李建明

[摘 要] 坐標(biāo)法思想是解析幾何內(nèi)容的核心素養(yǎng)之所在！也是平面解析幾何學(xué)科育人價(jià)值的重要體現(xiàn)，這一價(jià)值是其他所有高中數(shù)學(xué)學(xué)科分支所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，其獨(dú)特功能無(wú)可替代. 它應(yīng)該也必須貫穿平面解析幾何學(xué)教學(xué)的始終. 設(shè)置導(dǎo)言課“先行滲透”坐標(biāo)法思想，對(duì)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解這一新的學(xué)科分支意義重大.

[關(guān)鍵詞] 坐標(biāo)法思想；導(dǎo)言課；先行滲透

“在數(shù)學(xué)中得到的訓(xùn)練和修養(yǎng)會(huì)很好地幫助我們學(xué)習(xí)其他理論，數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高對(duì)于個(gè)人能力的發(fā)展至關(guān)重要”（人教版教材《主編寄語(yǔ)》）. 新一輪課改也要求學(xué)科教學(xué)要能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生今后發(fā)展所需的學(xué)科核心素養(yǎng)！什么樣的課堂教學(xué)能讓學(xué)生得到這樣的訓(xùn)練與修養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為需要思考兩個(gè)問(wèn)題：首先要明白數(shù)學(xué)學(xué)科到底應(yīng)該教給學(xué)生什么，某一數(shù)學(xué)學(xué)科分支的核心育人價(jià)值在哪里；其次就是課堂教學(xué)如何最大限度地發(fā)揮該學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值以提升學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng). 本文嘗試以《解析幾何》這一數(shù)學(xué)學(xué)科分支內(nèi)容為對(duì)象，談點(diǎn)個(gè)人的體會(huì)與認(rèn)識(shí)，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

[?] 坐標(biāo)法思想是《解析幾何》的核心素養(yǎng)之所在

當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，認(rèn)為解析幾何就是研究直線、圓和圓錐曲線的方程及其性質(zhì)的學(xué)科的師生普遍存在，應(yīng)該說(shuō)這種認(rèn)識(shí)既狹隘又片面. 事實(shí)上，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想. 課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過(guò)程：首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；其次，處理代數(shù)問(wèn)題；最后，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題. 這里的幾何問(wèn)題可以覆蓋中學(xué)所有的平面圖形，至于通過(guò)研究什么曲線來(lái)經(jīng)歷上述過(guò)程實(shí)現(xiàn)課標(biāo)要求并非問(wèn)題的本質(zhì)，教材的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生通過(guò)對(duì)幾種特殊平面圖形（直線、圓及圓錐曲線）的坐標(biāo)法研究過(guò)程，來(lái)體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 可見(jiàn)坐標(biāo)法思想才是解析幾何內(nèi)容的核心素養(yǎng)之所在，也是平面解析幾何學(xué)科育人價(jià)值的重要體現(xiàn). 這一價(jià)值是其他所有高中數(shù)學(xué)學(xué)科分支所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，其獨(dú)特功能無(wú)可替代. 它應(yīng)該也必須貫穿平面解析幾何學(xué)教學(xué)的始終.鑒于以上認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為坐標(biāo)法思想是高中解析幾何學(xué)科的核心價(jià)值之所在，它在培養(yǎng)并提升學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)上能起到獨(dú)特功能.

[?] 導(dǎo)言課“先行滲透”坐標(biāo)法思想的意義與教學(xué)目標(biāo)

人教A版高中數(shù)學(xué)教材每章都有章頭圖與章引言，對(duì)全章內(nèi)容與思想方法進(jìn)行統(tǒng)領(lǐng)性的介紹，但限于篇幅與內(nèi)容特點(diǎn)，這種介紹無(wú)法呈現(xiàn)“解析幾何”內(nèi)容所特有的歷史地位與思想價(jià)值，無(wú)法讓學(xué)生充分感受到坐標(biāo)法思想的精髓與靈魂，這種簡(jiǎn)要介紹只會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生并留存下更多的疑惑，為此我們認(rèn)為有必要設(shè)置一節(jié)融章頭圖與章引言內(nèi)容在內(nèi)的“導(dǎo)言課”. 它既是起始課，也是統(tǒng)領(lǐng)課. 通過(guò)導(dǎo)言課，我們要幫助學(xué)生站在整體與全局的視角了解這一學(xué)科的歷史起源，通過(guò)具體案例幫助學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法思想實(shí)現(xiàn)的可能性，通過(guò)經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題的探究過(guò)程了解解析幾何學(xué)科的研究方法與手段，感悟它獨(dú)特的思維方式與育人價(jià)值. 從先行組織者的觀點(diǎn)看，通過(guò)導(dǎo)言課“先行滲透”坐標(biāo)法思想，對(duì)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)理解這一新的學(xué)科分支意義重大.

設(shè)置導(dǎo)言課還有助于學(xué)生在整個(gè)解析幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，都能在坐標(biāo)法思想光芒指引下不斷提升發(fā)展核心素養(yǎng). 學(xué)生通過(guò)這節(jié)課體會(huì)了坐標(biāo)法思想與坐標(biāo)法解決問(wèn)題的方法步驟后，就相當(dāng)于從此掛起了一盞導(dǎo)航明燈，從此學(xué)生就能在此明燈的光芒照射下在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下展開(kāi)研究學(xué)習(xí). 雖然在具體問(wèn)題的解決中會(huì)碰到不同的曲線，會(huì)有不同的形成規(guī)則，也會(huì)有不同的代數(shù)形式，處理代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程會(huì)略有差異，但坐標(biāo)法思想不會(huì)改變，問(wèn)題解決的基本過(guò)程與步驟幾無(wú)差別. 如果能切實(shí)地將這一思想貫穿于平面解析幾何學(xué)科分支的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的始終，可以相信，在本內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束之時(shí)，坐標(biāo)法思想一定會(huì)在學(xué)生思維深處留下深深的烙印，解析幾何的獨(dú)特育人價(jià)值一定能在學(xué)生身上得到體現(xiàn)，學(xué)生在這一學(xué)科分支的核心素養(yǎng)就能得到很好的培養(yǎng)與提高.

[?] 實(shí)踐與探索——充滿生機(jī)與活力的導(dǎo)言課

鑒于以上的認(rèn)識(shí)與設(shè)想，我們開(kāi)展了系統(tǒng)的研究與探索，取得了一些共識(shí)與成果，下面通過(guò)《解析幾何導(dǎo)言課》的設(shè)計(jì)教學(xué)談?wù)劸唧w的實(shí)踐與體會(huì). （實(shí)踐案例的教學(xué)過(guò)程）

1. 回顧與欣賞

我們今天開(kāi)始將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容有“近代數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑”的美譽(yù).這是一座什么樣的里程碑呢？在這座里程碑之前我們的數(shù)學(xué)都走過(guò)了一段什么樣的路途呢？讓我們沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，一起來(lái)回顧與欣賞數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，慢慢走近這座豐碑！

問(wèn)題1：從小學(xué)到現(xiàn)在，我們都學(xué)習(xí)過(guò)哪些不同的數(shù)學(xué)分支？你知道代數(shù)學(xué)研究什么內(nèi)容嗎？幾何學(xué)又研究什么內(nèi)容呢？（代數(shù)主要研究數(shù)與式的運(yùn)算，幾何研究三角形、四邊形、圓等幾何圖形的性質(zhì)）

我們學(xué)到現(xiàn)在所掌握的代數(shù)與幾何知識(shí)在歷史上相當(dāng)于16世紀(jì)末的水平，此時(shí)的幾何學(xué)就像個(gè)“帥小伙”，已長(zhǎng)得既帥氣又有內(nèi)涵；而代數(shù)學(xué)就如同一個(gè)漂亮的“小姑娘”，出落得亭亭玉立，做起事來(lái)細(xì)心又精致. 但直到十五世紀(jì)末，小伙與姑娘始終保持著一定的距離，幾乎沒(méi)任何關(guān)聯(lián).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不點(diǎn)題的介紹，了解即將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分支的重要性，同時(shí)通過(guò)簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)回顧，理清代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)所研究對(duì)象與研究方法的差異，為后續(xù)問(wèn)題的解決做好鋪墊. 將數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)以“講故事”的方式演繹，可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性. 擬人的比喻能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)的幽默與靈動(dòng)，讓課堂充滿生機(jī)與活力.

讓我們來(lái)一次集體“穿越”，來(lái)到十六世紀(jì)的歐洲：隨著科技的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要. 比如，天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行的；伽利略發(fā)現(xiàn)拋擲物體是沿拋物線運(yùn)動(dòng)的.

要研究解決這些問(wèn)題，需要運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，需要精確測(cè)定經(jīng)緯度，需要研究曲線的切線，這些都難以僅用靜態(tài)幾何的方法來(lái)解決. 顯然我們碰到了新問(wèn)題.

問(wèn)題2：面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題需要解決時(shí)，我們習(xí)慣的辦法會(huì)怎么做？（試圖用老方法來(lái)解決）如果老方法解決不了新問(wèn)題，又該做怎樣的思考？哪些問(wèn)題是值得我們分析的？

設(shè)計(jì)意圖：借用富有時(shí)代氣息的詞句引領(lǐng)學(xué)生一起走進(jìn)歷史的時(shí)光隧道，幫助學(xué)生感受歷史的真切感，在學(xué)生感覺(jué)身臨其境的狀態(tài)下引導(dǎo)他們一起展開(kāi)思考與分析，可以最大限度地激發(fā)學(xué)生的身心狀態(tài)，全身心地投入問(wèn)題的思考中. 問(wèn)題2的設(shè)置不只給學(xué)生思考問(wèn)題解決的途徑，更重要的是幫助學(xué)生建立了一種分析處理新問(wèn)題、解決新問(wèn)題的基本模式與套路.

2. 思考與變革

面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題，我們習(xí)慣的思維是嘗試可能的老方法來(lái)解決，如果老方法解決不了，我們必然會(huì)尋求新的方法，如何能找到新方法呢？下面這些問(wèn)題是值得我們思考與分析的：

問(wèn)題3：天體運(yùn)行的幾何形態(tài)（新問(wèn)題）與初等幾何研究的幾何圖形（老問(wèn)題）的本質(zhì)區(qū)別是什么？（展示兩個(gè)對(duì)比圖，圖3以動(dòng)畫形態(tài)呈現(xiàn)：行星繞著太陽(yáng)沿橢圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)）

問(wèn)題4：如圖3，要研究這一類新問(wèn)題中天體運(yùn)行的狀態(tài)（比如說(shuō)要確定在某時(shí)刻該行星運(yùn)行在什么位置、拋出的物體在某時(shí)刻會(huì)飛到什么地方等），你認(rèn)為需要什么手段？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比圖的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生體會(huì)兩種幾何形態(tài)的差異：動(dòng)態(tài)與靜態(tài)！動(dòng)態(tài)的幾何圖形是由點(diǎn)按某種方式運(yùn)動(dòng)后得到的，這是我們現(xiàn)在碰到的幾何形態(tài)的一個(gè)共性. 問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)的方法把握這樣一種運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，幫助學(xué)生自己想到用代數(shù)計(jì)算的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，給學(xué)生模擬經(jīng)歷數(shù)學(xué)方法在需要之中被“再發(fā)現(xiàn)”的機(jī)會(huì).

事實(shí)上，在真實(shí)的歷史發(fā)展中，十七世紀(jì)法國(guó)的兩位數(shù)學(xué)家的基本數(shù)學(xué)思想與我們剛才的想法是一致的，正是他們大膽的設(shè)想與艱辛卓越的工作，這樣的豐碑才得以建立. 先讓我們一起來(lái)了解一下兩位偉大數(shù)學(xué)家和他們?nèi)〉玫某删停ㄍㄟ^(guò)課件出示兩位科學(xué)家的頭像并對(duì)其生平和對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)進(jìn)行介紹）：

當(dāng)時(shí)的他們各自獨(dú)立地都把精力集中在研究怎樣把代數(shù)方法用于解決幾何問(wèn)題，讓我們沿著他們的足跡，繼續(xù)尋求如何實(shí)現(xiàn)用代數(shù)計(jì)算的方法來(lái)解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.

問(wèn)題5：要實(shí)現(xiàn)代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，首先要解決的是將幾何元素用代數(shù)形式表示出來(lái). 根據(jù)我們目前所學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為要實(shí)現(xiàn)上述設(shè)想有條件嗎？什么工具能幫助我們實(shí)現(xiàn)？（將幾何元素表示為代數(shù)形式）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)介紹兩位數(shù)學(xué)家的思想與成就，一是幫助學(xué)生了解解析幾何發(fā)明的真實(shí)背景與歷史，二是讓學(xué)生感受到我們今天一系列的思維與想法與當(dāng)年偉大數(shù)學(xué)家的思想很相近，油然而生的自豪感可以激發(fā)學(xué)生更積極主動(dòng)地思考問(wèn)題.

3. 突破與創(chuàng)新

我們馬上就能想到：在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)坐標(biāo)系，已經(jīng)有了將點(diǎn)用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)（坐標(biāo)）表示的經(jīng)驗(yàn). 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，平面上任意一點(diǎn)都能用一個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，反之，任何一個(gè)坐標(biāo)都表示了一個(gè)點(diǎn).坐標(biāo)系幫我們實(shí)現(xiàn)了將平面上最簡(jiǎn)單的圖形（點(diǎn)）用代數(shù)形式（坐標(biāo)）表示.

問(wèn)題6：坐標(biāo)系也能幫助我們把平面上其他圖形（特別是我們?cè)噲D研究的動(dòng)點(diǎn)形成的曲線）用代數(shù)形式來(lái)表示嗎？

數(shù)學(xué)研究具體問(wèn)題的方法總是從簡(jiǎn)單與特殊情形入手，點(diǎn)按某種規(guī)則（無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)顯然是無(wú)法研究的）運(yùn)動(dòng)后形成的圖形什么最簡(jiǎn)單呢？（直線與圓）限于時(shí)間，我們只選擇一種來(lái)嘗試研究，請(qǐng)同學(xué)們選一種. （本案例采用圓）

設(shè)計(jì)意圖：坐標(biāo)系的提出務(wù)必要在教師的引導(dǎo)和幫助下由學(xué)生自己提出來(lái)，才能感受到發(fā)現(xiàn)新方法的激動(dòng)；有了這一發(fā)現(xiàn)就能自然地想到提出問(wèn)題6并躍躍欲試地想找條曲線來(lái)嘗試，學(xué)生的主動(dòng)性就自然流露出來(lái)了.從而又引出了下一個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題7：結(jié)合我們用圓規(guī)畫圓，從運(yùn)動(dòng)的角度看，圓是由點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)所形成的曲線？它遵循什么樣的規(guī)則？

問(wèn)題8：面對(duì)這樣一條曲線，使用坐標(biāo)系來(lái)表示它、研究它，你會(huì)怎么建立坐標(biāo)系？這個(gè)圓是由點(diǎn)有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)形成的，那么圓上所有點(diǎn)的坐標(biāo)肯定會(huì)受這種“規(guī)則”所制約，而且每個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)x，y相互之間也肯定會(huì)有制約，你能找到反映這種制約的關(guān)系式嗎？

這里有幾個(gè)概念要幫助學(xué)生理解清楚：數(shù)學(xué)如何實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的研究？圓上所有點(diǎn)受到的制約是到圓心的距離為定值，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)x，y受到的制約是x2+y2=r2（勾股定理），也就是圓上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足關(guān)系x2+y2=r2，這個(gè)式子在代數(shù)學(xué)上叫什么？

問(wèn)題9：前面我們說(shuō)，幾何圖形就像小伙子，代數(shù)式就像小姑娘，數(shù)學(xué)就如同生活一樣，當(dāng)小伙子全身心付出愛(ài)的同時(shí)，他肯定會(huì)希望小姑娘也能付出所有的愛(ài)，也就是說(shuō)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上嗎？

解決了上述問(wèn)題，就得到以下事實(shí)：在平面直角坐標(biāo)系的幫助下，圓上所有點(diǎn)所形成的集合與方程x2+y2=r2的解確立的坐標(biāo)的集合之間就形成了“無(wú)縫隙”的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣我們就得到了上述研究思路與結(jié)論的一個(gè)框架路線圖：

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述實(shí)例研究，幫助學(xué)生了解解析法思想，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)形式表示幾何元素是可能的，并從學(xué)科整體上了解解析幾何學(xué)科所研究問(wèn)題的形態(tài)，研究的內(nèi)容、方法以及研究方向，為后續(xù)學(xué)習(xí)與研究高高掛起一盞導(dǎo)航的“明燈”.

例題：觀察圖7，僅憑觀察你能判斷點(diǎn)A是在圓內(nèi)、圓外還是圓上嗎？有什么方法可以確定點(diǎn)A與該圓的位置關(guān)系？請(qǐng)寫出過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)該例題的解答，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解解析法思想，熟悉解析法解決問(wèn)題的方法步驟，更重要的意圖是幫助學(xué)生了解、體會(huì)解析法在解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)解析法思想偉大的意義，理解解析幾何學(xué)科能被稱為“近代數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑”的道理.

本教學(xué)設(shè)計(jì)定稿前在兩次的市級(jí)教研活動(dòng)中進(jìn)行了公開(kāi)展示，兩次實(shí)踐均取得了很好的效果，學(xué)生的反映有以下幾點(diǎn)：以前從沒(méi)有聽(tīng)過(guò)這樣的數(shù)學(xué)課，通過(guò)這節(jié)課清楚了解到解析幾何知識(shí)發(fā)展的歷程；第一次感覺(jué)到離當(dāng)年的數(shù)學(xué)家以及這一學(xué)科知識(shí)的發(fā)明如此之近；以前都是一章內(nèi)容上結(jié)束了，教師才提煉出思想方法，這節(jié)課讓我們從這章的第一課就了解了坐標(biāo)法思想，相信對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)會(huì)更有幫助.

數(shù)學(xué)任何一個(gè)學(xué)科分支的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升不是一兩節(jié)課的提煉與訓(xùn)練可以達(dá)成的，它應(yīng)該貫穿整個(gè)學(xué)科分支教學(xué)過(guò)程的始終，學(xué)生如果從一開(kāi)始就有機(jī)會(huì)站在學(xué)科思想的制高點(diǎn)一覽該學(xué)科的源頭與流向，他就能在接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)朝著主流的方向前行，就能主動(dòng)積極地運(yùn)用坐標(biāo)法思想解決問(wèn)題，就能對(duì)坐標(biāo)法思想有更深刻的理解與感悟. 相信通過(guò)長(zhǎng)期的努力與堅(jiān)持，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升一定能夠得以實(shí)現(xiàn).