李寅芳　王　倩

(1.華南師范大學教育科學學院，廣東 廣州 510631；2.北京師范大學教育學部，北京 100875)

中美小學數(shù)學教材有關“真實問題解決”編寫比較

李寅芳1王倩2

(1.華南師范大學教育科學學院，廣東 廣州 510631；2.北京師范大學教育學部，北京 100875)

[摘要]問題解決是當今國際數(shù)學教學研究的重點和熱點問題，受到世界各國數(shù)學界的關注。為了解新課改背景下我國與美國數(shù)學教材中“真實問題解決”的異同及特色，本文選取人教版和美國加州版四年級數(shù)學教材，分析了“真實世界問題解決”模塊在學段目標、背景素材、內容編排和文本表征上的編寫特點。結果顯示：加州版課程目標設置更具體，取材領域廣泛，知識點安排超前，尤其是實景圖的表征更契合學生生活和年齡特點。這為我國小學數(shù)學教材建設和一線教師用書提供一定的借鑒和參考價值。

[關鍵詞]加州版；人教版；數(shù)學教材；真實世界問題解決；編寫比較

一、比較背景：數(shù)學教材中的“問題解決”(problem solving)模塊備受關注

問題解決是當今國際數(shù)學教學研究的重點和熱點問題，受到世界各國數(shù)學界的關注。在新世紀國際課改的大背景下，中外各版本數(shù)學教材尤其強調以“問題情景”為切入點，課程目標特別突出以解決數(shù)學問題、發(fā)展學生各類數(shù)學思維為主要內容，如批判性思維、抽象邏輯思維、空間思維等。[1]問題解決是當前美國數(shù)學教育的核心部分，如美國加州版小學數(shù)學教材[2]中問題解決占據(jù)教材版面的25%以上，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題貫穿學習內容的始終。英國把問題解決看作是一種良好的教學模式和指導思想，而日本和新加坡把問題解決納入教學大綱中。以上各國頒布的文件和召開的會議也都側重數(shù)學學習中的“問題解決”，足見其在數(shù)學教育中的重要地位。

二、概念界定：真實世界問題解決

1.數(shù)學問題解決是涉及大量學習過程和策略的一種復雜的認知活動

蒙塔格(Montague，2006)將數(shù)學問題解決定義為問題呈現(xiàn)和問題執(zhí)行的過程，強調問題要以恰當?shù)男问匠尸F(xiàn)。[3]因為恰當?shù)膯栴}呈現(xiàn)暗含著學習者理解將要解決的問題，教師能成功地引導學生制定解決問題的計劃。而梅爾(Mayer，2003)認為數(shù)學問題解決包括讀問題、整合信息、制定和執(zhí)行計劃四個認知過程。學校數(shù)學課程的重點是數(shù)學問題生活化，即在真實的日常生活環(huán)境和故事性問題中，按由簡單到復雜的順序呈現(xiàn)“最常見的問題解決形式”，而包含故事性生活背景的數(shù)學問題對兒童更具挑戰(zhàn)性。[4]

2.用認知模型詮釋數(shù)學問題解決的過程

數(shù)學問題的解決需協(xié)調好認知與元認知的過程，它涉及總結問題信息(要求去做什么)、定義和澄清問題(已知和困惑)、呈現(xiàn)問題(感覺是什么類型的問題)、擬定問題解決的方法(哪種方法在起作用)。[5]

詹妮弗(Jennifer)基于梅爾(Mayer)設計的數(shù)學問題解決模型以及蒙塔古(Montague)等人經(jīng)過一系列成功問題解決的實驗研究所證實的七種認知過程，在其有關問題呈現(xiàn)和問題解決的論文研究中對數(shù)學問題解決做了一個明確的范圍界定，他認為數(shù)學的問題解決涉及問題的解讀、問題的分析和整合、解決方案的制定、方案的執(zhí)行四個基本階段。它強調問題呈現(xiàn)對問題解決所起的關鍵作用，正如西爾弗(Silver)在2000年國際數(shù)學教師委員會提出的問題呈現(xiàn)是學生深入理解數(shù)學問題必不可少的條件[6]。

綜上所述，雖然各學者對問題解決的定義有所不同，但是基本上涉及發(fā)現(xiàn)問題、呈現(xiàn)問題、解決問題三個部分。根據(jù)研究的需求，筆者認為真實世界問題解決(Real-World Problem Solving)不是簡單地解決一個數(shù)學問題，而是強調在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)、澄清并解決數(shù)學問題的過程，促成知識的應用和創(chuàng)造。

本文選取了我國人民教育出版社出版的(簡稱人教版[7])和美國加州版[2]四年級數(shù)學教材，基于“真實世界問題解決”模塊的梳理，本文將從課程學段目標、背景素材的選取、內容編排、文本表征方式四方面進行比較研究，希望對數(shù)學教材建設和一線教師教學工作能有所幫助。

三、比較維度

1.課程目標的比較

小學數(shù)學涉及數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四大學習領域。為了研究的便利，僅以四年級“數(shù)與代數(shù)”領域為例，透過課程目標、內容展示和能力頻數(shù)，分析兩版本教材在問題解決能力要求上的差異。分析結果表明：在課程目標上，我國對問題解決能力的描述較為模糊，無年級上的區(qū)別；而美國加州對此描述詳細具體，有年級界限和實例。在內容展示上，加州版超前引入“代數(shù)”、“負數(shù)”的學習，對學生思維能力要求更高。在能力頻數(shù)中，加州版注重培養(yǎng)學生掌握和應用知識的能力；而我國則傾向關注學生各方面能力的均衡發(fā)展(具體內容如表1)。

表1　兩版本教材在問題解決能力要求上的差異

2.背景素材選取的比較

圖1　加州版出租車的收費標準

本文將真實世界問題解決的背景素材分為三種類型，即各學科背景、生活背景以及數(shù)據(jù)檔案。兩版本在背景素材的選取上都注重生活背景，尤其是社會生活部分。人教版題材選取的領域比較單一，而加州版更關注各學科背景和數(shù)據(jù)檔案的取材，詳見表2。

(1) 相同點：都注重生活背景，尤其是社會生活部分的選材。由表二可以看出兩版本在“真實世界問題解決”背景素材的選取上都注重生活背景，尤其是社會生活部分(表2)，如加州版的出租車的收費標準(圖1)和人教版的春游租車活動(圖2)有著驚人的巧合。

表2　兩版本教材有關“真實世界問題解決”背景素材選取的明細

圖1呈現(xiàn)的問題是用右邊出租車收費標準列方程解決20，25，30英里要付多少錢？這是用列方程法解決乘車費用的問題，同時包含對美元、英里的認識。素材來源于學生日常乘出租車的經(jīng)歷，關注學生日常的生活經(jīng)驗，有助于解決數(shù)學知識在交通問題上的應用問題。

圖2　人教版春游租車活動收費標準

圖2是用四則混合運算解決春游中租車問題。素材同樣是選取學生最喜愛的春游活動，在這種真實場景中去解決真實的問題——哪一種租車方式最劃算，貼近學生的實際經(jīng)歷，從小培養(yǎng)學生的理財能力。

兩版本都注重數(shù)學與學生實際生活的聯(lián)系，讓學生感受數(shù)學不僅在自己身邊，還可以用數(shù)學解決生活中的實際問題。通過將數(shù)學問題解決與真實世界聯(lián)系在一起，讓學生感受到數(shù)學作為一種生活工具的同時，也鍛煉了學生的思維能力，幫助學生從生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，將數(shù)學知識與方法遷移到真實的生活情景中去。

(2) 不同點：人教版題材選取的領域比較狹窄、類型單一；加州版選材更廣泛，側重各學科背景和數(shù)據(jù)檔案的取材。美國加州版“真實世界問題解決”模塊不僅注重選取與學生息息相關的生活背景，也特別關注各學科背景和數(shù)據(jù)檔案。美國加州版四年級教材有關真實世界問題解決的生活背景占48%(29/61)，各學科背景占36%(22/61)，數(shù)據(jù)檔案背景占16%(10/61)。而人教版關于真實問題解決題材選取的領域比較單一，大都來源于生活背景，很少涉及其他的學科領域，忽視數(shù)據(jù)檔案背景。因此加州版背景素材的選取比人教版更具廣泛性。素材選取的廣泛性一方面可激起不同層次學生對數(shù)學學習的興趣，這是因為考慮到了不同的背景材料可以照顧到學生的個體差異性，幫助學生找到自己喜歡的領域，拓寬學生的知識面和視野；另一方面可淡化學科的界線，增強數(shù)學學科的綜合性。

3.內容編排的比較

內容編排是指某一具體的內容在教材中的編寫和安排方式。[9]本文從“真實問題解決”在教材中的安排方式及其內容所涉及的知識點兩個方面對兩套教材中“問題解決”內容編排進行分析比較。

(1) 在教材中的安排方式。一是在整個教材中的安排方式。人教版小學數(shù)學四年級教材一般把現(xiàn)實世界的問題解決放在每節(jié)課的“課后練習”和“生活中的數(shù)學”這兩個部分，并與其他的模塊混合在一起(如計算、數(shù)學思考等)，主要是對每個課時所涉及的重點知識進行鞏固、應用和提升；而美國加州版教材是在每節(jié)課的習題后加上真實世界的問題解決(Real-World Problem Solving)，并且把它作為一個單獨的模塊編排進教材中。加州版教材這樣處理這一模塊的原因大概有：突出Real-World Problem Solving(真實世界的問題解決)的重要地位；作為課外積累數(shù)學小知識的重要來源(Data File)；強調數(shù)學在真實生活世界中的應用；復習鞏固所學的知識。二是在自身特色欄目中的安排方式。小學數(shù)學四年級教材一共有16章，每章包括3～6個“Real-World Problem Solving”，每個真實世界的問題解決的左邊都包含主題詞(Science/Art/Technology等)，主題詞后有提示語，提示語下有2～5個問題。其右邊是真實世界的主題圖，常包含問題解決中的信息和線索，如圖3真實世界的問題解決的主題詞是技術，其后的提示語告訴學生右邊的電腦桌面顯示的是四種常用的網(wǎng)絡語言，提示語下呈現(xiàn)幾個問題：網(wǎng)上哪一種語言應用最廣泛；網(wǎng)上較少用日語還是西班牙語？右邊是一臺電腦，電腦桌面里有四種網(wǎng)絡語言的用戶數(shù)量。

圖3　加州版四種流行的網(wǎng)絡語言用戶數(shù)量調查

圖4　人教版體檢時間的優(yōu)化問題

這些突出真實世界的問題解決編排非常詳細、有序，但真實世界的問題解決的主題詞分類不明確，易造成混淆，如希臘的萬神廟是古建筑中的經(jīng)典，其主題詞不是“建筑”卻為“社會科學”。而人教版的編排相對而言就顯得比較簡潔，如圖4體檢時間的優(yōu)化問題只有問題和5張圖片。

問題：三位同學要去量身高、驗視力，每項檢查都要3分鐘，他們至少要用多長時間能做完這些檢查？

(2) 內容所涉及的知識點。按照“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“概率與統(tǒng)計”、“綜合與實踐”四個領域，通過梳理兩版本四年級教材共同的知識點和不同點，以表格的形式呈現(xiàn)，詳見表3。

表3　兩版本教材知識點安排

兩版本教材在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何兩個領域涉及了相同的知識點。加州版該模塊的內容涉及四大領域的每個知識點，且方程與解方程的內容比人教版提前。人教版只涉及數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領域中的部分知識點。由此可見，加州版比人教版在該模塊所涉及的知識點范圍更廣闊。

4.文本表征方式的比較

加州版更貼近真實世界、學生生活。中國《數(shù)學課程標準》(2011年版)教材編寫建議中指出“教材的編寫要體現(xiàn)可讀性，對于第二學段的學生因他們具備了一定的文字理解和表達能力，所以教材的呈現(xiàn)應在運用學生感興趣的圖片、表格、文字等形式的同時，逐漸增加數(shù)學語言的比重”。[1]美國的NCTM標準對表征方式的要求與中國的基本一致，并且在教材中的呈現(xiàn)比人教版體現(xiàn)得更為簡潔、明了、重點突出。如圖5和圖6分別選自加州版“四國道路的長度”和人教版“八大行星與太陽的距離”，兩圖的知識點都涉及對大數(shù)的認識、大小比較問題。圖5用文字、表格、圖片、數(shù)字描述了法國、加拿大、西班牙和俄羅斯四國道路的長度，為問題解決提供直觀的材料。而圖6采用同樣的四種表征方式描述了八大行星到太陽的平均距離，為標出各行星的名稱提供直觀的材料。不同點在于加州版的圖像表征都采用真實世界的實景圖，無論是動物、食物、建筑還是人物都真實的、具體的；而人教版圖片大都采用素描畫、卡通畫，如圖4中的學生和醫(yī)生都是一般化象征。因此加州版教材在圖像表征上比人教版更真實、具體。

圖5　加州版四國道路的長度問題

問題：根據(jù)各行星到太陽的平均距離，分別寫出它們的名稱。

行星到太陽的平均距離/千米火星227940000天王星2870990000地球149600000金星108200000水星57910000木星778330000海王星4504000000土星1429400000

圖6八大行星與太陽的距離問題

四、啟示：重實用性、生活化，聚焦問題解決

真實世界問題解決生活化和實用性的區(qū)別在于：美國教材將問題解決置于真實生活的場景中；中國教材側重學生綜合自己所學的知識去解決真實世界中的問題。

1.真實世界問題解決應注重實用性

將各學科知識融合進數(shù)學學科真實世界的問題解決中，淡化學科的界線，增強數(shù)學學科的綜合性。小學四年級教材應選取多元化的背景素材，尤其是各學科背景素材的引入增加了數(shù)學知識與其他學科之間的關聯(lián)性。2011年版《數(shù)學課程標準》提出：數(shù)學的許多內容與其他學科知識有著密切的聯(lián)系，隨著學習的深入，其他學科(自然科學、社會科學、人文科學)的知識也就成為學生的“現(xiàn)實”。由于數(shù)學知識所具備的“基礎性”特征，使得我們在學習其他相關學科內容時經(jīng)常遇到數(shù)學，或者在解決其他學科學習中的問題時，經(jīng)常用到數(shù)學知識。因此，對某些特定的數(shù)學課程內容而言，學生已經(jīng)掌握的其他學科知識中存在一些相關內容，可以成為學習數(shù)學課程內容的基礎、素材。在這樣的學習過程中，既可以加深對所學數(shù)學的理解，反過來也將促進學生對于數(shù)學是其他科學的語言和工具的理解。生活中處處都要用到數(shù)學，將各學科知識融合進數(shù)學學科真實世界的問題解決中還有助于增加學生知識的總量，增強對知識靈活運用的能力。

2.真實世界問題解決應強調生活化

(1) 教材編寫可選取廣泛的生活素材，將問題解決置于真實世界中，貼近學生的實際生活，提高學生學習數(shù)學的興趣。

(2) 創(chuàng)設多元化的文本表征，可以將復雜抽象的問題轉變?yōu)閷W生熟悉的、有意義、有趣味的問題。此外“通過多元表征對數(shù)學生活問題進行多樣化的解釋，有利于學生新舊知識的聯(lián)系，為構建新的知識做好鋪墊，從而降低外在負荷，增加有效負荷，最終釋放學生學習過程中的總認知負荷，從而減輕學生的學習負擔，提高學習的效率”[10]。

3.真實世界問題解決應聚焦問題解決既是學生學習數(shù)學的重要方式，也是數(shù)學教師重要的教學方式

(1) 真實世界問題解決是學生學習數(shù)學的重要方式。問題解決不僅是學生學習數(shù)學的一個目的(在真實的世界中去解決真實的問題)，也是學習數(shù)學的一種主要方法(問題解決法)。

一方面，學生可以通過真實世界問題解決對數(shù)學形成新的認識；另一方面，學生也在真實世界問題解決的過程中形成了新的能力，增強數(shù)學學習的興趣。如美國教材中有關“money”問題解決，通過自設一個方程和解方程兩個問題，讓學生意識到數(shù)學就在自己的身邊，用方程解決自己工酬問題，提高數(shù)學學習的興趣。同時也逐步培養(yǎng)學生的理財能力，提高學生的獨立生活能力。據(jù)美國Snagajob.com小時工網(wǎng)站做的一個統(tǒng)計：美國小學有三成多的學生暑假從事各種社會兼職，這正印證了加州版教材十分重視從小培養(yǎng)學生獨立生活能力的宗旨。

督促學生補充課外的數(shù)學小知識，提高學生在平時生活中積累數(shù)學知識的意識。加州版四年級數(shù)學教材一共有16章，每一章的真實世界的問題解決(Real-World Problem Solving)基本上都包括一個數(shù)據(jù)檔案(Data File)，如第一章數(shù)據(jù)檔案所展現(xiàn)出來的數(shù)字卡片(Data Card)有鯨魚的種類(藍鯨，灰鯨，駝背鯨及虎鯨)、遷徙距離及數(shù)量，又有對灰鯨的介紹和兩個排序問題(由遠及近排列各鯨魚的遷移距離；由小到大排列各鯨魚的數(shù)量)。如果學生在平常生活中已積累了一些有關鯨魚的常識，將使兩個排序問題變得更加簡單，同時也加深了對“億以內數(shù)的認識”。這就提示學生在課外多補充、多積累有關鯨魚的數(shù)學知識。

(2) 真實世界問題解決也是數(shù)學教師重要的教學方式。小學數(shù)學教師通過“真實世界問題解決”這一專題欄目，將數(shù)學知識與學生真實的實際生活緊密聯(lián)系在一起，在學生解決真實世界問題的過程中滲透有用的數(shù)學知識，因此真實世界問題解決也是數(shù)學教師重要的教學方式。

[參 考 文 獻]

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[責任編輯：江桂珍]

[收稿日期]2015-10-13

[作者簡介]李寅芳(1990-)，女，湖南邵陽人，碩士研究生；王倩(1993-)，女，湖南懷化人，碩士研究生。

[中圖分類號]G40-059.3

[文獻標志碼]A

[文章編號]1002-1477(2016)06-0113-06

教育比較[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.06.030