張彤

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)要發(fā)揮基礎(chǔ)性的作用，關(guān)鍵在于利用數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建和數(shù)學(xué)問題的解決，幫助學(xué)生形成邏輯思維和理性思考. 基于初中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建需要以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)能力的形成需要基于問題的解決. 作為能力形成的起始階段，概念理解型問題需要引起高度重視，因?yàn)槠涫沁B接基本概念與較難數(shù)學(xué)問題的紐帶.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；生活；問題；知識建構(gòu)；能力形成

初中數(shù)學(xué)是傳統(tǒng)意義上的“大”學(xué)科，這個大不是體現(xiàn)在學(xué)科霸權(quán)上，不是因課時多、中考分?jǐn)?shù)高而忽視其他學(xué)科的價(jià)值，而是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性與工具性上. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)使初中生具有理性思維，具有邏輯思維，同時要能為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 從實(shí)際教學(xué)的情形來看，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面臨的兩大問題是：數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)往往比較被動和機(jī)械，傳統(tǒng)的教學(xué)方式加上被動的學(xué)習(xí)行為，使得學(xué)生在構(gòu)建知識的時候更多地行走在教師設(shè)置的軌道上，這種缺乏自主思維參與的知識建構(gòu)過程，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握常常是表面性的，于是實(shí)際教學(xué)中就出現(xiàn)了所謂的“學(xué)得死”的情形. 數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，這里所說的能力主要是指學(xué)生的問題解決能力，其既包括數(shù)學(xué)習(xí)題的解答能力，也包括數(shù)學(xué)問題的解決能力. 前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的升華. 實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力往往更需得到關(guān)注，其形成往往也更為復(fù)雜. 由于前面所提到的知識建構(gòu)原因，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)方式原因，學(xué)生在習(xí)題解答、問題解決中的能力常常表現(xiàn)為“講過的聽得懂，一變化就出錯”的情形. 筆者以為，要較好地解決數(shù)學(xué)知識建構(gòu)和問題解決的問題，必須緊緊依靠學(xué)生，在學(xué)生生活的基礎(chǔ)上去建構(gòu)知識，并通過良好的問題設(shè)計(jì)與解決，讓學(xué)生形成能力.

基于生活建構(gòu)知識，充分利用

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

現(xiàn)代教學(xué)理論早已得出結(jié)論，學(xué)生的學(xué)習(xí)不是被動吸收的，而是主動建構(gòu)的. 筆者這里不明確提出建構(gòu)主義，因?yàn)槠湟褳樵S多數(shù)學(xué)界的課程專家所批評，但一個基本的認(rèn)識是，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)具有建構(gòu)性，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知基礎(chǔ)對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)有著重要的作用. 在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，認(rèn)識到這種作用并充分讓這種作用得到發(fā)揮，是數(shù)學(xué)教師面臨的挑戰(zhàn)之一. 現(xiàn)以“絕對值”教學(xué)為例，談?wù)劰P者的想法與做法.

絕對值是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，其與許多數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)，因而具有基礎(chǔ)性. 而知識的基礎(chǔ)性又決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)不能只重視概念本身，而要注意絕對值的數(shù)學(xué)意義. 從知識聯(lián)系的角度來看，絕對值是相對于負(fù)數(shù)而言的，某種程度上講，沒有負(fù)數(shù)就沒有所謂的絕對值. 盡管這一認(rèn)識還比較原始，但對于絕對值概念的教學(xué)卻有啟發(fā)意義. 試想，在學(xué)生沒有接觸負(fù)數(shù)的時候，他們所認(rèn)識到的數(shù)不是都是正數(shù)嗎？因此，教好絕對值概念，必須依靠學(xué)生在生活中形成的數(shù)的認(rèn)識基礎(chǔ). 對此，筆者以為，可以先創(chuàng)設(shè)一個問題情境，讓學(xué)生的思維有一個依托. 巧合的是，某數(shù)學(xué)同行對此問題進(jìn)行了類似的思考，給出了如下兩個問題，筆者以為具有借鑒意義（略有改動）.

問題1？搖 甲、乙兩輛汽車同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲車向東行駛了10千米，到達(dá)A點(diǎn)；乙車向西行駛了15千米，到達(dá)B點(diǎn).

（1）如何用有理數(shù)表示甲、乙兩車的行駛情況？

（2）用數(shù)軸表示兩車的行駛情況；

（3）如果每車每公里耗油0.1升，則兩車各耗油多少升？

問題2？搖 比賽用的乒乓球規(guī)格有嚴(yán)格的規(guī)定，而乒乓球的規(guī)格衡量標(biāo)準(zhǔn)之一是乒乓球的質(zhì)量（即克重），現(xiàn)對一批乒乓球進(jìn)行檢測，結(jié)果是：+6，-2，+4，-3，-6，+5（單位：克. 正值表示質(zhì)量偏大，負(fù)值表示質(zhì)量偏?。? 試判斷哪個乒乓球的質(zhì)量最好.

對于這兩個問題的運(yùn)用，筆者以為問題1的（1）（2）兩個問題可以幫助學(xué)生回顧有理數(shù)的相關(guān)知識，從而讓學(xué)生對于絕對值的知識建構(gòu)有一個基礎(chǔ). 無數(shù)事實(shí)證明，這樣的問題提出對于提取學(xué)生記憶中的數(shù)學(xué)知識作用明顯；而第（3）問則與學(xué)生的生活接近，當(dāng)然也與數(shù)學(xué)知識接近. 更重要的是，通過這一問題，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)耗油的多少與運(yùn)動方向（即數(shù)值的正負(fù)）沒有關(guān)系，其中就已經(jīng)隱含了絕對值的意義；而對于問題2，這也是一個實(shí)際問題，筆者以為運(yùn)用的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生從正與負(fù)的比較中發(fā)現(xiàn)球的質(zhì)量好與差與正負(fù)無關(guān)，而與正負(fù)符號后的數(shù)值大小有關(guān). 相對于第一個問題而言，其指向絕對值的意向更加明顯.

在與學(xué)生仔細(xì)分析了這兩個問題之后，學(xué)生會認(rèn)識到，對于一些現(xiàn)實(shí)問題，有時數(shù)字前面的正負(fù)號并不會影響問題的解決. 如果教師此時再明確一下學(xué)生的這一認(rèn)識，并讓學(xué)生再到生活中尋找類似事例，學(xué)生的這一印象就會更加深刻. 于是，認(rèn)識到“數(shù)有正負(fù)之分，但有時候正負(fù)并不對問題的解決產(chǎn)生影響”（學(xué)生的原話）就成為絕對值概念生成的認(rèn)知基礎(chǔ). 在此基礎(chǔ)上，教師判定學(xué)生的認(rèn)識是否正確，并尋找表示這一認(rèn)識的概念即絕對值就比較自然了. 當(dāng)然，這里不得不提的是，從生活認(rèn)識到數(shù)學(xué)定義之間，還需要經(jīng)過一個幾何抽象的過程，即將正負(fù)數(shù)放在數(shù)軸上表示，然后將絕對值抽象成“距離”概念去理解，這個過程同行相對熟悉，不再贅述.

基于問題形成能力，充分發(fā)揮

學(xué)生的建構(gòu)能力

能力包括的內(nèi)容較多，這里所說的能力主要是指解決問題的能力. 學(xué)習(xí)是一個特殊的過程，其面對的往往是經(jīng)過高度抽象的生活問題，即數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)習(xí)題. 需注意的是，問題解決能力的形成是有基礎(chǔ)的，介于數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)問題之間的概念理解性問題，往往是學(xué)生能力形成的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 現(xiàn)仍以絕對值的教學(xué)為例，對概念理解型問題做一些闡述.

絕對值定義是通過“距離”來實(shí)現(xiàn)的，但距離的理解往往只限于在數(shù)軸之上，可事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)問題是脫離了數(shù)軸而存在的，因此利用絕對值的知識來解決問題，更多的還是基于絕對值這一概念，這就涉及絕對值概念的理解. 一個常見的問題是：已知a+6+b-8=0，則a=______；b=______. 初學(xué)絕對值時，學(xué)生常常感覺要解決此題有些困難，他們的第一反應(yīng)往往是本題有無窮多個解，因?yàn)橹灰猘+6和b-8互為相反數(shù)就行了. 不能說學(xué)生的這一想法沒有道理. 事實(shí)上，本題呈現(xiàn)的重要目的之一，就是強(qiáng)化絕對值大于或等于0的認(rèn)識，而學(xué)生的這一認(rèn)識恰恰提供了教學(xué)的一個契機(jī). 此時，教師不必過快地揭示本題的“奧妙”，而應(yīng)大膽地讓學(xué)生犯錯，不妨讓他們按原來的思路去解題. 碰壁之后，他們就會發(fā)現(xiàn)自己思維的錯誤了.

在筆者看來，這是一個重要的教學(xué)思路，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)只呈現(xiàn)正確的解題思路，然后讓學(xué)生去模仿. 但學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能如教師想象得這樣簡單，犯錯是學(xué)生學(xué)習(xí)中必然會出現(xiàn)的情形，與其在考試中出錯，倒不如在知識學(xué)習(xí)與問題解決的過程中出錯. 事實(shí)證明，一旦讓學(xué)生沿著原有的思路去進(jìn)行，學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)，要將a+6和b-8變成一個負(fù)值是不可能的，因而唯一的可能性也就出來了.

在這一過程中，學(xué)生面對教師提出的問題并產(chǎn)生了解決問題的直覺，而在自己嘗試的情形下，又發(fā)現(xiàn)自己的直覺存在問題. 于是經(jīng)過邏輯思考，只能得出a+6及b-8均等于0的結(jié)論. 盡管問題本身并不復(fù)雜，但對于初學(xué)絕對值知識的學(xué)生來說，卻是經(jīng)歷了一個完整的問題解決過程. 在這個過程中，錯誤思路與正確思路并存，自主建構(gòu)與教師引導(dǎo)并存，再加上教師指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)反思，那就可以生成較強(qiáng)的問題分析能力與問題解決能力了.

因此我們認(rèn)為，學(xué)生的能力真的不是教師教出來的，而是學(xué)生在建構(gòu)過程中自主生成的. 教師的作用是什么？是提供學(xué)生良好的發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的機(jī)會，并在把握學(xué)生思路的基礎(chǔ)上拓寬學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，必要時還需讓學(xué)生犯點(diǎn)錯，這才是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的智慧所在.

從學(xué)生生活到問題，關(guān)鍵在于

師生及數(shù)學(xué)契合

多年的教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)反思讓筆者意識到，數(shù)學(xué)教學(xué)絕對不只是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個復(fù)雜的過程. 影響學(xué)生學(xué)習(xí)的因素很多，但把握好其中的生活因素、問題因素，就能很好地將學(xué)生與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來. 在這個過程中，教師需要追求的是教師、學(xué)生、數(shù)學(xué)三個因素的兩兩契合.

“絕對值”這一知識教學(xué)告訴我們，數(shù)學(xué)概念的建立必須基于生活，初中知識雖然抽象，但在生活中基本上都能尋找到原型，一旦這些生活認(rèn)知成為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，那數(shù)學(xué)教學(xué)就有據(jù)可依；數(shù)學(xué)能力的形成必須基于問題，問題是人類文化延續(xù)的重要載體，蘇格拉底在不斷的追問中變成大哲學(xué)家，而數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展恰恰也是依賴于問題的，迄今尚未解決的數(shù)學(xué)難題正是數(shù)學(xué)發(fā)展的持續(xù)動力. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中依賴問題，或者說向?qū)W生提出有含金量的問題，永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)教師的職責(zé). 一句話，只有將學(xué)生放到問題的大海中，他們才會獲得搏擊風(fēng)浪的能力.endprint