陳昭亮

[摘 要] 有經(jīng)驗(yàn)的教師在處理教材時(shí)，易陷入輕車熟路，感到熟悉的地方?jīng)]有新風(fēng)景的尷尬. 本文提出了解決此問題的兩條途徑：一是老師“動(dòng)”起來，能從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)理解知識(shí)的來龍去脈，真正讀懂教材；二是學(xué)生“動(dòng)”起來，利用老師搭建的“腳手架”，進(jìn)行深層次的思維參與，突破“懂而不會(huì)”的學(xué)習(xí)尷尬，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 課本問題；高等數(shù)學(xué)；合作探究

人們常說熟悉的地方?jīng)]有風(fēng)景，大概是因?yàn)槭煜ざ狈π迈r感，因熟悉而疏于發(fā)現(xiàn)的緣故吧. 教材中的有些題目或知識(shí)點(diǎn)，教師教了一遍又一遍，真正成了教師“熟悉的地方”，面對(duì)這些“熟悉的地方”，在備課時(shí)容易因?yàn)椤笆炻贰倍拜p車”，就會(huì)出現(xiàn)對(duì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系、轉(zhuǎn)換關(guān)系等預(yù)設(shè)不夠，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生的課堂提問不能及時(shí)做出恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和評(píng)價(jià). 下面與同行交流幾個(gè)筆者在教學(xué)實(shí)踐中的案例及思考.

案例1 高中數(shù)學(xué)必修1（北師大版）第73頁的例14是：設(shè)三條直線l1：x+y-1=0，l2：kx-2y+3=0，l3：x-（k+1）y-5=0. 若這三條直線交于一點(diǎn)，求k的值.

解得k=-7或-2（舍去）. 所以 k=-7.

反思：教材中并沒有解析k=-2舍去的理由. 有的老師可能對(duì)這一情況也沒有深究，或者沒有探究為什么把l1與l2的交點(diǎn)代入直線l3的方程中后會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)k值，而且還要把其中一個(gè)k值舍去.

探究：若我們把k=-2代入直線l2，l3的方程中，得到l2：-2x-2y+3=0，l3：x+y-5=0. 不難判斷出l1∥l2∥l3. 其實(shí)，在射影幾何學(xué)中，把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”. 就有三個(gè)結(jié)論：（1）通常的直線再加上一個(gè)無窮點(diǎn)就是無窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；（2）通過同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行；（3）在引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線后，原來普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了.

這樣在高等解析幾何的觀點(diǎn)下，我們就很容易解釋為什么會(huì)出現(xiàn)k=-2和為什么要舍去k=-2這兩點(diǎn)了.

案例2 高中數(shù)學(xué)必修1（北師大版）第121頁的問題3是：如圖1，在一條彎曲的河道上，設(shè)置了6個(gè)水文監(jiān)測(cè)站. 現(xiàn)在需要在河邊建一個(gè)情報(bào)中心，從各監(jiān)測(cè)站河邊分別向情報(bào)中心鋪設(shè)專用通訊電纜，怎樣刻畫專用通訊電纜的總長度？

解：情報(bào)中心在河邊的位置一旦確定，每一個(gè)水文監(jiān)測(cè)站到情報(bào)中心的通訊光纜長度（曲線段長度）就唯一確定了，因此，表示情報(bào)中心的數(shù)值與專用通訊電纜的總長度就構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系.

現(xiàn)在將彎曲的河道“拉直”，使刻畫曲線段長度的問題變成刻畫線段長度的問題. 將“拉直了”的河道當(dāng)作一個(gè)數(shù)值，不妨設(shè)A為原點(diǎn)，AB=b，AC=c，AD=d，AE=e，AF=f. 于是，水文監(jiān)測(cè)站A，B，C，D，E和F的坐標(biāo)就可以用0，b，c，d，e，f表示出來. 表示情報(bào)中心位置的數(shù)值可以看作一個(gè)變量，用x表示，這樣，對(duì)于給定的x的值，就能計(jì)算出情報(bào)中心到每一個(gè)水文監(jiān)測(cè)站的長度，從而可以得出所需電纜的總長度

？搖？搖f（x）=x+x-b+x-c+x-d+x-e+x-f.

反思：課本上的敘述到此“戛然而止”，讓人覺得對(duì)該問題的解決尚未結(jié)束，當(dāng)然，課本上這樣的處理其目的是讓學(xué)生感受實(shí)際問題的函數(shù)建模，重在感受建模的過程，而不是問題的結(jié)果.事實(shí)上，筆者在講授這一部分知識(shí)時(shí)，很多學(xué)生也提出了問題“該題目中所需電纜的總長度的最小值是多少？作為數(shù)學(xué)教師，也應(yīng)該對(duì)這一類絕對(duì)值和型函數(shù)的最值知其所以然.

我們應(yīng)用這類問題的一般結(jié)論就很容易解決這個(gè)課本問題的最值是，當(dāng)把情報(bào)中心修在C和D這兩個(gè)水文監(jiān)測(cè)站之間（含C和D這兩個(gè)水文監(jiān)測(cè)站）時(shí)，鋪設(shè)的專用通訊電纜的總長度最少.

案例3 高中數(shù)學(xué)選修2-2（北師大版）《綜合法與分析法》第12頁習(xí)題1-2的第4題是：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

《數(shù)學(xué)（選修2-2）教師教學(xué)用書》上給出了本題的一種證明方法，記為思路1：它是利用了已知條件的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行聯(lián)想，由a2+b2=1聯(lián)想到三角函數(shù)中的cos2α+sin2α=1，故可令a=cosα，b=sinα，對(duì)c2+d2=1采用同樣的方法，從而把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

證法1：令a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，得證.

反思：筆者在備課時(shí)，根據(jù)本題已知條件的a2，b2，c2，d2及結(jié)論中的ac+bd等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造柯西不等式證明. 記為

證法2：由柯西不等式知？搖（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），又因?yàn)閍2+b2=1，c2+d2=1，從而（ac+bd）2≤1. 所以ac+bd≤1.

進(jìn)一步，筆者根據(jù)a2+b2=1，c2+d2=1的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把它們看作向量m=（a，b），n=（c，d）模的平方，故可考慮轉(zhuǎn)化為構(gòu)造向量證明. 記為

所以m·n=mncos〈m，n〉=cos〈m，n〉，

又m·n=ac+bd，

所以ac+bd=cos〈m，n〉≤1.

筆者在備課時(shí)準(zhǔn)備了以上三種證法，可以說是信心滿滿，自認(rèn)為本題的一題三解，既能有益于學(xué)生思維的發(fā)展，又能展示出自己的“學(xué)識(shí)淵博”，但是當(dāng)課堂進(jìn)入學(xué)生交流階段時(shí)，學(xué)生思維活躍，出現(xiàn)了意外的課堂生成，其解法記為下面的證法4和證法5.

探究 證法4：因?yàn)?=a2+b2+c2+d2=（a2+c2）+（b2+d2）≥2ac+2bd=2（ac+bd）≥2ac+bd，所以ac+bd≤1.

證法5：要證明ac+bd≤1，

只需證明（ac+bd）2≤1，

只需證明（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

只需證明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

只需證明2abcd≤a2d2+b2c2，

即0≤（ad-bc）2.

對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示

1. 熟悉的地方一樣有風(fēng)景. 葉瀾教授認(rèn)為“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的過程”. 這就要求我們教師要眼中有人，更要有一雙會(huì)發(fā)現(xiàn)的眼睛，積極為學(xué)生的多元解讀引路搭橋，啟發(fā)學(xué)生解讀的深度和廣度. 不能因?yàn)椤熬褪臁倍榜{輕”，從而陷入“熟悉的地方?jīng)]有風(fēng)景”的尷尬境地. 如本文的案例3，對(duì)于“1”的不同聯(lián)想，尤其是證法5中把1看成是1×1，真是神來之筆，突破了我們老師的思維定式.

2. 教師要真正地讀懂教材. 只有加強(qiáng)對(duì)教材上的問題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維的研究，才能更好地發(fā)揮教材的功能，才能引導(dǎo)學(xué)生在平凡的問題中發(fā)現(xiàn)更深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，這其實(shí)也是教師課程智慧的一種體現(xiàn). 華南師范大學(xué)劉良華教授認(rèn)為：一個(gè)優(yōu)秀的“教學(xué)工作者”首先是一個(gè)出色的“課程工作者”. 也就是說，他不是一個(gè)簡(jiǎn)單的“教教材”的人，他首先是一個(gè)“調(diào)整教材”、“補(bǔ)充教材”或“重新開發(fā)教材”的人. 如本文的案例1中，從為什么要把k=-2舍去的討論引出射影幾何中對(duì)平行的新認(rèn)識(shí)，擴(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)視野，這種從教材中一道看似平淡無奇的問題入手，卻能引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這個(gè)小問題背后的大問題，正所謂“問渠哪得清如許，為有活水源頭來”.

3. 教師要給學(xué)生搭建腳手架. 在解讀教材時(shí)，教師除了要具有教師眼光之外，還要具有學(xué)生眼光. 這是指教師要能站在學(xué)生角度，從學(xué)生成長需要出發(fā)的思考，它遵循的不是“教師邏輯”，而是“學(xué)生邏輯”. 為此，教師就要考慮教材中的這個(gè)問題該從哪些視角、哪些層次進(jìn)行探究，才能拓展其功能，如本文中的案例2在研究了函數(shù)建模之后，對(duì)學(xué)生提出的問題“該題目中所需電纜的總長度的最小值是多少”決不能不理睬，而應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生尋根，探尋這類絕對(duì)值和型函數(shù)的最值. 這種在數(shù)學(xué)解題中，將源于基礎(chǔ)的題目進(jìn)行提煉與加工而形成結(jié)論，然后將其廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐中，實(shí)際上就是在尋找題根.