劉通

[摘 要] 通過“一題多問” 和“一題多變”等方法對數(shù)學問題進行再加工、再創(chuàng)新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生思維，同時也能方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維.

[關鍵詞] 習題創(chuàng)新；一題多問；一題多變；數(shù)學教學；教學案例；習題創(chuàng)新

如何將課本知識以適當?shù)姆绞絺魇诮o學生是教育界歷久不衰的討論話題. 本人認為：除了按常規(guī)教學施教之外，應隨時隨處挖掘教材，適當拓寬教材內(nèi)容，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力. 既抓學生基本知識的掌握，又兼顧學生基本技能的培養(yǎng)，更要適當拓展現(xiàn)有的課本知識，使學生走向良性的學習軌道. 本人在這方面利用教材的現(xiàn)有知識和例題進行嘗試，自認為有可取之處，故聊以筆談，供同行參考借鑒.

一題多問，引導思考，激活思維

在平時的初中數(shù)學教學中，碰到的多數(shù)習題一般只要求解答單方面的問題，對知識和能力的考查比較片面，學生的思維得不到充分訓練，我覺得習題課題目的選擇和教學安排應遵循兩個原則：一是整理知識，整頓習慣，整合思維；二是引導思考，自主探究，激活思維. 如果在習題課上先確定好這一節(jié)課的目標以及每個選題的目標，然后圍繞這一目標進行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多問”的題目，這樣便能將很多知識點在同一道題中有機地結合起來，溝通多個知識點的內(nèi)在聯(lián)系，考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力，從而訓練學生從多角度、多層次認識事物的能力，提高學生的綜合思維能力. 以下是本人對一次函數(shù)單元教學習題課設置的“一題多問”教學案例.

案例1？搖 八年級上冊第五章上完后，為了使學生掌握一次函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、應用，我安排了習題課，編成“一題多問”的習題.

問題設置：已知一次函數(shù)y=x+4.

（1）它的圖象經(jīng)過第______象限，不經(jīng)過______象限.

（2）y隨x的增大（減?。┒鴂____（______）.

（3）它的圖象與x軸交于點A（？搖？搖 ），與y軸交于點B（？搖 ）.

（4）畫出此函數(shù)的圖象.

（5）S=______.

（6）原點O到直線AB的距離是____.

（7）直線AB上到x軸距離為1的點的坐標是______；直線AB上到y(tǒng)軸距離為1的點的坐標是______.

（8）當x___時，y>0；？搖 當x___時，y=0；當x______時，y<0.

（9）當-6≤x≤3時，y的取值范圍是______.

（10）點M（3，8）______直線AB上，點N（-2，5） ______直線AB上（填“在”或“不在”）.

（11）將直線AB沿y軸向______平移______個單位長度，得y=x.

（12）將直線AB沿x軸向右平移1個單位長度，得到的直線方程為______.

（13）與直線AB平行，且過點（1，-1）的直線方程為______.

（14）與直線AB的距離是的直線是______.

（15）將直線AB沿y軸翻折，得直線______.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（16）直線AB與直線y=-x+2的交點P的坐標為______.

（17）直線AB與直線y=-x+2和坐標軸圍成的四邊形的面積是______.

（18）學以致用乃數(shù)學之魂，請編一道與你生活、學習密切相關的實際問題，使問題中的兩個變量x，y滿足已知的一次函數(shù).

例：某市出租車，行程3 km內(nèi)收起步費8元，行程超過3 km時，每超過1 km（不足1 km以1 km計算）加收元，則車費y（元）與行程x（x>3）（km）之間的函數(shù)關系式為____________________.

這樣一連串由淺入深的問題提出，就把一次函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)等聯(lián)成網(wǎng)絡.

案例2？搖 九年級上冊第一章用一元二次方程解決問題中的問題設置.

例題：在矩形ABCD中，AB=6 cm， BC=12 cm，點P從點A沿邊AB向點B以1 cm/s的速度移動，同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2 cm/s的速度移動，問：

（1）幾秒后△PBQ的面積等于8 cm2？

（2）幾秒后△PDQ的面積為8 cm2？

（3）幾秒后△PDQ為直角三角形？

（4）幾秒后△PDQ是等腰三角形？

通過“ 一題多問，多題歸一 ”，進行有的放矢的精解和拓寬，可以使思維具有概括性.

一題多變，比較鑒別，多向思維

在教學中往往會發(fā)現(xiàn)這樣的情況：不少學生做了大量的習題，解題能力卻仍不見提高，或提高甚微，一個重要的原因就是忽視了解題后的反思及縱向、橫向、逆向、雙向等多角度、全方位的思考，通過一題多變訓練，可以使學生認清各個變式題之間的聯(lián)系與區(qū)別，可以開拓學生的解題思路，提高學生思維的發(fā)散性、靈活性和創(chuàng)造性，能進一步深化對知識的理解和掌握，達到一題多得（知識、思路、方法等）. 一題多變的教學形式有利于激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維及提高學生運用數(shù)學知識分析、解決實際問題的能力，有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生學習的自覺性，從而使教師與學生從題海中解放出來，真正減輕教與學的沉重負擔. 數(shù)學教學過程中一題多變有多種形式：①改變或增減已知條件；②改變設問角度；③因果變換；④定內(nèi)容變題型；⑤定內(nèi)容變難度；⑥具體問題抽象化、復雜化……由于篇幅有限，本人在下面僅舉三種變式的教學案例.

1. 改變或增減已知條件

從題目的各個方面聯(lián)想、類比，通過條件變式，變換條件，引入新問題，促進學生積極思考，認清各個變式題之間的練習與區(qū)別. 這樣，一方面可以充分揭示數(shù)學問題固有的思維層次，另一方面，可以充分暴露學生的思維層次，讓學生在兩種思維的層次比較中了解自己，吸取數(shù)學思維的營養(yǎng).endprint

例題：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件進價100元，售價定為140元，為了擴大銷售，增加贏利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 如果商場通過銷售這批襯衫每天要贏利1200元，襯衫的單價應降多少元？

變式1：在例題的“增加利潤”后面添上條件“盡量減少庫存”，其他不變.

通過這一變式，讓學生知道在做解決實際應用題時，要注意檢驗方程的解是否符合題意或符合實際意義，對方程的根進行取舍.

變式2：將問題中的“單價應降多少元”改為“售價為多少元”，其他不變.

對于這一變式，學生會習慣性地直接設未知數(shù)解決問題，但其實間接設未知數(shù)較簡單.

變式3：把問題中的條件“襯衫的單價每降1元”改為“襯衫的單價每降0.5元”，其他不變. （只設未知數(shù)、列方程，不解方程）

通過變式，使問題有梯度，難度逐漸加深，引導學生發(fā)現(xiàn)用售價x表示多售件數(shù)和銷售數(shù)量變得復雜了：設單件降了x元，則多售2×件.

變式4：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件進價100元，售價定為140元，為了擴大銷售，增加贏利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 用配方法求出要想每天贏利最多，單價應降低多少元？

通過這一變式，既鞏固了本節(jié)內(nèi)容，又復習了前面剛學過用配方法求最值的難點.

2.？搖改變設問角度

例：已知點P是一次函數(shù)y= -x+6在第一象限圖象上的點，又點A的坐標為（4，0），問：點P能否成為等腰三角形AOP的一個頂點？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

分析：由于題目并未指明等腰三角形的哪條邊為底，哪條邊為腰，所以應引導學生分情況進行探討（PO=PA，PO=OA，PA=OA）. 解略.

？搖變形：若條件不變，使三角形AOP為等腰直角三角形的點P是否存在？成為等邊三角形呢？

這樣層層深入，讓學生自己去探討結果，研究規(guī)律，其收獲絕非簡單地改改題那么簡單. 長此以往，能使學生養(yǎng)成多問多思的積極思考習慣，大大提高學生的數(shù)學能力.

3.？搖因果變換

“因果變換”的變式練習，在幾何證明題中出現(xiàn)得較為普遍，本人在此不再出現(xiàn)此類型的題目，就編幾道填空題供大家參考.

例：（1）①點A（-2，3）關于x軸對稱的點B的坐標是______；

②點A（-2，3）與點B（2，3）關于______對稱.

（2）①點A（-2，3）向上平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度后得到的坐標為______；

②點A（-2，3）先向______，再向______，可得到點B（2，-3）.

（3）①點A（-2，3）到x軸的距離為______，到y(tǒng)軸的距離為______；

②到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為3的點的坐標為______.

（4）①如果點P（m，n）在坐標軸上，那么m，n應滿足的關系是______；

②已知點P（m，n），如果mn=0，那么點P在______上.

這樣的訓練可以培養(yǎng)學生橫向、逆向的思維.

上述案例讓我們認識到，“一題多變”不僅能激發(fā)學生的學習興趣，提高學習的積極性與主動性，而且能使學生從一類問題的解法上達到舉一反三的目的，在探索過程中能有效地提高創(chuàng)新能力. 因此，教師要善于選擇適當?shù)睦}加以推廣、引申，引導學生提出新問題，尋求新結論.

實踐讓我體會到“一題多問”和“一題多變”對數(shù)學問題進行再加工、再創(chuàng)新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生思維. 同時，也方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維.endprint