王靜 段有強(qiáng)

[摘 要] APOS理論是近年來美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的一種關(guān)于概念教學(xué)的理論模型，它包括Action（活動(dòng)階段），Process（過程階段），Object（對(duì)象階段）和Scheme（圖式階段）四個(gè)階段. 筆者以“二次函數(shù)”為例來研究APOS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，這個(gè)理論模型實(shí)現(xiàn)了舊知識(shí)到新知識(shí)的自然銜接，在活動(dòng)中生成、在過程中體驗(yàn)、在操作中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

[關(guān)鍵詞] APOS理論；初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)

什么是APOS理論

APOS理論是近年來美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基在數(shù)學(xué)教學(xué)研究的實(shí)踐中提出的一種關(guān)于概念教學(xué)的理論模型，它包括Action（活動(dòng)階段），Process（過程階段），Object（對(duì)象階段）和Scheme（圖式階段）四個(gè)階段. 這四個(gè)步驟努力營(yíng)造學(xué)生自覺發(fā)現(xiàn)、自主建構(gòu)與形成概念的特點(diǎn)，它是循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)的.

APOS理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實(shí)是一種自我心理建構(gòu)的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或者外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得主客觀彼此一致，才能建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過思維的操作、過程和對(duì)象等幾個(gè)階段，使學(xué)生在自主建構(gòu)和不斷反思的基礎(chǔ)上，把概念組成圖式，通過同化或順應(yīng)的方式，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而順利解決問題.

鑒于APOS理論對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的科學(xué)性和實(shí)用性，筆者就如何進(jìn)行概念教學(xué)作了一些探索. 本文以人教版“二次函數(shù)”為載體，談?wù)剬?duì)APOS理論應(yīng)用于概念教學(xué)的一些思考.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教材分析

“二次函數(shù)”是人教版九年級(jí)上冊(cè)第22章第1節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了變量與函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，引出二次函數(shù)的概念. 二次函數(shù)是初中階段研究的最后一個(gè)具體的函數(shù)，也是初中階段整個(gè)函數(shù)知識(shí)體系中最重要的部分. 它在歷年的中考題中占有較大比例，它的學(xué)習(xí)也為高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，所以本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)安排符合學(xué)生的認(rèn)知需求和整個(gè)函數(shù)體系的自然發(fā)展，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著重要的作用. 而本節(jié)課的二次函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等做鋪墊，所以這節(jié)課在整個(gè)教材中具有承上啟下的重要作用. 另外，通過讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題情境的探究，體驗(yàn)二次函數(shù)產(chǎn)生的過程，體會(huì)到它是實(shí)際生活的產(chǎn)物，并逐步讓學(xué)生體會(huì)怎樣建立實(shí)際問題的函數(shù)模型，培養(yǎng)他們用函數(shù)思想分析、解決問題的意識(shí)和能力.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：使學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，掌握根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式的方法，并了解如何根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

（2）過程與方法：復(fù)習(xí)舊知，通過實(shí)際問題的引入，經(jīng)歷二次函數(shù)概念的探索過程，提高學(xué)生解決問題的能力.

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)加深對(duì)二次函數(shù)概念的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望與信心.

3. 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)二次函數(shù)概念的理解.

教學(xué)難點(diǎn)：由實(shí)際問題確定二次函數(shù)解析式和自變量的取值范圍.

4. APOS視角下的教學(xué)過程

（1）活動(dòng)階段（Action）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引入概念.

活動(dòng)1：（多媒體展示圖片）學(xué)生觀察圖片，教師創(chuàng)設(shè)問題情境.

籃球運(yùn)動(dòng)員投籃、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上飛舞的跳繩、花園噴水池噴出的水都會(huì)形成一條曲線，這些曲線是什么形狀？它們能否用函數(shù)關(guān)系式來表示？這些曲線有什么性質(zhì)？這些知識(shí)將在本章學(xué)習(xí).

活動(dòng)2：我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們思考下面問題的函數(shù)關(guān)系及表達(dá)式.

①正方體的棱長(zhǎng)為x，它的表面積為S，那么S與x的關(guān)系是什么？

②多邊形的對(duì)角線d與邊數(shù)n有什么關(guān)系？

③某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量. 如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系該怎樣表示？

設(shè)計(jì)意圖：APOS理論中的“活動(dòng)階段”相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段，讓學(xué)生對(duì)概念的形成過程有一個(gè)充分體驗(yàn). 情境的引入是概念建構(gòu)的起點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，是認(rèn)識(shí)概念的必要條件. 活動(dòng)1的目的是從生活中的實(shí)例出發(fā)，引起學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的好奇和興趣. 活動(dòng)2設(shè)置的幾個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)引入二次函數(shù)概念的實(shí)際背景，感受其實(shí)際意義，自己動(dòng)手在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型，列出解析式. 這一環(huán)節(jié)是對(duì)函數(shù)概念從抽象到具體，再?gòu)木唧w到抽象的再認(rèn)識(shí)過程，也為后面從解析式中觀察、抽象出二次函數(shù)的概念做好鋪墊.

（2）過程階段（Process）——抽象概括，表述概念.

問題：觀察思考上面列出的三個(gè)式子有什么共同點(diǎn).

歸納總結(jié)：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中a，b分別是二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

對(duì)于a≠0這個(gè)條件準(zhǔn)備采用下面的方式進(jìn)行處理：

問題1：請(qǐng)指出一般式y(tǒng)=ax2+bx+c中的常數(shù)、變量、自變量、函數(shù).

問題2：a能否為0？

問題3：b，c能否為0？

練習(xí)：下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

（1）y=x； （2）m=2n2-3n；

（3）y=2x（x-1）； （4）y=-x；

（5）y=（x+3）2-x2； （6）y=3x3+2x2；

（7）y=x-2+1.

設(shè)計(jì)意圖：APOS理論中的“過程階段”是學(xué)生對(duì)具體實(shí)體進(jìn)行思維概括并描述得出數(shù)學(xué)概念的階段. 學(xué)生通過之前的“活動(dòng)”對(duì)二次函數(shù)的概念形成了初步的認(rèn)識(shí)，通過類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念形成過程，引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)觀察、歸納二次函數(shù)的一般形式，理解解析式的特點(diǎn)，并學(xué)會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表述. 而對(duì)于概念中的關(guān)鍵詞a≠0，通過3個(gè)小問題解決，并讓學(xué)生深刻理解：一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)的關(guān)鍵是看二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，而一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是否為0無所謂. 為了更好地理解二次函數(shù)的概念，及時(shí)進(jìn)行辨析是非常必要的. 在練習(xí)中⑤是非常容易判斷出錯(cuò)的，這里讓學(xué)生注意“先化簡(jiǎn)后判斷”.

（3）對(duì)象階段（Object）——深入理解，剖析概念.

例1：說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).

①y=-x2+58x-112；

②y=πx2；

③y=x（1+x）.

例2：已知函數(shù)y=ax2+bx+c.

①當(dāng)a，b，c是怎樣的數(shù)時(shí)，它是正比例函數(shù)？

②當(dāng)a，b，c是怎樣的數(shù)時(shí)，它是一次函數(shù)？

③當(dāng)a，b，c是怎樣的數(shù)時(shí)，它是二次函數(shù)？

例3：m取何值時(shí)，下列函數(shù)是二次函數(shù)？

y=（m+1）xm2-2m-1+（m-3）x+m.

設(shè)計(jì)意圖：APOS理論中的“對(duì)象階段”是將過程看作是一個(gè)整體，并將其上升為一種意識(shí)，作為獨(dú)立的對(duì)象，不斷地理解概念的本質(zhì). 例1引導(dǎo)學(xué)生從中理解二次函數(shù)的不同在于a，b，c的不同，為接下來學(xué)習(xí)二次函數(shù)的不同表達(dá)形式鋪路，打下基礎(chǔ). 例2引導(dǎo)學(xué)生注意這里是“函數(shù)”而不是“二次函數(shù)”，讓學(xué)生體會(huì)系數(shù)對(duì)函數(shù)的影響，認(rèn)識(shí)到研究函數(shù)其實(shí)就是研究相應(yīng)系數(shù)的變化，這樣更能深刻理解二次函數(shù)的概念. 例3考查學(xué)生是否理解二次函數(shù)的概念，看學(xué)生是否考慮到自變量的最高次數(shù)為2，是否考慮到二次函數(shù)有意義的前提條件是二次項(xiàng)系數(shù)不為0. 這三道例題由淺入深，循序漸進(jìn)，不斷引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)的概念.

（4）圖式階段（Scheme）——實(shí)際應(yīng)用，形成圖式.

例4：張大爺用20 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的長(zhǎng)方形菜園，和墻垂直的一邊長(zhǎng)為x m，菜園的面積為y m2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說出自變量的取值范圍. 當(dāng)x=3 m時(shí)，計(jì)算菜園的面積.

例5：（拓展與提升）若函數(shù)y=x2m+n-2xm-n+3是以x為自變量的二次函數(shù)，求m，n的值.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)、程序、對(duì)象可以看作數(shù)學(xué)知識(shí)的三種形態(tài)，而圖式就是這三種知識(shí)形態(tài)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu). 例4體現(xiàn)了二次函數(shù)在日常生活中的基本應(yīng)用，通過練習(xí)，學(xué)生對(duì)概念的理解上升到抽象層面. 同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)中通過函數(shù)建模來解決實(shí)際問題的思維方法. 例5考查的是學(xué)生對(duì)概念的理解運(yùn)用能力，學(xué)生往往能夠?qū)懗銎渲械膸追N答案，但是寫全的不多，這里引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力.

（5）課堂小結(jié).

①二次函數(shù)的定義.

②二次函數(shù)的特殊形式有哪些？一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)關(guān)鍵看什么？

課后作業(yè)：略.

教學(xué)思考

在APOS理論的指導(dǎo)下，“二次函數(shù)”的教學(xué)案例圍繞“活動(dòng)”“過程”“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段實(shí)施概念教學(xué)，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生在概念發(fā)展的過程中體驗(yàn)、經(jīng)歷生動(dòng)的思維活動(dòng)，加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解，從而實(shí)現(xiàn)概念的建構(gòu). 但在運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)需要注意以下幾點(diǎn).

1. A-P-O-S四階段是一個(gè)相對(duì)連續(xù)的過程

這四個(gè)階段代表著概念在學(xué)生腦海中建立起來的四個(gè)階段，而且是相對(duì)連續(xù)的過程，不能跳過中間的某個(gè)階段，任何一個(gè)階段都是不可或缺的. 數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是從感性到理性、從具體到抽象、從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過程，必須遵循循序漸進(jìn)的原則.

2. 選取合適的問題情境

活動(dòng)階段的目的是為了引起學(xué)生的興趣，啟動(dòng)學(xué)生的思考. 在這一階段需要以感性材料為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)的問題情境要注意能提示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景和形成過程，要適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和心理建構(gòu)能力. 因此，在選擇問題情境時(shí)要關(guān)注下列方面：①可以揭示數(shù)學(xué)概念的背景和形成過程；②能層層挖掘概念；（3）有些趣味性，能引起學(xué)生積極參與.

3. 內(nèi)容的安排要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

在安排教學(xué)內(nèi)容時(shí)要由易到難，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 數(shù)學(xué)知識(shí)有很強(qiáng)的邏輯性，前后知識(shí)聯(lián)系緊密，新知識(shí)由舊知識(shí)引申、擴(kuò)展而來，舊知識(shí)又能為解決問題服務(wù). 在教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的差異，幫助學(xué)生建立多個(gè)遞增的“最近發(fā)展區(qū)”，使教學(xué)過程始終有一定的坡度，使學(xué)生“跳一跳就能摘到果子”.