武紹麗

摘 要：最近發(fā)展區(qū)理論是蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的，其認(rèn)為學(xué)生在已掌握知識和未掌握知識之間存在需要教師引導(dǎo)的區(qū)域，教學(xué)的作用恰是在這樣的區(qū)域中進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：最近發(fā)展區(qū)；數(shù)學(xué)；教學(xué)；一元二次；不等式；設(shè)計

蘇聯(lián)教育家維果茨基在多年教學(xué)研究中發(fā)明了最近發(fā)展區(qū)理論，這給當(dāng)時的蘇聯(lián)教學(xué)給出了一定的指導(dǎo)作用. 其教育理論的核心思想是明確研究了介于學(xué)生已經(jīng)掌握知識和未能掌握知識之間的知識“空白地帶”，該理論認(rèn)為學(xué)生可以通過教師的合理設(shè)計、精心準(zhǔn)備，將這些屬于“跳一跳”可以觸摸的知識傳授給學(xué)生，即在最近發(fā)展區(qū)理論下進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計.

從當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，教師一直是以這樣的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計，從知識復(fù)習(xí)鞏固——新知教學(xué)——課堂小結(jié)，這是當(dāng)下課堂教學(xué)設(shè)計的主要流程. 但是，在這種總體框架下的具體教學(xué)設(shè)計還是有區(qū)別的，筆者以為做到符合發(fā)展區(qū)理論下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計需要符合幾個標(biāo)準(zhǔn)：

（1）設(shè)計自然：符合最近發(fā)展區(qū)的課堂教學(xué)設(shè)計自然，既需要對任教學(xué)生有扎實的學(xué)情了解，又需要對教材做合理的符合學(xué)生水平的預(yù)期設(shè)計，既承接前期學(xué)過的知識，又對后續(xù)新知有合理的過渡；

（2）循序漸進(jìn)：最近發(fā)展區(qū)對于學(xué)生個體而言又存在著不同，這里的設(shè)計需要按照學(xué)生均衡程度去處理教學(xué)設(shè)計，即循序漸進(jìn)的原則，這樣的最近發(fā)展區(qū)較為符合學(xué)生認(rèn)知心理；

（3）留有余地：教師忌任何問題面面俱到、細(xì)微不至，如果將學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)“填滿”，學(xué)生成長的空間就顯得比較小. 本文結(jié)合筆者設(shè)計的《一元二次不等式》做一番設(shè)計.

[?] 內(nèi)容解析

一元二次不等式及其解法（三）是人教版《數(shù)學(xué)》（必修5）第三章第2節(jié)的第三課時，本節(jié)課的學(xué)習(xí)是對前面一元二次不等式解法的進(jìn)一步延伸與拓展，以一元二次不等式中的含參問題和恒成立問題為載體，培養(yǎng)學(xué)生化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想，旨在強(qiáng)化對一元二次不等式及其解法的深刻理解與應(yīng)用.

[?] 學(xué)情分析

1. 最近發(fā)展區(qū)

通過前面兩個課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根以及一元二次不等式的解集三者之間的關(guān)系，并且能求一元二次不等式的解集，以及解決一些簡單的含參問題，并對求解含參一元二次不等式時的分類討論思想有了一個初步的認(rèn)識.

因此前面的學(xué)習(xí)為本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的順利進(jìn)行奠定了一個良好的基礎(chǔ)，為學(xué)生能力的提升搭建了一個良好的平臺.

2. 能力儲備區(qū)

由于不等式問題的綜合性較強(qiáng)，更加注重對能力的考查，因此，雖然有了前面的基礎(chǔ)，但對于學(xué)生來講，這始終還是一個難點(diǎn)，很多學(xué)生對于含參不等式中參數(shù)的處理往往把握不準(zhǔn)，找不到合適的解法，或者分類討論時很混亂，無法準(zhǔn)確找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，從而使解題陷入困境.

[?] 策略分析

通過以上對本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)、學(xué)生學(xué)情的分析，以及所要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，特對本節(jié)課的教學(xué)做如下安排：

1. 通過熱身訓(xùn)練、知識梳理、能力提升三個環(huán)節(jié)對一元二次不等式前2個課時進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固；

2. 通過引導(dǎo)分析來解決問題2以及變式2，從而掌握由不等式解集求解參數(shù)的值或取值范圍這類題型的解法要領(lǐng)；

3. 通過“思考與探究”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過觀察、討論、自我歸納等方式，完成對不等式恒成立條件的探索，再由教師進(jìn)行歸納小結(jié)；

4. 對于本節(jié)課中重難點(diǎn)的處理，主要采取“學(xué)生思考——教師分析（引導(dǎo)式）——學(xué)生解題——教師點(diǎn)評”的策略，以學(xué)生為中心，教師當(dāng)好“導(dǎo)航儀”，組織學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，最后由教師進(jìn)行點(diǎn)評，歸納出本節(jié)課的核心知識；

5. 通過跟蹤檢測環(huán)節(jié)來了解學(xué)生對本堂課知識點(diǎn)的掌握情況，以便教師及時進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，以此進(jìn)一步鞏固知識；

6. 通過方法提煉環(huán)節(jié)，師生一起回顧總結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)知識點(diǎn)及思想方法，深化認(rèn)知. 教學(xué)方法：自主探究，引導(dǎo)分析，點(diǎn)評歸納，層層建構(gòu).

[?] 具體實施

1. 復(fù)習(xí)鞏固

問題1：求解關(guān)于x的不等式x2-2mx-2m-1>0.

解析：因為Δ=4（m+1）2≥0，故不等式化為：[x-（2m+1）]（x+1）>0，

所以x1=-1，x2=2m+1，且x2-x1=2（m+1），

①當(dāng)m=-1時，不等式為：（x+1）2>0，解集為{x

x≠-1}；

②當(dāng)m>-1時，2m+1>-1，解集為{x

x>2m+1或x<-1}；

③當(dāng)m<-1時，2m+1<-1，解集為{x

x>-1或x<2m+1}.

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)鞏固，讓學(xué)生最快進(jìn)入到學(xué)習(xí)狀態(tài)，同時更有效地復(fù)習(xí)了前面課時內(nèi)容的重難點(diǎn)——求解含參不等式，同時也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊.

2. 能力提升

【變式1】 解關(guān)于x的不等式mx2+（1-m）x-1>0.

解析：（Ⅰ）當(dāng)m=0時，不等式化為x-1>0，即解集為{x

x>1}.

（Ⅱ）當(dāng)m≠0時，Δ=（1+m）2≥0，所原不等式可化為：（mx+1）（x-1）>0，

所以x1=-，x2=1，且x2-x1=1+=，

①當(dāng)m>0時，-<1，解集為{x

x< -或x>1}，

②當(dāng)m=-1時，不等式化為-（x-1）2>0，解集為 ，

③當(dāng)-11，解集為{x

1

④當(dāng)m<-1時，-<1，解集為{x

-

設(shè)計意圖：該題在復(fù)習(xí)鞏固的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更高一級的“最近發(fā)展區(qū)”，即對二次項系數(shù)進(jìn)行討論的一元二次不等式，旨在強(qiáng)化學(xué)生的分類討論思想，通過求解含參不等式，掌握分類思想的要點(diǎn)，爭取做到分類明確，不重不漏，并為后面解決恒成立等綜合問題做準(zhǔn)備.

3. 深度發(fā)展

問題2：已知不等式x2-2mx-2m-1>0的解集為（-∞，-1）∪（15，+∞），求m的值.

解析：由題意可知：-1和15是方程x2-2mx-2m-1=0的根，代入方程解得：m=7.

【變式2】 若不等式x2-14x-15<0的解滿足不等式2x2-9x+m<0，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：由上可知：{x

-1

f（15）≤0，所以2+9+m≤0，

450-135+m≤0，解得：m≤-315.

設(shè)計意圖：問題2及其變式2的設(shè)置，旨在讓學(xué)生體會一元二次不等式解集與一元二次方程之間的關(guān)系，并能從不等式的解集求出參數(shù)的值或取值范圍. 這里的深度發(fā)展，是符合學(xué)生從參量討論到不同情況下的討論更進(jìn)一步.

問題3：對于一切實數(shù)x不等式x2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范圍.

解析：要使不等式恒成立，只需Δ=（2m）2-4（2m+1）<0，即1-

【變式3】 對于一切實數(shù)x不等式mx2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)m=0，1>0成立；

（2）當(dāng)m≠0時，

m>0，

Δ=（2m）2-4m（2m+1）<0，解得：m>0.

綜上可得：m≥0.

設(shè)計意圖：問題3是對前面“思考與探究”中有關(guān)恒成立條件的直接應(yīng)用，該題相對比較簡單，主要由學(xué)生獨(dú)立完成；而變式3在問題3的基礎(chǔ)上遞進(jìn)了一層，需要對二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論，先由學(xué)生試做，教師觀察情況，再做點(diǎn)評.這種循序漸進(jìn)的方式符合最近發(fā)展區(qū)理論.

思考題：設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-2x+2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍.

[?] 思考小結(jié)

本設(shè)計從學(xué)生固有知識出發(fā)，將解不等式問題延伸至學(xué)生“觸手可及”的反向解決參數(shù)和恒成立問題，這種設(shè)計緣自教材又高于教材，對學(xué)生而言也比較符合應(yīng)試的準(zhǔn)則. 從本課設(shè)計的問題而言，主要力主學(xué)生：（1）解含參不等式時一定要注意分類討論，即①討論二次項系數(shù)；②討論判別式Δ的符號；③當(dāng)Δ>0時，討論方程兩根x1，x2的大小關(guān)系. （2）已知不等式的解集求參數(shù)時，一定要抓住解集的端點(diǎn)就是對應(yīng)方程的根. （3）處理一元二次不等式恒成立問題時，一定要抓住恒成立的實質(zhì)，具體問題具體分析，或用最值分析法，或用參數(shù)分離法，或用轉(zhuǎn)換主元法.

從最近發(fā)展區(qū)理論實踐的角度來說，筆者也收獲了下面的一些想法：

1. 本堂課主要抓住了解不等式問題中的常見類型并加以練習(xí)，把方法的選擇總結(jié)和提煉為線索作為整節(jié)課的主干，分別對分類討論法，最值分析法、參數(shù)分離法等方法進(jìn)行重點(diǎn)剖析，但這是一個自然過渡的過程；

2. 在本節(jié)課的重難點(diǎn)處理上，主要采取“學(xué)生思考——教師分析（引導(dǎo)式）——學(xué)生解題——教師點(diǎn)評”的策略，以學(xué)生為中心，教師當(dāng)好“導(dǎo)航儀”，這種循序漸進(jìn)的過程恰是最近發(fā)展區(qū)理論最恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)體現(xiàn)；

（3）在例題及其變式的設(shè)置上，可謂是精心準(zhǔn)備，編排上更是層層遞進(jìn)，整個過程尤其注重對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 并在最后給出思考留有余地，引導(dǎo)學(xué)生自身不斷加深對更深知識的理解和追求.