陸志雯

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

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“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中如何處理教材內(nèi)容

陸志雯

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

“高等數(shù)學(xué)”課程是大學(xué)各專業(yè)的基礎(chǔ)理論課,是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)。如何提高課堂教學(xué)效果,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力是每位高等數(shù)學(xué)老師都會遇到并關(guān)注的問題。根據(jù)多年的教學(xué)實踐,從多個角度多個視角給出了在“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中,通過對教材內(nèi)容的合理處理,進而得以解決這一問題,達到提升“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)質(zhì)量的目的。

高等數(shù)學(xué);教材內(nèi)容處理;教學(xué)質(zhì)量

“高等數(shù)學(xué)”課程是大學(xué)各專業(yè)的基礎(chǔ)理論課,它在各個領(lǐng)域及學(xué)科中發(fā)揮著越來越重要的作用。數(shù)學(xué)不光深入到物理、化學(xué)、生物等各種傳統(tǒng)領(lǐng)域,而且深入到經(jīng)濟、金融、信息等新型領(lǐng)域。它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ),而且對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力至關(guān)重要。

對于大多數(shù)學(xué)生而言,他們并不想成為數(shù)學(xué)專業(yè)技術(shù)人員,他們希望數(shù)學(xué)成為學(xué)習(xí)或研究其他學(xué)科的工具,所以如何使非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門課程就擺在了眾多高等數(shù)學(xué)教育工作者的面前。

高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期開課,其教學(xué)效果直接影響學(xué)校的學(xué)風(fēng)、校風(fēng)和教風(fēng),也影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí),進而影響畢業(yè)率、考研率和就業(yè)率。抓好高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)質(zhì)量是當務(wù)之急。

目前“高等數(shù)學(xué)”課程在實際教學(xué)過程中存在三個典型問題:

(1)過分追求體系的完整性。這表現(xiàn)為:對教學(xué)內(nèi)容追求完整,采用一刀切的方式;對上課學(xué)時、計劃做出統(tǒng)一規(guī)定;教學(xué)內(nèi)容一成不變,不論其對今后的學(xué)習(xí)和工作是否有用,必須按計劃完成所有教學(xué)內(nèi)容。

(2)機械地照搬現(xiàn)代化的教學(xué)工具,多媒體教學(xué)已經(jīng)廣泛應(yīng)用到教學(xué)過程中。

(3)過分強調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的作用,忽略教師的主觀能動性。

要解決以上三個問題,必須提升高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量,處理好教材內(nèi)容,使“高等數(shù)學(xué)”課程得到可持續(xù)發(fā)展。

一、從課程目的出發(fā),把握教材,處理教材

(一)依據(jù)大綱,明確要求

要處理好教材,必須深入研究教學(xué)大綱(或基本要求),根據(jù)大綱的精神,明確本門課程的作用、任務(wù)和要求。高等工科院校的高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)課有它自己的特點,不能完全按照理科的要求去講授。近年來一談到加強基礎(chǔ)理論,有些教師就有一種片面的理解,認為就是要多講理論,因而在教材處理上出現(xiàn)了“工”向“理”靠的情況。根據(jù)大綱的精神,在工科院校講授“高等數(shù)學(xué)”這門課程的目的與要求如下。

(1)掌握基本概念、基本理論、基本方法。通過這門課的學(xué)習(xí),使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、空間解析幾何與常微分方程的基本知識,必要的基礎(chǔ)理論和常用的基本運算方法[1]。

(2)培養(yǎng)能力。通過這門課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生四種能力,即比較熟練的運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、幾何直觀和空間想象能力。

(3)學(xué)會方法。通過這門課程的學(xué)習(xí),教會學(xué)生掌握分析問題和解決問題的思想方法和技巧,提高學(xué)生的獨立思考及自學(xué)能力,進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

由以上目的與要求可以看到,工科院校的高等數(shù)學(xué)應(yīng)是應(yīng)用數(shù)學(xué)而不是純數(shù)學(xué),是作為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程與進一步掌握科學(xué)知識的工具。因此不一定像理科那樣去追求過深的數(shù)學(xué)理論,而應(yīng)強調(diào)應(yīng)用方面的內(nèi)容[2]。從這個角度出發(fā),對工科院校的學(xué)生在基本運算能力的要求應(yīng)高些,一些過于抽象的、比較繁瑣而冗長的證明等要求可低些,或借助于幾何直觀來幫助理解與說明,也可在課堂上由教師指出可查閱的資料,讓有興趣的學(xué)生去查閱。

(二)整體規(guī)劃,理出主線

在明確教材處理基本要求的基礎(chǔ)上,進一步深入鉆研教材,做到熟悉教材、吃透教材、領(lǐng)會教材的意圖,弄清教材內(nèi)容的來龍去脈。備課時要對課程做到心中有數(shù),整體規(guī)劃,抓住中心,理出整門課的主線,使前后連貫,一環(huán)扣一環(huán),環(huán)環(huán)相扣,一氣呵成。例如,因為數(shù)學(xué)是以空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對象,所以用“數(shù)”、“形”相結(jié)合的思想來處理微積分這部分教材,每講清一個概念都要附以幾何解釋。又因為高等數(shù)學(xué)是研究變量和圖形的變化,所以就要研究變量之間的關(guān)系,從而引出函數(shù)概念、尋求函數(shù)關(guān)系(如果所尋求的函數(shù)關(guān)系要通過導(dǎo)數(shù)及微分的關(guān)系式,從而就引出了微分方程);研究變量的變化趨勢,從而引出極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等概念;研究連續(xù)分布不均勻量的求和問題,從而引出定積分概念等等。

理出了主線,才能做到向?qū)W生闡明本課程的基本思想、邏輯推理的方法,才能在教材處理上體現(xiàn)出系統(tǒng)性、連貫性、科學(xué)性、邏輯性與直觀性。

不僅對整門課程要整體規(guī)劃、抓住中心、理出主線,而且對每章內(nèi)容、乃至每次課也應(yīng)這樣做。只有每一次課都能這樣去處理教材,才能真正實現(xiàn)上述三個目的與要求,才能把課講生動講精彩。

(三)突出重點,兼顧一般

在抓住中心、理出主線的基礎(chǔ)上,再確定整門課程、每章內(nèi)容、每次課的重點、難點和關(guān)鍵問題。什么是重點？重點就是上面講到的“三基”,即基本概念、基本理論、基本方法,換句話說重點就是課程的基本知識。什么是難點？所謂難點就是學(xué)生理解起來比較抽象,運算推導(dǎo)需要的理論知識比較深奧或比較繁瑣。什么是關(guān)鍵問題？所謂關(guān)鍵問題就是解決了這個問題,其它就迎刃而解的問題。

在處理教材時,對于重點內(nèi)容要充分加以重視,想方設(shè)法使學(xué)生理解透徹,而且要在不同的地方通過各種途徑反復(fù)強調(diào),使學(xué)生予以足夠的重視,并切實掌握好。對于難點內(nèi)容一定要想辦法突破它,使抽象問題具體化,理論問題形象化,復(fù)雜問題簡單化,做到由易到難,使學(xué)生容易接受。對于關(guān)鍵問題一定要緊緊抓住不放,千方百計使學(xué)生理解它,并通過關(guān)鍵問題的解剖提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

在明確了重點、難點、關(guān)鍵問題后,在教材的取舍上應(yīng)有所側(cè)重,切不可平均使用力量,要把主要內(nèi)容放在重點、難點、關(guān)鍵問題上,同時要兼顧到一般。

(四)抓住規(guī)律,舉一反三

在具體處理教材時,往往會遇到多、繁、雜等現(xiàn)象,這是由高等數(shù)學(xué)的“三性”(即高度的抽象性、邏輯的嚴密性、體系的完備性)所決定的,反映出來的是概念多、定理及證明多,總的來說就是內(nèi)容多、運算繁雜。這時就要設(shè)法將多化少、將繁(雜)化簡,從中抓住規(guī)律,抓住聯(lián)系,教會學(xué)生舉一反三、觸類旁通。例如微積分學(xué)中概念比較多,有函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等,不僅要一一弄清這些概念的實質(zhì),而且還要弄清楚這些概念之間的關(guān)系。通過研究分析,將會看到函數(shù)的連續(xù)性、可微性、定積分等概念,而這些概念又都是用極限概念來表達的,因此必須抓住極限概念,一定要將它學(xué)透徹。又如空間解析幾何中建立平面方程有好幾種,除點法式及截距式外,很多題目都可以歸納為用三矢共面的方法來建立平面方程,它適用于過一點、二矢;過兩點、一矢;過三點[3-4]。多年的教學(xué)實踐證明,這樣處理教材,讓學(xué)生學(xué)會用三矢共面法建立平面方程,是教會他們舉一反三的好方法。再如在復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算中,由于運算復(fù)雜,初學(xué)者容易“丟尾巴”(即丟掉一部分),這時就要掌握復(fù)合求導(dǎo)的規(guī)律,為了掌握其規(guī)律,就要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),學(xué)會復(fù)合函數(shù)的分解。

(五)聯(lián)系實際,加強直觀

這里所講的聯(lián)系實際指的是兩方面:一是在教材內(nèi)容處理方面,應(yīng)盡可能把理論與實例相聯(lián)系;二是在教材內(nèi)容處理方面還應(yīng)與所教學(xué)生的實際情況相聯(lián)系。例如在處理有關(guān)基本概念方面的教材內(nèi)容時,就應(yīng)從若干實例來著手,分析歸納其共同點,加工抽象為理論,給出完整的定義,并付以幾何解釋。以直觀實例為背景,學(xué)生對這些概念就好理解,感到不那么抽象;付以幾何解釋,學(xué)生對這些概念就好接受,感到比較親切。如微分概念利用“正方形邊長由x增至x+Δx,其面積近似增加多少”的實例引進,對于哪塊圖形面積是主要部分,用它來近似代替,哪塊圖形面積是略去的高階無窮小,這樣處理教材,學(xué)生感到很形象,很好理解。對有關(guān)基本理論,既要給予嚴格的邏輯論證,又要盡可能給予實際意義的說明與幾何解釋,如羅爾定理、拉格朗日定理就可這樣去處理。教材處理還應(yīng)聯(lián)系學(xué)生的實際情況。能否處理好教材并講好課,這與對學(xué)生實際的了解程度有很大關(guān)系。如果脫離實際,那么在教材處理上、講課上就會碰釘子、走彎路。如現(xiàn)在的學(xué)生已具有初步的微分學(xué)知識,在處理教材時,微分的基本運算內(nèi)容就可以從簡,而對基本概念與基本理論方面的內(nèi)容應(yīng)該加強,因為后者內(nèi)容學(xué)生在中學(xué)里學(xué)得比較少,且理解得不深刻。

二、從學(xué)生實際出發(fā),合理處理教材

(一)深入淺出,通俗易懂

在對教材處理時,應(yīng)該力求把比較深的理論盡量用淺顯的道理、簡單方法講清楚,而有些教師認為講得越深越好,這樣才能突顯自己的業(yè)務(wù)水平高,如果講得淺,怕別人認為沒水平。筆者認為這種觀點會阻礙教師更深入地去鉆研教材及在處理教材上下功夫。事實上,能夠真正做到把課講得深入淺出、通俗易懂,這正說明教師是已經(jīng)吃透了教材,完全熟悉了教材,教材處理達到了得心應(yīng)手的地步。

為了做到這一點,可以用些通俗易懂的比喻。如求平行截面面積為已知的立體體積、求二重積分,可用切番薯片為例形象地去處理。又如在空間直角坐標系里已知坐標描出點的位置,先講書本上用對角線方法(以三個坐標為邊長作長方體,一個頂點在坐標原點,由坐標原點作對角線),還可用長方體三棱組成的折線(像唱歌指揮打拍子一樣)去處理就形象得多。利用這種方法還可以處理矢徑坐標這部分教學(xué)內(nèi)容,再利用自由矢、等矢去處理矢量坐標等。這樣既直觀形象、通俗易懂,又前后連貫。在用比喻時切忌毫無意義、庸俗,那樣會適得其反。因此在處理教材時,就要考慮好用什么比喻,不能等到講課時再隨便亂舉例、信口開河。比喻如果運用得當,可起到事半功倍的效果。

(二)組織新穎,培養(yǎng)興趣

這個提法說的是在內(nèi)容的組織上應(yīng)力求新穎,以便到講課時能吸引同學(xué)的注意力,集中精力聽好課,培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣。有些教師認為這條原則對大學(xué)生來說不一定適用,其實并不然,如果不注意這條原則,就會使學(xué)生對這門課的學(xué)習(xí)不感興趣。筆者曾多次聽一些同學(xué)說:“聽某某老師講課很有勁,我們有興趣去學(xué)”、“某某老師講課一句也聽不進,光想打瞌睡”等等。固然這些學(xué)生所講的意見不一定那么客觀,但說明培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的重要。

既然要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,那么對于高等數(shù)學(xué)這門課來說,有現(xiàn)成的教學(xué)大綱(或基本要求)與教材,怎樣做才算是組織新穎呢？能有科學(xué)上和生活中的新事物、新例題固然好,但關(guān)鍵還在于能用比較新穎的方法去組織好每章節(jié)、每堂課的教學(xué)內(nèi)容?？梢詮囊韵聨追矫嬷?1)考慮這章節(jié)、這堂課的目的與要求,根據(jù)這些目的與要求,盡量把每章節(jié)、每堂課的教學(xué)內(nèi)容精選成一個整體,做到綱目清楚、條理清晰、層次分明、利于啟發(fā)。明確這堂課解決哪些問題,怎樣解決,有沒有別的方法與途徑,得到哪些結(jié)論與公式,等等。2)考慮教材的每章節(jié)、每堂課如何開頭,從教育心理學(xué)角度來分析,“絕妙的開場白”對一章節(jié)、一堂課將產(chǎn)生巨大的影響。3)考慮如何結(jié)尾,結(jié)尾時要畫龍點睛、突出主題,有時還可再提出一些問題,且聽下回分解。

(三)面向全體,因材施教

面向全體,因材施教是處理教材的一個非常重要的原則,也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作的基本出發(fā)點。在處理教材時,要從大多數(shù)學(xué)生的知識基礎(chǔ)、智力水平的狀況去考慮,設(shè)法將這些知識變成大多數(shù)學(xué)生能理解和接收的東西。在鉆研教材時,必須站在大多數(shù)初學(xué)者的角度上去考慮,這個問題學(xué)生會怎樣想？那個問題會怎樣思考？只有這樣去處理教材才更適合同學(xué)的口味。

在談到面向全體時,有些教師認為這與嚴格要求相矛盾。其實不然,因為嚴格要求是建立在大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)上的。如果在教材處理、教學(xué)要求上離開了面向大多數(shù)這個前提,只考慮嚴格要求,是很難達到預(yù)期的目的。在處理教材時要照顧到兩頭:一頭是學(xué)得好的,一頭是學(xué)得差的。如果對兩頭考慮不周,學(xué)生聽課時,好的就會感到吃不飽,學(xué)起來沒勁,差的感到消化不了,學(xué)起來很吃力。一般說來,教材應(yīng)處理成使大多數(shù)學(xué)生能聽懂,有興趣聽,收獲大。使成績好的聽課后感到有收獲,成績差的基本上也能聽清楚、聽懂。

(四)適當加深,發(fā)展思維能力

現(xiàn)在入學(xué)的學(xué)生基礎(chǔ)知識一般來說比過去要好些,所以在教材處理上可以把要求與標準提高些、加深些。一是從內(nèi)容方面加深,二是從理解上加深。例如在空間解析幾何中,除了講點到平面的距離外,可增加點到空間直線的距離、兩條異面直線的距離,這是從內(nèi)容方面加深[5];對于這些距離不僅用求交點的方法去處理,而且用矢量運算的方法去處理,這是從理解方面加深。

加深的目的是為了發(fā)展學(xué)生的思維能力,讓學(xué)生積極進行思考,在創(chuàng)新意識方面有所培養(yǎng)。所謂適當加深,就是說不能脫離學(xué)生實際,把教材搞得越難越好,也不是為加深而加深,否則就會出現(xiàn)學(xué)生負擔(dān)過重,難以理解和消化的局面,這樣不僅達不到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的目的,而且還會造成學(xué)生囫圇吞棗、死記硬背。

(五)允許跳躍,留有余地

在對教材的處理上,過去強調(diào)循序漸進,這顯然是正確的。但過去強調(diào)得似乎過分了一些,出現(xiàn)了多次單調(diào)重復(fù)的現(xiàn)象。現(xiàn)在的學(xué)生接受能力比較強,經(jīng)過一次講解后基本上就可以聽懂,因此在循序漸進的原則下,對有些大體上有類似性質(zhì)的內(nèi)容講授的進度可以加快。所謂加快,一是對于主要的內(nèi)容可以少重復(fù)幾次,二是允許“跳躍”,以高帶低,留有余地,讓學(xué)生自己去鉆研。在教材處理上如果反復(fù)過多,咀嚼過細,學(xué)生聽了反而不耐煩,影響到聽課情緒。

但要注意,加快必須適當。加快進度不等于開快車、趕進度,也不是說一次課講得越多越好,而是在講清基本概念、基本理論、基本方法的基礎(chǔ)上適當加快,合理地以高帶低。如果講得過快,反而可能出現(xiàn)“欲速則不達”的情況。大家都有這樣的體會,回過頭來“炒冷飯”,其教學(xué)效果是不會很好的,從教育心理學(xué)角度去分析,就是沒有充分發(fā)揮“第一次感知”的效果。

三、不斷總結(jié),大膽創(chuàng)新

大學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)階段,不僅要學(xué)到新的知識,更重要的是學(xué)會掌握知識的方法,因為學(xué)過的知識有些總是會遺忘的,但是方法掌握了,能力提高了,他們自己就有本領(lǐng)去學(xué)習(xí)更多的新知識、掌握更多的新方法?；谶@個思想,在教材處理時要敢于創(chuàng)新,要有自己的獨到之處,向同學(xué)闡明自己的思路與解決問題的方法。為此,就要想些辦法來達到這個目的。

(一)啟迪共鳴

啟發(fā)學(xué)生的思維,吸引住同學(xué)使其與教師產(chǎn)生共鳴。例如在處理二重積分教材時,抓住計算的關(guān)鍵在于定出積分的上、下限。欲定出上、下限,其關(guān)鍵又在于畫出區(qū)域D的圖形,用聯(lián)立不等式表示區(qū)域D。具體解題時先用兩條平行y軸(或x軸)的直線穿過區(qū)域的左、右(或上、下)兩邊,寫出不等式a≤x≤b(或c≤y≤d),再用一條紅線從下向上(或從左向右)穿過區(qū)域,并掃遍整個區(qū)域,寫出不等式y(tǒng)1(x)≤y≤y2(x)(或x1(y)≤x≤x2(y))。若遇到上、下(或左、右)曲線方程所對應(yīng)的函數(shù)不能用一個初等函數(shù)表示時,就需要分幾個區(qū)域。這樣處理教材,一層一層地分析,啟發(fā)引導(dǎo),同學(xué)的思維容易引起共鳴?！澳靡粭l紅線穿過去,掃遍整個區(qū)域”比起書本上的處理要形象而生動的多,書上是講當平行于坐標軸的直線與邊界曲線的交點多于兩個時就要分區(qū)域,這個結(jié)論是對的,但用于解題就不方便。

(二)運用類比

在“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)中采用類比法與對比法去處理教材,對提高同學(xué)的認知能力和創(chuàng)新意識培養(yǎng),可取得很好的效果。所謂類比法就是在學(xué)生已經(jīng)掌握原有知識的基礎(chǔ)上,通過類比的方法引出新知識;所謂對比法就是在進行類比時,將新舊知識進行對比。也就是說,類比法是利用原有知識引出新知識,研究新舊知識之間的相同之處;對比法就是要進一步分析新舊知識之間相異之處。在“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)中用這個方法去處理教材的地方很多,如多元函數(shù)與一元函數(shù)進行類比與對比,積分法則與微分法則進行類比與對比,向量運算與數(shù)量運算進行類比與對比,三重積分與二重積分計算方法進行類比與對比等等。

(三)深入探究

深入探究就是用發(fā)現(xiàn)法(即探究法)去處理教材,所謂發(fā)現(xiàn)法就是讓學(xué)生利用教師提供的材料(如給出若干數(shù)據(jù)、若干題目等),由學(xué)生親自動手、動腦去想,進行分析研究,從而得出新的結(jié)論或獲取新的知識。這樣讓學(xué)生完全處于主動的地位,進一步培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

總之,教材是學(xué)生學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”這門課程的重要依據(jù)。上好每一堂課是一門藝術(shù),只要對教材的相關(guān)內(nèi)容通過上述的幾個方面作恰如其分的處理,使教材內(nèi)容回歸自然,煥發(fā)出其固有的文化活力,那么通過這文化與藝術(shù)的絕妙融合,學(xué)生就一定能體會到教材中濃郁的文化氣息,產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,從而提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。

[1]王福楹,王福保,蔡森甫,等.高等數(shù)學(xué)[M].第五版.北京:高等教育出版社,2007.

[2]楊宏林,丁占文,田立新.關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的幾點思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2004,13(2):74-76.

[3]王明禮,丁占文,田立新.數(shù)學(xué)試驗在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(3):26-28.

[4]叢玉豪.大學(xué)數(shù)學(xué)教程[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[5]郭敬明,韓云瑞,章棟恩.美國微積分教材精粹選編[M].北京:高等教育出版社,2012.

(編輯: 鞏紅曉)

How to Deal with the Teaching Materials of “Advanced Mathematics”

Lu Zhiwen

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

How to deal with the teaching materials for better course teaching effect is the key challenge for all the teachers and needs paying attention to. Based on her personal experiences in teaching the course of “ Advanced Mathematics” for many years,the author summarizes multiple methods to deal with the teaching materials from various perspectives.

advanced mathematics;teaching materials;teaching quality

2015-09-10

陸志雯(1973-),女,講師。研究方向： 計算數(shù)學(xué)。E-mail:13501771403@139.com

G 642.0

A

1009-895X(2016)03-0281-05

10.13256/j.cnki.jusst.sse.2016.03.016