徐鴻飛

[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié). 傳統(tǒng)概念教學(xué)重應(yīng)試而忽視概念構(gòu)建的過程，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高. 基于初中學(xué)生的認知特點，構(gòu)建新的概念教學(xué)的模式，可以提高概念教學(xué)的效度. 本文以一元一次方程概念為例，從概念教學(xué)的若干個環(huán)節(jié)設(shè)計了教學(xué)的思路，在預(yù)設(shè)與生成作用下生成了該概念的模型，促進了學(xué)生對一元一次方程概念的深層次認識，從而可以為后續(xù)的概念學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；概念模型

概念是客觀事物在人腦內(nèi)的概括性反映，概念是人們理解事物的基礎(chǔ). 對于教學(xué)而言，概念的教學(xué)是一個基本任務(wù)，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，其實就是學(xué)生在概念的基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的大廈，并進而達到用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題乃至生活問題的過程. 但實際教學(xué)中，概念的教學(xué)又往往不太受重視，因為應(yīng)試教育背景下，教師更注重學(xué)生運用概念的能力，而不是建構(gòu)、理解概念的能力. 盡管從理論上來說，這有舍本逐末的嫌疑，但客觀上確實不太影響學(xué)生應(yīng)試能力的提升，因而現(xiàn)實當(dāng)中輕概念教學(xué)的現(xiàn)象可以說是非常普遍. 但有一點可以肯定的是，如果在概念教學(xué)中忽視了概念建構(gòu)的過程，那學(xué)生即使能夠形成較強的解題能力，那也是大量訓(xùn)練的結(jié)果，并不能說明學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升. 因此，重視概念教學(xué)，在概念教學(xué)中努力讓學(xué)生深化概念理解，仍然應(yīng)當(dāng)是每一個初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注的重點.

初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)常態(tài)例析

在尋求新的概念教學(xué)方式之前，還是有必要梳理常規(guī)教學(xué)中概念教學(xué)的一些優(yōu)點與不足，這樣才可以更好地認清過去從而尋找新的思路. 現(xiàn)以“一元一次方程”（人教版七年級數(shù)學(xué)上冊）概念的教學(xué)為例進行梳理.

一元一次方程的教學(xué)，首先是概念的教學(xué)，即首先需要引領(lǐng)學(xué)生一起建構(gòu)一元一次方程的概念. 根據(jù)一般教學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)上形成的直覺感受，這個概念的建立并不難，在實際教學(xué)中只要強調(diào)“一元”與“一次”就行了. 而這兩個概念也不存在理解上的難點，教學(xué)經(jīng)驗表明，絕大部分學(xué)生都能理解“一元”即為“一個未知數(shù)”，“一次”就是指“未知數(shù)的次數(shù)為1”. 因此，在實際教學(xué)中，教師通常的做法與教材上的設(shè)計基本相同：提供一個實例，讓學(xué)生設(shè)出一個未知數(shù)，去建立一個等式，然后判斷其中的未知數(shù)個數(shù)與次數(shù). 這樣的例子可以同時提供兩至三個，這樣就可以歸納出不同一元一次方程的特征：一元與一次. 進而就可以得出對一元一次方程的理解.

這樣的教學(xué)可以說是直接瞄準(zhǔn)一元一次方程本身的，設(shè)計的初衷就是：只要認識了一元與一次，那就認識了一元一次方程. 那么，實際情形是否完全如此呢？筆者的教學(xué)經(jīng)驗以及與同行的交流結(jié)果讓自己發(fā)現(xiàn)，實際情形與這樣的教學(xué)設(shè)計初衷還是存在差異的. 經(jīng)驗表明，學(xué)生難以有清晰的思路去建立等式，甚至有學(xué)生連等式或方程的概念也是理解不透的. 對他們而言，此時的一元一次方程概念的教學(xué)，就有點類似于建造空中樓閣的意思. 也就是說，一元一次方程的概念從某種程度上講，應(yīng)當(dāng)是等式、方程、元、次數(shù)等基本概念的復(fù)合概念，好的概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重這些基礎(chǔ)，并在這些基礎(chǔ)之上創(chuàng)設(shè)情境并進一步引導(dǎo). 這其實就是概念教學(xué)強調(diào)的內(nèi)涵與外延.

探究數(shù)學(xué)概念教學(xué)的新思維

基于以上分析，筆者以為，初中數(shù)學(xué)概念需要創(chuàng)新教學(xué)思路，而這就意味著教師自身要有新的教學(xué)思維. 問題的關(guān)鍵在于，新的思維從哪里來？筆者的探究經(jīng)驗告訴自己，應(yīng)當(dāng)從研究學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的規(guī)律中來. 現(xiàn)仍以一元一次方程概念的教學(xué)來說明.

一元一次方程概念的建立需要遵循哪些規(guī)律？對這個問題的回答可以從以下幾個層面來進行. 從概念本身的構(gòu)建來說，上面已經(jīng)提到，這需要學(xué)生對等式、方程、元、次數(shù)等更基本的概念完全理解；從教學(xué)的角度來說，教師必須了解學(xué)生的情況，判斷學(xué)生對這些基本概念掌握得怎么樣，但這并不意味著教師非得要跟學(xué)生一起回顧甚至是重新講解這四個基本概念；從學(xué)生構(gòu)建概念的思維過程角度來說，不同學(xué)生個體由于原先基礎(chǔ)不同，思維能力強弱不同，由于對教師所講授的知識的接受程度不同，他們對一元一次方程概念的理解水平也會有高低. 這三個角度分析下來的結(jié)果就是學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中的共性，以及可能出現(xiàn)的差異性.

從提高學(xué)生關(guān)于一元一次方程的共性認識，化解學(xué)生個性認識中的難點角度來看，教師所設(shè)計的具有統(tǒng)一性的教學(xué)流程或許應(yīng)當(dāng)是這樣的：

其一，于情境中產(chǎn)生問題，進而產(chǎn)生概念構(gòu)建的動力. 一元一次方程是一個純粹的數(shù)學(xué)概念，但在生活中卻尋找到其源頭，利用這些源頭可以創(chuàng)設(shè)情境，從而讓學(xué)生產(chǎn)生構(gòu)建概念的動力. 筆者設(shè)計的情境嚴格來說是一種思維情境，因為一元一次方程學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過，只是他們沒有從“元”和“次”的角度去進行認識而已. 因此，筆者讓學(xué)生自己去設(shè)計出一個問題，并且可以通過方程來解決. 這是一個發(fā)散性的問題情境，學(xué)生的答案除了簡單的x+5=6，x×3=9之外，也有類似于這樣的式子. 這種發(fā)散性情境最大的好處在于可以通過學(xué)生的思維提供出大量的一元一次方程，從而為下一步的規(guī)律概括提供了基礎(chǔ). 又因為這是學(xué)生自己思考出的結(jié)果，因而可以讓學(xué)生在下面的學(xué)習(xí)中充滿動力.

其二，運用基本思維方法，概括出概念背后的規(guī)律性. 這里所用的方法主要是邏輯方法，即分析與歸納. 分析學(xué)生得出的這些方程，教師引導(dǎo)其從未知數(shù)的個數(shù)與次數(shù)的角度來進行分析，很容易便可以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，即一元與一次. 這個時候筆者還提供了另外幾個一元二次、二元一次、二元二次方程供學(xué)生比較，這樣學(xué)生就能較好地從元與次的角度來把握一元一次方程的特征——幾元幾次方程，其實就是看未知數(shù)的個數(shù)與次數(shù).

其三，借助于數(shù)學(xué)語言，描述這種規(guī)律性. 這個時候，“元”與“次”還沒有成為學(xué)生的語言，筆者以為教師不要急著給出這兩個名稱，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生嘗試用自己的語言去描述這些方程的不同. 于是有學(xué)生會說，這種只有一個未知數(shù)且次數(shù)為“1”的方程可以叫作“一一方程”，相應(yīng)的也就有了“一二方程”“二一方程”“二二方程”，而別的學(xué)生的反駁也有道理：如果未知數(shù)較多怎么辦？只用數(shù)字不就分不清了嗎？也有學(xué)生取名為“一未一次方程”. 這樣的語言與數(shù)學(xué)語言已經(jīng)極為相似，在這樣的基礎(chǔ)上，給出“元”與“次”的稱謂，往往一元一次方程的概念便水到渠成了.

其四，借助于新的情境，體驗數(shù)學(xué)概念的外延. 概念外延是理解概念的極為重要的途徑，一元一次方程概念的外延有兩個層面的意思：一是具體一元一次方程向一般形式轉(zhuǎn)變；二是新情境中一元一次方程的認知. 從x+5=6到ax=b（a≠0）的轉(zhuǎn)變，對于學(xué)生來說是一個很大的變化（這種變化直到初三年級的數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中影響仍然存在），意味著學(xué)生思維加工的對象不只是具體的一元一次方程，更應(yīng)當(dāng)是不同方程的一般形式，從此以后，符號表達式應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要對象. 此外，教師還可以提供新的問題，以讓學(xué)生感知一元一次方程的應(yīng)用，限于篇幅，此處就不贅述了.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要提取模型

事實上，在上述教學(xué)設(shè)計與實施的過程中，有一個重要的因素在概念構(gòu)建的過程中作用越來越明顯，這就是概念模型的建立. 筆者以為，任何一個重要的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，都必須重視概念模型的提取.

一元一次方程是初中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的第一個重要概念，是數(shù)學(xué)中具體的由數(shù)向抽象的符號轉(zhuǎn)變的第一個重要場所. 在這個概念的教學(xué)中，如果能夠幫學(xué)生形成良好的概念模型的意識，那對以后的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)尤其是方程、函數(shù)等概念的學(xué)習(xí)將有著極大的好處.

一元一次方程概念教學(xué)中所需要建立的概念模型就是其一般形式，只是這個形式需要對每一個細節(jié)做出強調(diào)：為什么必須用一般形式？這是因為一般形式才能夠代表所有的一元一次方程、為什么要強調(diào)a≠0？這是因為假如a的值為0，則式中將無未知數(shù)，自然也就談不上方程. 需要進一步強調(diào)的是，將來還會遇到類似的方程的一般形式，同樣會有此類強調(diào). 為什么其一般形式不是ax+b=c？（這是筆者教學(xué)中一個學(xué)生實際的問題），這是因為其不如前面給出的ax=b那么簡潔（這個問題可以交由學(xué)生自己去回答）.

在這樣的師生問答過程中，學(xué)生可以逐步形成一個認識：方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)的個數(shù)可以有若干個，未知數(shù)的次數(shù)可以是多次的，方程可以用一般形式來表示……等到將來函數(shù)的學(xué)習(xí)，其一般形式亦可由方程的一般形式導(dǎo)出，而此處其實就是為新的知識的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 研究至此，相信同行們都已經(jīng)明白，所謂基礎(chǔ)的奠定，其實就是概念模型在起著作用，只有學(xué)生對一元一次方程的概念模型掌握到位，將來在學(xué)一次函數(shù)的時候，才能順利構(gòu)建出新的概念.

總的來說，初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)需要基于學(xué)生的概念構(gòu)建規(guī)律，創(chuàng)新教學(xué)思路，尤其是要從基礎(chǔ)概念的強化與概念模型的建立角度來進行，這樣才能讓某些基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)真正成為其他數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的真正基礎(chǔ).