劉尊革

摘要：數(shù)學(xué)知識(shí)體系主要是由數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題構(gòu)成的，而數(shù)學(xué)概念又是數(shù)學(xué)命題的主要組成部分，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、形成基本技能的關(guān)鍵，是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性和廣泛的概括性，一些學(xué)生之所以感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難，很大程度上是因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)的相關(guān)概念理解不透，沒(méi)有真正掌握概念的本質(zhì)屬性。因此，抓好數(shù)學(xué)概念教學(xué)對(duì)提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量至關(guān)重要。

關(guān)鍵詞：本質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)概念教學(xué)

一、數(shù)學(xué)概念的含義

人們對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解，大多源自哲學(xué)的認(rèn)識(shí)論。認(rèn)識(shí)論認(rèn)為，人的認(rèn)識(shí)是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的主觀反映。概念被定義為“反映客觀事物的共同本質(zhì)屬性的思維形式”。數(shù)學(xué)概念則是反映某些數(shù)學(xué)對(duì)象共同本質(zhì)屬性的一種思維形式，是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)揭示客觀事物的空間形式與數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念包括概念的名稱（符號(hào)）、定義、屬性、例子四個(gè)方面。例如“直角三角形”這個(gè)概念，這一概念的名稱是“直角三角形”（符號(hào)是Rt△），定義是“有一個(gè)角是900的三角形叫直角三角形”，本質(zhì)屬性是“有一個(gè)角是900”，舉例可以通過(guò)正面舉例和反面舉例進(jìn)行辨析。

二、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

（一）數(shù)學(xué)概念的抽象性

這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念代表的是一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，而不是個(gè)別對(duì)象，它在一定的范圍內(nèi)具有普遍意義，這就決定了它的抽象性。如“直角三角形”這個(gè)概念，代表的是各種顏色、各種大小、各種位置的抽象的直角三角形，而任何具體顏色、大小的直角三角形都只不過(guò)是它的特例而已。

（二）數(shù)學(xué)概念的概括性

由于數(shù)學(xué)概念反映的是事物在空間形式和數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)屬性，而不是個(gè)別事物表面上的屬性，通常是經(jīng)過(guò)多層次的抽象概括得來(lái)的，它往往脫離了事物的具體原型，所以有很強(qiáng)的概括性。

（三）數(shù)學(xué)概念的符號(hào)化

數(shù)學(xué)概念要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一種，它具有簡(jiǎn)潔、明了、便于記憶等特點(diǎn)。許多數(shù)學(xué)概念都用特定的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示，如平行用“∥”、垂直用“⊥”來(lái)表示等，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念表示方式的簡(jiǎn)單性，同時(shí)也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

（四）數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性

每一個(gè)數(shù)學(xué)分支的數(shù)學(xué)概念都是由原始概念出發(fā)，經(jīng)過(guò)不斷抽象的定義，使得前一層的數(shù)學(xué)概念為后一層抽象程度更高的數(shù)學(xué)概念服務(wù)，從而形成一個(gè)概念系統(tǒng)。就某一具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，相關(guān)的概念也會(huì)形成一個(gè)系統(tǒng)。如與三角形這一知識(shí)相關(guān)的概念，邊、角、高、中線、角平分線、外接圓等組成一個(gè)關(guān)于三角形概念的系統(tǒng)。

三、數(shù)學(xué)概念的類別

（一）原始概念

從一個(gè)實(shí)例來(lái)認(rèn)識(shí)原始概念?！叭龡l邊都相等的三角形叫等邊三角形”（用到了“三角形”的概念），“三條線段首位相連構(gòu)成的封閉圖形叫三角形”（用到了“線段”的概念），“直線上兩點(diǎn)間的部分叫線段”（用到了“直線”的概念），那么什么是直線？如何定義？以此類推，總有一個(gè)概念不能定義?！爸本€”就是一個(gè)原始概念，類似的原始概念還有許多，如點(diǎn)、平面、集合，等等。

（二）定義性概念

數(shù)學(xué)中的概念基本上都是定義性概念，如三角形、等比數(shù)列、正弦函數(shù)、復(fù)數(shù)等都是定義性概念。需要注意的是，有些數(shù)學(xué)概念在學(xué)生開(kāi)始接觸時(shí)并不以定義性概念出現(xiàn)，如“代數(shù)式”這一概念，一開(kāi)始是這樣描述的，像5，a，4a，ab，a+b，s/t，a2這樣的式子都是代數(shù)式，到后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)才給出代數(shù)式的定義性概念：代數(shù)式是用基本運(yùn)算符號(hào)（包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）把數(shù)、表示數(shù)的字母連接成的式子。教材這樣安排是考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，教師教學(xué)時(shí)重點(diǎn)不應(yīng)放在如何給代數(shù)式下定義，應(yīng)淡化概念形式，注重概念的實(shí)質(zhì)。

四、數(shù)學(xué)概念獲得的心理分析

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，實(shí)質(zhì)上就是讓學(xué)生理解并掌握一類數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)屬性，目的就是運(yùn)用概念來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念有兩種基本方式，一是概念的形成，二是概念的同化。

（一）概念的形成

概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較，歸納出一類事物的本質(zhì)屬性的過(guò)程，然后再通過(guò)具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)，最后通過(guò)概括得到概念的定義。其心理活動(dòng)過(guò)程大致可分為以下幾個(gè)階段：1.通過(guò)例子——提供辨別刺激模式；2.通過(guò)比較、類比——找出共同屬性；3.通過(guò)抽象、檢驗(yàn)——確認(rèn)本質(zhì)屬性；4.通過(guò)概括——形成概念。數(shù)學(xué)概念的形成是由特殊到一般、由具體到抽象的過(guò)程，從概念本身的角度來(lái)考慮，適用于在概念體系中起基礎(chǔ)作用和核心作用或較難理解的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

（二）概念的同化

概念的同化是指一般用定義的方式直接揭示概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生利用已掌握的概念去理解新的概念。以概念同化方式獲得概念的心理發(fā)展過(guò)程如下：1.觀察——概念定義；2.分析——突出本質(zhì)；3.系統(tǒng)化——新舊聯(lián)系；4.比較——實(shí)例確認(rèn)；5.具體化——概括應(yīng)用。學(xué)生能否建立與頭腦中原有數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，明確新概念的內(nèi)涵和外延，再通過(guò)對(duì)實(shí)例進(jìn)行辨析，弄清新舊概念間的區(qū)別，將新概念納入到原有的數(shù)學(xué)概念體系中，使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善，形成新的知識(shí)系統(tǒng)，是學(xué)習(xí)新概念能否成功的關(guān)鍵。概念的同化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的主要方法，運(yùn)用概念的同化方式學(xué)習(xí)新概念，要求學(xué)生要有一定的學(xué)習(xí)動(dòng)力和學(xué)習(xí)積極性，要學(xué)習(xí)的新概念本身也要具有一定的邏輯意義，同時(shí)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中要具有同化新概念的知識(shí)基礎(chǔ)。

在實(shí)際的概念教學(xué)中，一般不讓學(xué)生單純地用某一種方式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。用概念的形成方式來(lái)學(xué)習(xí)，比較接近人類自發(fā)形成概念的過(guò)程，方便對(duì)概念的理解，但較耗時(shí)。若僅用概念同化的方式來(lái)學(xué)習(xí)，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性強(qiáng)，概括性廣，學(xué)生難以把握概念背后的豐富材料，對(duì)概念的理解往往不夠透徹，影響對(duì)概念的本質(zhì)屬性的掌握，所以，教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合所學(xué)概念的特點(diǎn)靈活選擇，兩種獲得概念的方式綜合運(yùn)用，注意揚(yáng)長(zhǎng)避短，互相補(bǔ)充，使教學(xué)效果達(dá)到最佳狀態(tài)。

五、促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程大致分為三個(gè)階段，即概念的引入、概念的理解和概念的應(yīng)用。

（一）概念的引入

在概念的引入時(shí)，教師應(yīng)側(cè)重于引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)概念的本質(zhì)，蘊(yùn)含概念發(fā)生的思維方法等，做到先聲奪人。

1.根據(jù)概念的定義形式引入

數(shù)學(xué)概念一般都是用比較精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義，給概念下定義的形式多種多樣，不同形式的定義要考慮用不同的方式來(lái)引入。如在“拋物線”概念的教學(xué)中，教師課前準(zhǔn)備好教具，課堂上現(xiàn)場(chǎng)演示，讓學(xué)生到講臺(tái)前具體操作，親身體驗(yàn)拋物線的形成過(guò)程，充分揭示概念的本質(zhì)屬性，而不是把教學(xué)重點(diǎn)放在講解拋物線的定義上。

2.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的思維特點(diǎn)引入

在不同的年齡階段，學(xué)生認(rèn)知的思維特點(diǎn)有明顯的區(qū)別，小學(xué)生以具體的形象思維為主，中學(xué)生由具體的形象思維發(fā)展為抽象的邏輯思維，大學(xué)生的創(chuàng)造性思維逐漸確立。但不論在哪個(gè)學(xué)段，在引入概念時(shí)，若能結(jié)合其認(rèn)知的思維特點(diǎn)，注意引入方式的趣味性，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，就會(huì)收到良好的教學(xué)效果。

（二）概念的理解

俗話說(shuō)：“概念不清，做題瞎蒙?！睘榱吮M量避免這種現(xiàn)象，教學(xué)中教師可以通過(guò)下列幾種方式讓學(xué)生加深對(duì)概念的理解：

1.重視對(duì)概念內(nèi)涵的分析

用來(lái)給數(shù)學(xué)概念下定義的語(yǔ)言一般都很精煉，表達(dá)嚴(yán)密，概括性較強(qiáng)。教學(xué)中，教師要抓住概念中的關(guān)鍵詞、句，并對(duì)其進(jìn)行解剖分析，充分揭示概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生正確理解并掌握概念的本質(zhì)屬性。如在偶函數(shù)的概念教學(xué)中，根據(jù)“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x）成立”，分析得出，偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

2.利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性

一般意義上的教學(xué)變式分為兩類：一是屬于概念外延集合的變式（正例變式）；一是雖不屬于概念外延的變式，但與概念對(duì)象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式（反例變式）。正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，在概念的形成階段、深化階段及應(yīng)用階段合理運(yùn)用變式教學(xué)，能盡可能避免概念的非本質(zhì)屬性帶來(lái)的干擾，突出其本質(zhì)屬性，有利于提高概念教學(xué)的課堂效率。如學(xué)過(guò)函數(shù)的奇偶性后，可列舉一些具體的函數(shù)（正、反變式）讓學(xué)生進(jìn)行辨析，以加深對(duì)奇、偶函數(shù)概念的理解。

3.注意概念間的類比

數(shù)學(xué)中有許多概念是相關(guān)聯(lián)的、類似的，教學(xué)中應(yīng)有機(jī)地把它們聯(lián)系在一起進(jìn)行類比，在比較中加以甄別，澄清模糊，能起到由此及彼、溫故知新的作用，如數(shù)列極限和函數(shù)極限的類比。

4.注意使概念系統(tǒng)化

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握單個(gè)的概念，還要讓學(xué)生掌握一定的概念體系，建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。除了原始概念外，一般一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念總是在原有的概念上形成的，因此，新舊概念之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，如相鄰關(guān)系、對(duì)立關(guān)系、矛盾關(guān)系、從屬關(guān)系、并列關(guān)系等，這些聯(lián)系是建構(gòu)概念體系的前提。教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)過(guò)的概念加以整理、歸類，理清概念間的關(guān)系，將它們連點(diǎn)串線，建立科學(xué)的概念網(wǎng)絡(luò)體系。

（三）概念的應(yīng)用

數(shù)學(xué)命題離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念，問(wèn)題的解決更離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念。概念的運(yùn)用有助于檢查學(xué)生對(duì)概念理解和掌握的程度。在概念的運(yùn)用中要注意精選例子，能舉一反三，觸類旁通，避免題海戰(zhàn)術(shù)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是盡可能地展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，從學(xué)生熟悉的、親身感受的生活經(jīng)驗(yàn)人手；二是注意用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)概念。教師在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)用精煉的語(yǔ)言，準(zhǔn)確地反映概念的本質(zhì)特征；三是教師應(yīng)充分估計(jì)到學(xué)生對(duì)概念理解的困難，幫助學(xué)生從不同角度理解數(shù)學(xué)概念；四是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個(gè)反復(fù)多次、螺旋上升的過(guò)程。對(duì)概念的學(xué)習(xí)不能只停留在概念課上，有時(shí)需要把它放在整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中去認(rèn)識(shí)。對(duì)概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)成為其他數(shù)學(xué)課型中隨時(shí)隨地關(guān)注的焦點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念應(yīng)作為認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)基本脈絡(luò)的一個(gè)基礎(chǔ)。

從某種意義上講，學(xué)生數(shù)學(xué)水平的高低往往取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。作為數(shù)學(xué)教師，不僅要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性，更要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，思考如何具體實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。