謝愛金

摘 要：由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式是解決數(shù)列難題的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.由于遞推數(shù)列形式多變、復(fù)雜，解法靈活，技巧性高，從而導(dǎo)致這一內(nèi)容成為學(xué)生學(xué)習(xí)的瓶頸. 本文總結(jié)出幾種遞推數(shù)列的巧妙解法，希望能夠幫助廣大高中生突破這一難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：遞推關(guān)系；構(gòu)造法；等差數(shù)列；等比數(shù)列

求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考主要考查的題型之一. 對(duì)于等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)有現(xiàn)成的公式，而對(duì)于一個(gè)普通的數(shù)列，如何求其通項(xiàng)，教材中并沒有給出具體的方法. 下面以一道課本習(xí)題就通項(xiàng)公式的求解進(jìn)行拓展探究.

題目 （新課標(biāo)人教版必修5第54頁練習(xí)）已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=，求a5.

遞推關(guān)系是數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，即由a1=1可求得a2=，由a2可求a3=，……，以此類推可求得a5=. 若將題目改為求an，又如何求解？

變式1：已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=，求an.

對(duì)于給出遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，我們常用的策略就是構(gòu)造法，即將一個(gè)普通的數(shù)列構(gòu)造為特殊的等差或等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列{bn}，令bn=，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形.

綜上，由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)既是高考對(duì)數(shù)列考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，難就難在類型多，技巧性強(qiáng). 處理遞推數(shù)列問題的基本思想就是對(duì)遞推式進(jìn)行變換，通過變換把遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列，即等差數(shù)列或者等比數(shù)列. 等差數(shù)列、等比數(shù)列是數(shù)列中的最基本也是最重要的形式，必須熟練掌握.