黃興豐，裔晶晶，孫慶慶，楊丹丹，楊煥祥，王 翎（．上海師范大學 教育學院，上海 00；．昆山市張浦鎮(zhèn)第二小學，江蘇 昆山 500；．常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 5500；．昆山高新區(qū)西塘實驗小學，江蘇 昆山 500）

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高三學生空間幾何思維水平發(fā)展的調查研究

黃興豐1，裔晶晶2，孫慶慶3，楊丹丹4，楊煥祥3，王 翎3
（1．上海師范大學 教育學院，上海 200234；2．昆山市張浦鎮(zhèn)第二小學，江蘇 昆山 215300；3．常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 215500；4．昆山高新區(qū)西塘實驗小學，江蘇 昆山 215300）

摘要：培養(yǎng)和發(fā)展高中學生的空間幾何思維能力，是數(shù)學課程改革的主要目標之一.用范希爾幾何思維水平的理論框架，調查高三學生空間幾何思維水平的發(fā)展特點，發(fā)現(xiàn)：（1）學生在前兩個較低的思維水平上已經獲得了充分的發(fā)展，在后兩個較高水平上的發(fā)展比較緩慢；（2）學生在后 3個思維水平上的發(fā)展存在顯著的相關性；（3）重點中學的學生，他們在后 3個水平上的發(fā)展要明顯高于普通中學的學生，而普通中學的學生，除了在水平3外，在其它各水平上的發(fā)展均不存在顯著的差異；（4）在空間幾何思維水平的發(fā)展上，男女生之間的差異不顯著.

關鍵詞：高三學生；空間幾何；范希爾幾何思維水平

1 前 言

自2003年頒布《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課程標準》）以來，特別是在空間幾何部分，課程結構和教學要求的調整引起了許多爭論.《課程標準》一改原有的課程體系，建議遵循“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認識過程，逐步展開空間幾何內容.在必修課程中，要求學生能通過整體觀察、直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)和論證一些幾何性質.至于嚴密的論證和計算則放在選修系列中，采用向量法來處理[1～3].然而，不少學者指出，這樣的處理方式，過于強調了幾何直觀和合情推理，容易忽視演繹推理的作用，不利于學生邏輯思維能力的發(fā)展[4～8].但是在爭論之余，很少看到有相關的實證研究來評價高中學生空間幾何思維的發(fā)展水平.如今，《課程標準》的修訂工作也已經緊鑼密鼓地展開了，可以說在這個歷史時期，掌握高中學生空間幾何思維水平發(fā)展的真實狀況，具有重要的現(xiàn)實意義.因為，這不僅可以為《課程標準》過去的實施留下珍貴的歷史影像，而且還可以為目前《課程標準》的修訂和實施，以及教材的編寫提供有益的參考數(shù)據.

2 理論基礎

20世紀50年代，范希爾（Van Hiele）把學生的平面幾何思維發(fā)展劃分為5個水平[9].水平1——視覺（visual）：學生根據幾何圖形的外觀來確認和操作幾何對象.水平 2——描述/分析（descriptive/analytic）：學生可以通過圖形的性質識別和描述幾何對象.水平3——抽象/關系（abstract/ relation）：學生可以形成抽象的定義，區(qū)分概念的充分條件和必要條件.他們可以根據圖形的性質進行分類，同時還可以對分類作出非形式化的論證，但是他們還不理解幾何結論的正確性是靠邏輯演繹來保證的.水平 4——形式演繹（formal deduction）：學生可以在公理體系中建立定理，可以從已知條件出發(fā)，采用邏輯推理的方式證明命題.水平5——嚴謹/元數(shù)學（rigor/ meta mathematical）：學生完全能在數(shù)學系統(tǒng)中做出數(shù)學推理，能在缺少參照模型的條件下研究幾何.但是不少研究表明學生的思維發(fā)展無法達到這個水平.范希爾認為學生幾何思維的發(fā)展是有先后順序的[10～11]，只有在達到前一個水平之后，才有可能跳躍到后一個水平.然而，在現(xiàn)實中，有不少學生的思維發(fā)展違背了這個規(guī)律，他們在尚未達到前一水平的時候，卻跳躍到了后面更高的水平.于是，Gutiérrez等斷言，學生的幾何思維發(fā)展可能是連續(xù)的，而不是跳躍的；各個水平的發(fā)展可能是同時發(fā)生的，而不是單一的.為此，他們引入四維的向量來表示范希爾的4個水平，然后再把每個水平分成5個連續(xù)的發(fā)展階段，并用定量的數(shù)值區(qū)間來刻畫學生在每個水平上的發(fā)展狀況[12].

當學生在某個思維水平尚處于“未獲得”的階段時，這表明他們還沒有形成這個水平所需要的思維方式.一旦學生意識到了這種思維方式的重要性，他們會不斷地去嘗試運用.不過，由于經驗的缺乏，學生也只是淺嘗輒止，根本無法解決問題.這時，可以稱他們還處于“低水平獲得”的發(fā)展階段.隨著學習經驗的積累，學生開始進入“中等水平獲得”的階段，他們開始學習如何使用這種思維方式.但是一旦遭遇困難，學生又會回到前面的思維水平.在這個階段，他們的思維方式會在兩個水平之間不斷地往返.隨著經驗的進一步豐富，學生的思維水平開始趨于穩(wěn)定.盡管他們偶爾也會出現(xiàn)錯誤，也會回到前面的思維水平，但是，學生已經進入“高水平獲得”的發(fā)展階段了.只有當學生能毫無困難地使用這種思維方式的時候，他們才真正達到了“完全獲得”的發(fā)展階段，畫出思維水平的5個發(fā)展階段，如圖1所示.

圖1 思維水平的5個發(fā)展階段

3 研究工具

結合《課程標準》的內容要求，對 Gutiérrez等人設計的問卷進行了修改.同時，又根據 Gutiérrez等人的評分原則（表 1），給每個題的解答確定了詳細的評分標準.評分不僅關注了學生解答的結果，而且還關注了學生思考的過程.也就是說，即使某個學生的解答是錯誤的，他也有可能得到一定的分數(shù)，因為他的思維方式可能是合理的.相反，即使某個學生得出的結果是正確的，他也未必就能得到高分，因為他的推理有可能是低水平的.

表1 評分原則

問卷一共包含如下4個問題：

第一個問題（1-1、1-2），首先，要學生根據題意選擇相應的空間圖形，然后，再要學生列表說明各種空間圖形與正方體之間的異同（見附錄）.原來的問卷中，一共有6個多面體，其中兩個是比較復雜的多面體.研究保留了其中4個簡單多面體，并添加虛線表示幾何體中被擋住的部分.原先問卷1-1有4個問題，在此剔除了一個有關“面對稱”的問題，因為《課程標準》對此不作要求.通過問題1-1、1-2，可以了解學生在水平1和水平2上的表現(xiàn).如果學生只憑幾何體的整體外觀作出選擇和說明，則表明該生的思維水平僅處于水平1.如果學生能根據幾何體的定義特征作出選擇和說明，則表明該生的思維水平已經達到了水平2.

第二個問題，首先要學生根據所列的幾何性質，畫出相應的幾何體，然后再要學生根據圖形，從所給的條件中選擇定義這個圖形的最少條件（見附錄）.通過子問題2-1，可以了解學生在水平2上的表現(xiàn)，即學生能否把這些性質聯(lián)系起來，畫出相應的幾何體.

事實上，根據題中所列的條件，至少可以畫出3種不同的幾何體（圖2）.圖2-a是上下兩底面為正方形，側面為4個全等的平行四邊形（非矩形）的斜柱體；圖2-b是上下兩底面為菱形（非正方形），側面為4個全等矩形的柱體；圖2-c是上下兩底面為正方形，前后側面是矩形，左右側面為平行四邊形（非矩形）.

圖2 符合題目條件的3種幾何體

通過子問題2-2，可以了解學生在水平3或水平4上的表現(xiàn).水平3反映的是學生非形式化的思維發(fā)展水平.所謂非形式化的推理，也就是指學生在推理的過程中，借助圖形特征、個人經驗作出猜想，或得出結論，學生的推理過程并沒有建立在課程學過的定義、性質之上[13].很多學生的解答，他們的推理既有非形式化的過程，又有形式化的過程，由此可以推測他們的思維在水平3或水平4的程度.如果學生給出的推理過程，完全是形式化的，那么就屬于水平 4的類型7，也就是說該生在水平3上已經達到了“完全獲得”的發(fā)展階段.綜上所述，確定了如表2的評分標準.類似地，通過問題4和問題5（詳見附錄），也可以了解學生在水平3或水平4上的具體表現(xiàn)（學生相應的解答和對應的類型，將在后文介紹）.

表2 問題2-2水平3和水平4的評分標準

4 數(shù)據收集

《課程標準》指出：“必修課程是選修課程中系列1、系列2課程的基礎.選修課程中系列3、系列4基本上不依賴其他系列的課程，可以與其他系列課程同時開設，這些專題的開設可以不考慮先后順序.在必修課程中，數(shù)學1是數(shù)學2、數(shù)學3、數(shù)學4和數(shù)學5的基礎.”因此，各地在對必修課程的教學順序、選修課程的內容選擇上，都出現(xiàn)了很大的差異[14].蘇南Y市，在必修課程上，選擇了數(shù)學1–4–5–2–3的教學順序.也就是說，學生一般在高二上學期學習空間幾何的模塊.在選修課程中，只要求理科的學生選修2-1中的“空間向量和空間幾何”（也在高二上學期完成），對文科學生不作要求.為了盡量減少學校教學差異對調查結果的影響，研究者并沒有在學生學完空間幾何內容后，馬上進行調查，而是選擇在一個學期緩沖之后，學生剛進入高三的時候進行測試.眾所周知，高三是學校教學的重中之重，為了盡量減少測試對當?shù)貙W校正常教學秩序的影響，研究者在樣本的選擇上作了慎重的考慮.首先，根據Y市高中入學錄取分數(shù)線的高低，把當?shù)?所普通高中分成A、B、C三類：A類指的是錄取分數(shù)排名前兩名的省重點高中，一共兩所；B類指的錄取分數(shù)排名在3～5名3所普通中學；C類指的是的錄取分數(shù)線排名最后的兩所高中.然后，請各所學校的教師分別推薦一個能代表本校平均水平的班級作為測試的對象.在研究中，參與測試的高三學生一共331人，其中代表A類學校的為94人，B類學校147人，C類學校90人.

根據反復修訂的評分標準，對學生每道題的回答進行了評分，然后取學生在每個水平上得到的平均值，作為判斷該生在這個水平上處于哪個發(fā)展階段的判定依據（表3）.

表3 學生在4個水平上的得分

5 研究結果

5.1 高三學生空間幾何思維在4個水平上的總體發(fā)展狀況

對三類學校高三學生在 4個水平上的發(fā)展狀況進行統(tǒng)計，見表4.從表4可以看到高三學生在4個水平上發(fā)展是不均衡的.幾乎所有的學生在水平1上都達到了“完全獲得”的發(fā)展階段.同樣的，在水平2上，幾乎所有的學生都達到了“高水平獲得”以上的發(fā)展階段，其中51%的學生，他們已經達到了“完全獲得”的發(fā)展階段.也就是說，高三學生在水平1和水平2上都得到了充分的發(fā)展.

盡管在水平3上，學生的思維水平有了一定的發(fā)展.但是約90%學生僅達到中、低水平的發(fā)展階段，能達到“高水平獲得”發(fā)展階段的學生只有8%.

在水平 4上，高三學生的表現(xiàn)不盡如人意，約有 75%的學生還處于“未獲得”的階段，其余的多數(shù)學生均處于“低水平獲得”的階段.

這個結果，和學生在高考中的表現(xiàn)大體是一致的.比如，在2012年江蘇數(shù)學高考試卷中的一道立體幾何解答題，考查的是學生對基本知識和基本技能的掌握，題目不難，但學生得分不高.學生錯誤的主要原因在于他們形式化的推理水平（水平4）尚未充分發(fā)展起來.在推理的過程中，夾雜了很多非形式化的推理過程（水平3）.第一，受圖形直觀的負面影響，“所見即所得”.比如，有些學生直接把棱柱的上下底面當作了直角三角形.有些學生直接把D當作了BC的中點（圖 3）；第二，受過去經驗的負面影響.比如，有些學生把平面幾何中的結論直接推廣到了空間幾何中——垂直于同一直線的兩條直線平行[15].

圖3 試題圖

下面就學生在問卷上最后 3個問題上的解答，看看學生的具體表現(xiàn).

問題2-2要求學生給出圖形的最小定義，并進行必要的說明.事實上，最小定義可以是條件①②④或①②⑤.一方面，通過這3個條件可以推出其余的2個條件；另一方面，如果少于這 3個條件，都無法保證這5個條件所確定的圖形.然而，很多學生的回答，卻反映了他們無論是在水平3上，還是在水平4上，都處于較低的發(fā)展階段.具體而言，大概有40%的學生未給出任何答案.有 25%學生在水平 3上得到了一定的分數(shù)，但在水平4卻未得到任何分數(shù).他們僅憑借直覺列出了全部條件，認為這 5個條件是缺一不可的，沒有任何形式推理的成份.僅有30%的學生，他們在水平3和水平4上都得到了相應的分數(shù).他們在解釋的過程中，一方面依賴圖形特征作出推理，另一方面推理開始和定義、性質聯(lián)系起來.

在問題3中，只有約5%的學生給出了完全形式化的推理.許多學生在理解“任意”上出現(xiàn)了問題，他們把“任意”當作了存在.不過即使這樣，在這兩個水平上，他們也可以獲得相應的分數(shù).只要他們對所構造圖形中的條件OA=OB進行說明，如果這種說明是借助直觀或者是經驗的，那么按照推理過程的完整程度，他們在水平3上就可以得到相應的分數(shù).如果學生對OA=OB的解釋開始和定義和性質聯(lián)系起來，那么他們在水平4上同樣可以獲得相應的分數(shù).但是，像這樣能對OA=OB進行解釋說明的學生卻不到20%.

在問題4中，近50%的學生判斷錯誤，而且也未給出任何判斷的理由.盡管約有15%的學生判斷正確，但還是沒有給出任何的理由.大概35%的學生，幾乎都給出了如下類似的理由：“只有正棱錐底面正多邊形的中心角小于60度，這些等邊三角形才能構成這個棱錐的側面.”遺憾的是，他們沒有進一步根據正棱錐的定義和性質來解釋或證明這個結論，因此他們的推理還是屬于非形式化的.

表4 3類學校高三學生在4個水平上的發(fā)展狀況

5.2 高三學生空間幾何思維水平的個人發(fā)展類型

根據前面提到 Gutiérrez等人的理論假設，即學生的幾何思維在各個水平上的發(fā)展可能是同時發(fā)生的，而不是單一的.在研究中主要出現(xiàn)了5種不同的發(fā)展類型（見表5）.大部分學生的思維發(fā)展屬于類型2、類型3和類型4.他們在前兩個水平上都得到了充分的發(fā)展，在后兩個水平上的發(fā)展還是有待提升的，或者說，他們尚處于數(shù)學推理的發(fā)展階段.從數(shù)據還可以看到：一方面，正如Gutiérrez等人假設的那樣，學生的幾何思維的確在各個水平上的發(fā)展是同時進行的.而并非像范希爾所假定的那樣，一定要在前一個水平完全獲得的前提下，后一水平才能發(fā)展起來.

另一方面，對學生個體而言，前面思維水平的發(fā)展也的確是他們在后面思維水平發(fā)展的重要基礎.如，在類型 5中，學生在水平 3上尚處于低水平的階段，他們在水平 4上也就根本無法發(fā)展起來；而在類型1和類型2中，當學生在水平3上達到中等水平之后，他們在水平4上也開始獲得了一定的發(fā)展.進而，通過對4個水平的相關性檢驗，發(fā)現(xiàn)學生在后3個水平上的發(fā)展存在極其顯著的相關（表6）.

表5 高三學生6種個人發(fā)展類型分布

5.3 高三學生空間幾何思維發(fā)展的差異性

類似地，可以對3類學校學生在4個水平上的差異性進行卡方檢驗，結果發(fā)現(xiàn)：3類學校的學生，除了水平1上不存在顯著性的差異外，在其它 3個水平上均有顯著的差異性.進一步的檢驗表明：一方面，省重點中學（A類學校）學生的空間幾何思維水平在后3個水平上，明顯高于普通中學（B、C兩類）的學生；另一方面，在B、C兩類中學的學生之間，B類學校的學生只是在水平3的發(fā)展上明顯高于C類學校的學生，在其它水平上的發(fā)展無差異（見表7）.

表6 高三學生4個水平上的相關系數(shù)

表7 3類學校在4個水平上的卡方檢驗

對3類學校中，男女生在4個水平上的發(fā)展差異性進行了卡方檢驗（見表8）.結果發(fā)現(xiàn)，除了C類學校男女生在水平3上存在顯著的差異性外，其余均無顯著性的差異.因此可以說，男女生在空間幾何思維水平的發(fā)展上，基本不存在性別上的差異性.

表8 三校男女生在4個水平上的卡方檢驗

6 研究結論

借助范希爾幾何思維水平的發(fā)展框架，在假設學生的幾何思維水平是多元連續(xù)發(fā)展的前提下，通過對數(shù)據的分析，發(fā)現(xiàn)高三學生空間幾何思維水平的發(fā)展具有如下特征：

（1）學生在水平1和水平2上都得到了充分的發(fā)展，相比之下，在水平3和水平4上的發(fā)展比較落后；

（2）學生在水平2、水平3、水平4上的思維發(fā)展密切相關；

（3）重點中學的學生，他們在后3個水平上的發(fā)展要明顯高于普通中學的學生.普通中學的學生，除了水平3，在其它3個水平上的發(fā)展均不存在顯著的差異性；

（4）在幾何思維水平的發(fā)展上，男女學生之間基本不存在顯著差異性.

［參 考 文 獻］

[1] 高中數(shù)學課程標準研制組.高中數(shù)學課程標準的框架設想[J].課程·教材·教法，2002，（4）：1–7.

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附錄：

1-1、在圖中找出下列圖形：

①棱錐；②至少有一組對面平行的多面體；③在每個頂點處有三個面的多面體.

1-2、列一張表，分別寫出正方體和A、B、C、D的異同之處.

2-1、畫一個空間圖形同時滿足如下條件，并解釋你所畫的圖.

①正好有 8條短的相等的棱和4條長的相等的棱；②正好有3種不同大小的角；③至少有兩條短的棱是平行的；④每個對面平行；⑤所有長的棱是平行的.

2-2、根據你所畫出的圖，給出定義這個圖形的最少條件（從上面 5個條件中選擇），并說明理由.

3、判斷如下命題的真假，并給予必要的反例或證明：若某多面體有一個中心點O，任意過點O的直線與該多面體的兩個面α、β交于點A、B，且OA=OB，則βα//.

4、以 3個全等的等邊三角形為側面可以構成一個三棱錐，如果分別以4個、5個、6個、7個全等的等邊三角形為側面，它們哪些能構成棱錐？哪些不能構成棱錐？請給出你必要的理由或證明.

[責任編校：陳雋]

中圖分類號：G633

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0075–05

收稿日期：2015–12–05

基金項目：江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題——蘇南、蘇中、蘇北課程實施的比較研究（C-c/2011/01/58）

作者簡介：黃興豐（1974—），男，江蘇南通人，副教授，博士，主要從事中小學數(shù)學教育研究．

Investigation on the Space Geometry Thinking Levels of Senior High School Students

HUANG Xing-feng1, YI Jing-jing2, SUN Qing-qing3, YANG Dan-dan4, YANG Huan-xiang3, WANG-Lin3
(1. Education School, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China; 2. Zhangpu Second Primary School, Jiangsu Kunshan 215300, China; 3. Mathematics and Statistics School, Changshu Institute of Technology, Jiangsu Changshu 215500, China; 4. Xitang Shiyan Primary School, Jiangsu Kunshan 215300, China)

Abstract:The development of students’ space geometry thinking in high school is one of the objectives of the mathematics curriculum. According to the theoretical framework of Van Hiele levels, statistical analysis showed that (1) the students have obtained the first two levels full development, but their development on the other two levels are relatively slow; (2) Their development on the last three levels shows significant correlation; (3) The geometric thinking of key school students is significantly higher than that of ordinary school students on the last three levels, and there are no significant differences among ordinary high school students (except of level 3); (4) There is also no significant gender difference on the development of space geometric thinking.

Key words:senior high school students; space geometry; van Hiele levels of geometric thought