吳葉科

[摘 要] 筆者從一些教學(xué)實(shí)例入手，對(duì)勾股定理教學(xué)當(dāng)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題進(jìn)行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)理清思路.

[關(guān)鍵詞] 勾股定理；重點(diǎn)問題；初中數(shù)學(xué)

從初中階段起，學(xué)生開始對(duì)平面幾何知識(shí)進(jìn)行深入系統(tǒng)的研究. 在這之中，勾股定理一直是教學(xué)內(nèi)容的重中之重. “勾股定理”這個(gè)名詞，很多學(xué)生早已有所耳聞，但正式開始學(xué)習(xí)之后才發(fā)現(xiàn)，它的內(nèi)涵遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人們口中常說的“勾三股四弦五”的范疇. 看似簡(jiǎn)單的一個(gè)定理，其中所包含的規(guī)律與變化卻是極為豐富的，這一點(diǎn)在勾股定理內(nèi)容的相關(guān)習(xí)題當(dāng)中表現(xiàn)得十分明顯. 特別是當(dāng)勾股定理與其他知識(shí)內(nèi)容關(guān)聯(lián)在一起時(shí)，解題難度瞬間顯著提升，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn). 對(duì)此，筆者從一些教學(xué)實(shí)例入手，對(duì)勾股定理教學(xué)當(dāng)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題進(jìn)行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)理清思路.

理解定理內(nèi)涵，有效分析問題

要想將勾股定理掌握到位，前提是將它的內(nèi)涵理解清楚. 深入挖掘理論含義便會(huì)感受到，它所包含的意義與方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止文字表面敘述的那么簡(jiǎn)單. 為了讓學(xué)生全面、確切地認(rèn)識(shí)到勾股定理的內(nèi)涵，并將之有效運(yùn)用到具體問題的分析過程當(dāng)中，教師有必要通過設(shè)置一些具有代表性的習(xí)題來加深學(xué)生的知識(shí)印象.

例如，在完成了勾股定理基本內(nèi)容的教學(xué)之后，筆者請(qǐng)學(xué)生嘗試解答如下習(xí)題：如圖1，在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，PD⊥BC于點(diǎn)D，BC=9，CD=3，求AB的長(zhǎng). 首先，需要連接PB（如圖2），由此可得BD=BC-DC=6. 然后，在Rt△BDP和Rt△PDC中，分別應(yīng)用勾股定理，即PD2=BP2-BD2，PD2=CP2-CD2，從而得到BP2-BD2=CP2-CD2. 于是得出BP2- CP2=BD2-CD2=36-9=27. 再由AP=PC可得出BP2-AP2=AB2=27，最終得到AB=3. 在這個(gè)問題的解答過程當(dāng)中，在以PD為公共邊的兩個(gè)直角三角形當(dāng)中運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵，這也向?qū)W生展現(xiàn)了勾股定理的具體內(nèi)涵. 學(xué)生也意識(shí)到，只會(huì)機(jī)械地背誦勾股定理的基本公式并不是目的，只有在這樣的題目當(dāng)中找出勾股定理之所在，并引導(dǎo)問題順利求解，才是有效學(xué)習(xí)所需要的.

在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，如果僅僅是以平鋪直敘的方式來進(jìn)行定理內(nèi)涵的教學(xué)，往往無(wú)法將其中的抽象含義闡釋清楚. 初中階段的學(xué)生也比較喜好新鮮活潑的教學(xué)方式，單調(diào)的講述顯然是不適宜的. 因此，筆者采取了將理論知識(shí)訓(xùn)練融入具體問題解答當(dāng)中的方式. 在解題訓(xùn)練的過程當(dāng)中，學(xué)生對(duì)勾股定理內(nèi)涵的感知才最真實(shí).

構(gòu)造特殊圖形，探尋解題思路

通過對(duì)勾股定理的相關(guān)習(xí)題進(jìn)行分析便不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)這部分內(nèi)容的考查并不一定是以十分直接的方式進(jìn)行的. 命題者總會(huì)將之同比較靈活或復(fù)雜的解題方法結(jié)合起來，使問題呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性. 為此，要求學(xué)生在理解定理內(nèi)涵的基礎(chǔ)上掌握更多有效解題的方法.

例如，在勾股定理內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生曾遇到過這樣一道習(xí)題，感到解答難度很大：如圖3，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的長(zhǎng). 題目所給的圖形是一個(gè)不規(guī)則的圖形，學(xué)生不知應(yīng)當(dāng)如何入手. 但是，如果能夠注意到已知條件當(dāng)中的兩個(gè)直角的存在，并將之與勾股定理的內(nèi)容聯(lián)系起來，分析思路就會(huì)自然出現(xiàn). 我們可以通過分別延長(zhǎng)BC和AD相交于點(diǎn)E（如圖4），使之形成一個(gè)直角三角形，求出AE和CE的長(zhǎng). 再分別借助Rt△ABE和Rt△CDE中勾股定理的運(yùn)用，求出BE和DE的長(zhǎng)，于是BC與AD的長(zhǎng)也就自然得出了. 學(xué)生大多習(xí)慣于在圖形內(nèi)添加輔助線，而很少能夠想到將圖形向外擴(kuò)展加以補(bǔ)充. 如果大家能夠以勾股定理的適用作為思維方向的引導(dǎo)，上述的構(gòu)造想法也就不難得出了.

靈活處理幾何問題時(shí)，巧妙添加輔助元素來構(gòu)造特殊圖形，能推動(dòng)復(fù)雜問題有效解答. 因此，這也成為初中階段平面幾何教學(xué)所關(guān)注的重點(diǎn)技能，自然也是教師在勾股定理內(nèi)容教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)當(dāng)特別重視的. 當(dāng)然，構(gòu)造特殊圖形的方法多種多樣，我們不可能通過課堂教學(xué)來一一窮盡. 教師需要更多地借助典型題目來對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，啟發(fā)他們這方面的思維，逐步提升他們的獨(dú)立解題能力.

把握面積聯(lián)系，開展巧妙分析

從表面上看，勾股定理所關(guān)注的只是線段與數(shù)字之間的關(guān)系. 但是，在實(shí)際解題過程當(dāng)中，與勾股定理內(nèi)容相關(guān)的習(xí)題卻沒有局限在這些元素的范圍之內(nèi). 特別是在一些較為復(fù)雜的問題之中，學(xué)生不僅要從“線”的角度著眼，還需要將視野拓展到“面”的范疇，為勾股定理問題提供更多巧妙的思路.

例如，在勾股定理知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，有這樣一道十分經(jīng)典的習(xí)題，筆者常會(huì)拿出來請(qǐng)學(xué)生感受和嘗試：如圖5，在△ABC中，∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24. 在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是多少？?jī)H從線段的長(zhǎng)度角度來看，這道題比較難入手. 但如果學(xué)生能夠從面積的角度來進(jìn)行分析，思路就出現(xiàn)了：如圖6，設(shè)點(diǎn)P到各邊的距離為r，連接PA，PB，PC. 根據(jù)幾個(gè)三角形之間的面積關(guān)系，有S+S+S=S，也就得出了AB·r+BC·r+AC·r=AB·BC的關(guān)系，很容易得出r的值為3，也就是題目當(dāng)中所需求的答案. 當(dāng)然，用面積的方法分析問題的想法也不是憑空出現(xiàn)的，主要是根據(jù)已知條件中垂線段的啟發(fā)，聯(lián)想到三角形的高，進(jìn)而引出面積的思考. 以面積方法解題的結(jié)論并不重要，重要的是要讓學(xué)生明白這個(gè)結(jié)論得出的思考過程.

從上述示例不難發(fā)現(xiàn)，從“面”的角度入手，面積是一個(gè)極佳的切入點(diǎn). 當(dāng)我們無(wú)法從“線”的路徑獲得問題解答的思路時(shí)，便可以站到“面”的視角上，嘗試找到更多的分析問題的方法. 這也從另一個(gè)側(cè)面告知學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考，一定要將思維開闊、靈動(dòng)起來，不要拘泥于眼前的條件現(xiàn)狀，而要盡可能找到更多切入的方向，為解題服務(wù).

適當(dāng)加入旋轉(zhuǎn)，鼓勵(lì)運(yùn)動(dòng)研究

勾股定理之所以能夠成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一，就在于掌握這部分內(nèi)容所需調(diào)動(dòng)的綜合能力. 除了前文所談到的分析路徑的不斷擴(kuò)充之外，還要求學(xué)生突破傳統(tǒng)的靜止思維，以運(yùn)動(dòng)的眼光來看待和分析知識(shí)內(nèi)容. 這不僅有利于知識(shí)內(nèi)容的探究，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維質(zhì)量的整體性提升.

例如，在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，筆者曾經(jīng)為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道習(xí)題：如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E在BC上，且∠DAE=45°. 求證：CD2+BE2=DE2. 這道題的分析思路的出現(xiàn)是從待求證的結(jié)論得出的，從這個(gè)形式便會(huì)很自然地聯(lián)想到勾股定理. 然后，問題出現(xiàn)了：這三條線段并不在同一個(gè)直角三角形當(dāng)中. 那么，怎樣才能將它們歸于同一個(gè)直角三角形中來加以證明呢？旋轉(zhuǎn)是一個(gè)很好的途徑，也就是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接FD（如圖8）. 這種思維方式很好地啟發(fā)了學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維，為疑難問題的求解提供了一個(gè)全新的分析方向.

在初中數(shù)學(xué)的各類測(cè)試當(dāng)中，相似類型問題的出現(xiàn)是非常頻繁的. 要想解決這類問題，僅靠靜止的思維遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，學(xué)生還需要讓圖形動(dòng)起來，讓思維動(dòng)起來，方能找到解決數(shù)學(xué)問題的新可能. 平面幾何的學(xué)習(xí)從來都離不開想象能力，學(xué)習(xí)勾股定理自然也不例外. 當(dāng)然，我們?cè)谶@里所討論的旋轉(zhuǎn)只是幾何運(yùn)動(dòng)的主要形式之一，教師還應(yīng)當(dāng)繼續(xù)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們將宏觀的運(yùn)動(dòng)思維建立起來.

不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)勾股定理內(nèi)容的探究是一個(gè)比較完整且綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)能力感知過程. 學(xué)生不僅需要從定理本身出發(fā)，深入挖掘它的思想內(nèi)涵，還要善于將該理論運(yùn)用到具體問題的解答當(dāng)中，并努力適應(yīng)問題的靈活多變，廣泛調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)方法來分析問題. 通過勾股定理內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生普遍完善了自己的思維體系，并有效靈活了頭腦，對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的適應(yīng)能力也更強(qiáng)了. 對(duì)于勾股定理這一重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容，教師一定要找出其中具有代表性的關(guān)鍵部分，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)其加以關(guān)注與剖析，從而提綱挈領(lǐng)地掌握知識(shí)，提高能力，實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的優(yōu)質(zhì)教學(xué)實(shí)效.