)識(shí)橢圓的上升過(guò)程. 另外，從教材的編排來(lái)看，橢圓的參數(shù)方程被安排在圓的參數(shù)方程與雙曲線的參數(shù)方程之間，起著銜接、過(guò)渡、承前啟后的作用. 作為圓錐曲線的核心內(nèi)容，橢圓的參數(shù)方程學(xué)習(xí)是圓的參數(shù)方程的演化，也是類比學(xué)習(xí)后面雙曲線、拋物線參數(shù)方程的基礎(chǔ). 教師在教學(xué)中要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)延伸，避免造成學(xué)生只是孤立地學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí).

[?] 教學(xué)反思

本設(shè)計(jì)著力從以下幾個(gè)方面來(lái)做出一些創(chuàng)新：

（1）利用運(yùn)動(dòng)變換的思想從學(xué)生熟悉的圓的參數(shù)方程得到橢圓的參數(shù)方程并明確參數(shù)的幾何意義. 學(xué)生在學(xué)橢圓新課時(shí)教材專門(mén)介紹過(guò)從圓壓縮為橢圓的均勻壓縮，這樣學(xué)生在得到橢圓參數(shù)方程時(shí)就不存在參數(shù)選擇的困難，從而順利得出橢圓的參數(shù)方程，并且從代數(shù)上和直觀上確認(rèn)參數(shù)的幾何意義就是橢圓所對(duì)應(yīng)的大圓上一點(diǎn)和橢圓中心連線與x軸正半軸的夾角，從而使難點(diǎn)得到有效突破. 關(guān)于人教A版教師用書(shū)：“仔細(xì)研究上述變換過(guò)程，也可從中得出參數(shù)的幾何意義，上述過(guò)程不要求學(xué)生了解.” （教師用書(shū)24頁(yè)）筆者認(rèn)為，編者的意思是教師對(duì)伸縮變換不作擴(kuò)展，不作一般意義上的推廣，以免加重學(xué)生的負(fù)擔(dān). 筆者通過(guò)本節(jié)課實(shí)踐發(fā)現(xiàn)先從圖像動(dòng)畫(huà)入手，讓學(xué)生觀察圓是怎么變成橢圓的，再讓學(xué)生說(shuō)出圓上每一點(diǎn)的坐標(biāo)是怎么變化的，學(xué)生就覺(jué)得很直觀，很容易接受. 避免了教師冷冰冰的介紹什么是伸縮變換，變換中原坐標(biāo)和新坐標(biāo)有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系，再學(xué)習(xí)從圓能到橢圓的過(guò)程，就不會(huì)加重學(xué)生的負(fù)擔(dān).

（2）幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)演示加深了學(xué)生對(duì)橢圓軌跡的形成及參數(shù)的幾何意義的理解. 設(shè)計(jì)中用幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)演示圓變成橢圓的形成過(guò)程，在這種運(yùn)動(dòng)變換的思想指導(dǎo)下學(xué)生能很好地理解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，有效地突破難點(diǎn)，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓參數(shù)方程的興趣. 通過(guò)讓學(xué)生在圖形中找出線段b也呼應(yīng)了教材上的兩個(gè)同心圓問(wèn)題.

（3）將對(duì)橢圓規(guī)的原理的探究與構(gòu)建橢圓的參數(shù)方程時(shí)的同心圓聯(lián)系起來(lái)，既讓學(xué)生對(duì)原理更加清晰，也豐富了教材同心圓的應(yīng)用.

（4）引導(dǎo)學(xué)生多維度認(rèn)識(shí)橢圓的生成方式.

教學(xué)過(guò)程本應(yīng)是師生自然發(fā)展、自然完善的過(guò)程，追求自然和諧的數(shù)學(xué)課堂也是每個(gè)數(shù)學(xué)教師的目標(biāo)，但若教學(xué)設(shè)計(jì)不關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)和規(guī)律，就會(huì)使教學(xué)過(guò)程生硬、被動(dòng)，目標(biāo)達(dá)成不自然. 教師深入研究教材、體會(huì)編者意圖、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，不斷暴露學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的思維過(guò)程，讓學(xué)生能充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，從而體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂才會(huì)更加自然！