李海艷

摘 要：橢圓定義的最終形成歷經(jīng)兩千多年的時間，要在一節(jié)課讓學生完整經(jīng)歷橢圓定義的原始發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程顯然是不可能的. 本文從教學設計細節(jié)入手，揭示曲線定義本質，感悟數(shù)學思想，體會數(shù)的嚴謹、形的靈動.

關鍵詞：橢圓定義；代數(shù)本質；數(shù)形結合

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》在課程的基本理念中明確指出：“高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質.” 橢圓的定義從人們認識圓錐曲線開始，由平面截圓錐到阿波羅尼的橢圓定義，再由沃利斯的關于變量x，y的二次方程的曲線的圓錐曲線定義到丹德林的圓錐曲線定義（教材中的定義），先后經(jīng)歷了兩千多年的時間. 由此可見，要在一節(jié)課讓學生完整經(jīng)歷橢圓定義的原始發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程顯然是不可能的.

整體把握

在“圓錐曲線”的教學中，筆者繼續(xù)貫徹數(shù)學2中提出的“有了曲線如何建立方程，有了方程怎樣研究曲線的性質”的解析幾何研究思想，并將這種思想放在處理橢圓、雙曲線、拋物線上，讓學生不斷感受解析幾何的一般研究思想方法. 先通過活動，用平面切割圓錐面，從幾何角度給出橢圓、雙曲線、拋物線的定義；然后按照解析幾何研究的統(tǒng)一思想方法（在數(shù)學2中已經(jīng)給出，這里進一步貫穿）：建立坐標系，根據(jù)幾何性質建立曲線的方程，通過方程從代數(shù)角度研究曲線的性質. 主要過程為：圓錐曲線—橢圓、雙曲線、拋物線—圓錐曲線的統(tǒng)一定義，整體→部分→整體.

在橢圓、雙曲線、拋物線研究完畢后，再給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，最后研究一般的曲線方程，使學生對解析幾何的研究方法有一個整體的認識.主要過程為：直線與圓—圓錐曲線—曲線與方程，特殊→一般.

本章有核心的概念、原理，有自己的主線，整個內(nèi)容圍繞核心概念或原理展開. 向學生展開研究主題的過程（為什么）；正文就是建立數(shù)學（是什么）和解決問題（干什么）的過程；而橢圓是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習，是后繼學習的基礎和示范. 同時，它也是求曲線方程的深化和鞏固.

基于上述分析，筆者采取的教學方法是“問題誘導—啟發(fā)討論（辨析）—探索結果”以及“直觀觀察—歸納抽象—總結規(guī)律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合. 引導學生學習方式發(fā)生轉變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍.

目標界定

1. 知識與技能

①準確理解橢圓的兩種定義；

②學會運用定義解決相關問題；

③解決解析幾何處理上出現(xiàn)的思維不嚴謹現(xiàn)象，提高邏輯思維的嚴密性.

2. 過程與方法

①通過探究研討交流，讓學生在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、數(shù)形結合及化歸和轉化的數(shù)學思想的應用；

②關注分析推理這一證明處理細節(jié)，提高學生的分析解決問題的能力.

3. 情感、態(tài)度與價值觀

①發(fā)展學生把握平面圖形的能力，使學生更好地認識和理解人類生存的空間；

②發(fā)展學生的直覺能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神；

③發(fā)展學生的推理論證能力、合情推理能力、運用代數(shù)語言進行表達與交流的能力.

方法意圖

本部分知識較抽象、枯燥，對數(shù)學的定義研究很嚴格，如果按照以前的教學模式進行教學，仍不可避免出現(xiàn)數(shù)學課上“老師講得津津有味，學生聽得昏昏欲睡”的現(xiàn)象. 基于此，由此展開教學設計：以學生自己探究為主，教師挖掘文中隱藏的“探究點、易錯點”，設置一定的問題情境，給學生提高嘗試探究的機會，在錯誤中思維得到摔打，得到升華，把課堂交給學生，使學生實現(xiàn)從感性認識到理性認識的飛躍，并自覺地遷移運用.

基于此，課堂教學設計擬如此展開：探究感知、認識現(xiàn)象、理性研究、把握實質、理清概念，并能做到學以致用，達到遷移深化，三維交融，達成教學目標.課堂中適時創(chuàng)設情景，設置一定的錯誤，引導學生對照橢圓的定義進行比較理解. 教貴善誘，此外適時插入課件，提高直觀性和課堂容量.

實踐操作

其實通過數(shù)軸上兩點間的距離可知此時動點P只能在線段AB上.

那么這位同學為什么會錯呢？我們一起來看一看橢圓的定義：橢圓的第一定義為（和值定義）：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓. 他忽略了常數(shù)要大于F1F2這一條件.

因此我們在使用第一定義解題時要注意：①此定義突出了橢圓上任一點到兩焦點距離之和為常數(shù). ②該常數(shù)必須大于F1F2，若等于F1F2，則軌跡為線段F1F2；若小于

F1F2，則這樣的點不存在，即無軌跡.

感悟：加強定義學習的指導，讓學生感悟數(shù)學定義的嚴謹性，從定義研究的角度對學生進行橢圓定義考查的重點與易錯點的探討，激發(fā)學生學習熱情和興趣，提高學生求知欲望和課堂關注率.

④我們還可知道ON是三角形F1PF2的中位線，故ON=a（定值），即N點的軌跡所表示的曲線是以點O為圓心、以a為半徑的一個圓.

小結：橢圓定義和平面幾何知識的綜合應用，也常常為我們提供解決問題的一條捷徑.

感悟：培養(yǎng)學生讀題、畫圖的解題習慣，突出破題指導，讓學生養(yǎng)成良好的解題習慣.回歸定義，緊扣定義對定義的多種表現(xiàn)形式作聯(lián)系比較.

我們再來看這樣一道題：方程x+y=2所表示的曲線是什么？

所以=，即表示動點到原點的距離與動點到定直線x+y=0的距離之比為定值∈（0，1），由橢圓的第二定義可知所表示的曲線是一橢圓.

這種解法看起來好像是天衣無縫，無懈可擊的，可是我們假如先對上面的方程化簡就不難發(fā)現(xiàn)：x2+2xy+y2=4（x2+y2），即3x2-2xy+3y2=0，將其看成關于x的一元二次方程，Δ=4y2-36y2=-32y2≤0，只有Δ=0時才有解. 由y=0得x=0，所以我們只能得到方程x+y=2只表示一個點（0，0）. 那么上面的同學為什么會錯呢？

我們看一看橢圓的第二定義，橢圓的第二定義為（比值定義）：平面內(nèi)到一定點F與到一定直線l（F不在定直線l上）的距離之比為一常數(shù)e（0

同樣他忽略了F不在定直線l上這一條件，上面的定點（0，0）是在定直線x+y=0上的.

我們在使用這一定義時要注意：①此定義給出了橢圓上任一點到焦點與到準線的距離之間的相互轉化關系；②定點F（c，0）不在定直線上.

變式1：方程x+y-1=2所表示的曲線是什么？

對于這個題我們用剛才那位同學的做法，不難知道定點為（0，0），而定直線是x+y-1=0，定點不在定直線上，即可得：=，表示動點到原點的距離與動點到定直線x+y-1=0的距離之比為定值∈（0，1），由橢圓的第二定義可知所表示的曲線是一橢圓.

變式2：已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A（1，1）是一定點，①求PA+PF的最小值；②求PA+PF的最大值.

分析：①A（1，1）是橢圓內(nèi)一定點，求PA+PF的最小值首先要注意到PF怎么處理，我們知道橢圓的離心率是，根據(jù)橢圓的第二定義知道PF就是P點到準線的距離PN，即原題就變?yōu)榍驪A+PN的最小值，也就是當A，P，N三點共線時滿足要求，故PA+PF的最小值為點A到左準線x=-的距離為.

②由PA+PF這種形式我們可以想到三角形的兩邊之和及之差的問題，但求最大值就應該與之差有關，而題目給的卻是之和的形式，那我們該怎么辦？我們在數(shù)學上有一種思想，叫化歸思想，在這里就是要想辦法將和轉化為差的形式，可用第一定義，如圖有：PF+PM=6，所以PF=6-PM，所以PA+PF=PA-PM+6，當P點在AM的延長線上時滿足題意.

所以PA+PF=PA-PM+6的最大值為AM+6=+6.

小結：焦半徑問題和第一、二定義是橢圓經(jīng)?？疾榈闹R，對于這類問題我們可以知道若距離和或差的系數(shù)一致就應該用第一定義轉化，若距離和或差的系數(shù)不一致就應該用第二定義轉化.

感悟：通過這活動塊的教學，使學生認識到橢圓的兩種定義在解題中的作用，用好定義有助于我們進一步研究橢圓的相關性質，揭示解析幾何的本質，感悟數(shù)形結合的數(shù)學思想，體會數(shù)的嚴謹、形的靈動.

總之：現(xiàn)在的數(shù)學課堂如何真正地提高實效，可能加強教學內(nèi)容的針對性、落實課堂教學參與性后會更好，這是一節(jié)解析幾何定義教學課，學生對橢圓定義的大概內(nèi)容已經(jīng)清楚，而困難在如何將掌握的知識與考題結合起來，合理運用. 課堂教學通過學生自主讀題、畫圖破解題目為教師組織后面的教學提供一個診斷，進一步加強了教學的針對性.

本課選擇了教材中的橢圓定義的語言表述作為展開討論的基礎，旨在培養(yǎng)學生關注數(shù)學定義，并挖掘定義的背后的東西做一點努力，當然對定義教學的研究和把握還有很長的路要走，需要我們師生共同努力，并為之奮斗！